Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 70
Текст из файла (страница 70)
12.8) Рнс. 12.11. Сравнение численных результатов — подобласти треугольных элементов. 1 — десятичленный поливом в подобласти; 2 — СРТ-элемент 112.3911 3 — девятнчленный полипом в подобласти [!2.33). 13» 372 12. Изгиб пластин сравнению с формулировкой с 9 степенями свободы, приходящимися на подэлемеит. Интересно отметить, что последняя формулировка приводит к матрице жесткости (и конечно, к численным результатам), совпадающей с полученной Бейзли и др.
!12.25! для треугольного согласованного элемента с единственным полем (ср. с решением, приведенным на рис. 12.9). Применение С)7Т-элементов обусловливает вполне приемлемую точность для рассматриваемого круга задач. 12.5.5. Огормуямрояям е напряжениях Если выражение для дополнительной энергии записывается в терминах функций напряжения Саусвелла Ф" и Ф", как это сделано в разд. !2.1.3, то выбор представлений для этих функций напряжения аналогичен выбору полей перемещений и и и в случае плоско- напряженного состояния. Поэтому для треугольного элемента, у которого стспени свободы заданы в вершинах, функции напряжений можно аппроксимировать в виде (12.40) Фз=УтФ"+УгФ"+УзФз Фи=тгттгФ"+УзФз+УзФзтт (12.44) где Уз=1,„Уз=!.„Уз=э'.з и !.„!.„(.з — треугольные координаты, введенные в гл. 8.
Если же треугольный элемент задан с помощью степеней свободы в вершинах (обозначеиных как точки 1, 2, 3) 1а з 'ч й й -ю 1 2 4 6 6 о Размер сетки (см. рис. 12Л) Ряс. 12.12. Сравнение численных результатов: ддя треугольных элементов, осяо. яаяпых яз уравновешенных полях напряжений, я треугольных элементов, осноааяяых яа совместимых полях перемещений.! — формулировка, базирующаяся пз уравновешенных полях пзпряжепяй !12.40) (липейныс поля функций пзпряже. яия1; 2 — фпрмулярояхэ, основанная пя совместимых исаях перемещений !12.88) (деяятичлевиый поливом в подобласти).
Зуз 12З. Треугольные элементы и в серединах сторон (точки 4, 5, 6), то соответствующее разложение для Ф' и Ф" имеет вид !12.41! Ф"=! (Ч ((ф), Ф =! (Ч )(фе), (12.45) где ( М ! = ! Ту,туэ...й1„! с элементами, определенными в равд.
8.5, (фэ) ! Фи Ф Ф» /Т (фэ) ! 1рэ Фэ Фэ )т Теперь, чтобы построить матрицу податливости элемента, необходимо выполнить операции, соответствующие (12.19) — (12.23). Очевидные преимущества применения подхода к анализу изгиба пластин снижаются в значительной степени трудностью задания нагрузок.
Следует напомнить, что интеграл по границе в выражении для дополнительной энергии зависит от задаваемых перемещений, которые обычно полагаются равными нулю. Граничные условия на нагруженной поверхности должны учитываться особым образом, обычно посредством наложения уравнений связи. Подсчет перемещений также представляет определенные трудности. Эти и некоторые другие аспекты практического использования данного подхода описаны в !12.23! и (!2.40 — 12.42!. На рис. !2,!2 даны результаты расчета свободно опертой квад.
ратной пластины, в центре которой приложена сосредоточенная сила; расчет основан на линейных полях (12.44). Для сравнения приведены численные результаты для межэлементно согласованных формулировок для перемещений, полученных на базе метода разбиения на подобласти с использованием девятичленного поли- нома в каждой подобласти (12.38!.
Результаты, как и следовало ожидать, подтверждают, что решения, полученные с помощью альтернативной формулировки, основанной на принципе минимума дополнительной энергии, сходятся к точному решению снизу и обеспечивают достаточную точность. Риш 12.13. треугольный ивгибаемый элемент для смешанной (йн) формулировки— линейное поле перемещений и постоянное поле моментов. 374 12. Изгиб ппвсгин 12.3.5. Смещанные поля перемещений и напряягений Модифицированная форма вариационного принципа Рейсснера, заданная формулами (12.24) — (12.2г), представляет характерную формулировку, основанную на смешанных полях перемеигешгй н напряжений для изгибаемых пластинчатых элементов, и подробно описывается ниже для случая простейшего треугольного элемента (рис.
12.13). Предположим, что прогибы описываются линейным полем, а компоненты внутренних изгибающих моментов являются константами. Тогда пг ш=[ Лг,Лг,Лг,~ гав =! в[ ) [ге) цгв где М„Ф„Лгв — функции формы, введенные в (12.44). Кроме того, 1[)[„=а„1))[я=а„В)]„в=а„где а„а, и а, — константы. Чтобы выразить эти константы через физические параметры, определим нормальные изгибающие моменты М„М, и М, в серединах сторон. Оценив изгибающие моменты М„, М„, М„в и разрешив относительно а„а„а„получим соотношение (12.2б) (т. е.
йв?=1[1[ [(М)), в котором Ям=! 9)1„3)) 5)[„)т, [М)ии! М,М,М, [т, созз гр 5[п~грв 2 51П гр СОБ грв соз'гр, 51п'гр, 2 япгр, созгр, соз' гр„яп' гр„2 яп гр, соз гр, ь]вм1 = как функций от [М). Для этого можно сначала нкцию от Ю в виде 93в.=Т.]531, где гс и)] и)) п)1 ! т записать йЯ, как фу 51П гр СОБ чгв СОБ 2грв 5!и Чгв соз Чгв соз 2Чгв яп гр„соз гр„соз 2гр, с в япгр,созгр, — япгр,созгр, 51П гРв СОБ гРв ~г,1 = откуда следует, что Язв,=[Гв][]ям](М )=[[.][М). Как показывает соотношение (!2,24Ь), днскретизованное выражение рассматриваемого функционала 11н содержит матрицы [11„!=[в)зг!т и [в)гг], котоРые в свою очеРедь постРоены с использованием матРиц []1)м), [[1]' ],'[1] 1, [г[.; ], [1.! и [У], где штРихом обозначена операция дифференцирования базисных матриц []ч ! и [1] ) в соответствии с определением, данным в п.
12.1,4. Кроме того, матрица ! 1'1 получается в результате аналогично определенных операций дифференцирования поля перемещений. Так как []ч 1— матрица, элементы которой являются константами, то []г];и]=[б! Углы гр„'гр„гр, определяются согласно рис. 12.13. Необходимо также получить выражение для тангенциальных моментов Фзг,= ЗУ5 !2.3, треугольные элементы и, согласно (12.24Ь), имеем фтт) = Р[.1=142. У = ! [ь„!'[е ! '[н„[ЙА], — ![ ! [ [и]. Зл Интересно отметить, что численные результаты, полученные с использованием изложенных выше [)ормулировок, совпадают с ре- 50 зо 20 ~6 и о -ю -го г 4 б б Раэгтер сеатла (сел рис. 12.6) зультатами, полученными с использованием матрицы жесткости, построенной на основе полного квадратичного поля переа[ещений (!2.27! (ем, рис.
12.8(Ь) и уравнение (12.33) из и. 12.3.1!. Это можно было предвидеть, рассматривая совокупность степеней свободы, Рис. 12.14, Сравнение численных реаультатов: смешанные и гибридные треугольные элел[енты,! — смешанная формулировка 112.61, линейное ш, постоянный М; 2 — смешанная формулировка !12.451, квадратичное ш, линейный М; 3 — гибридная формулировка для предполагаемых полей напрюкений !12.481, линейное ш, постоянный М.
зть 12, Изгиб пластин так как схема, изображенная на рис. 12.13, совпадает с приведенной на рис. 12.8(Ь), поскольку нормальные изгибающие моменты (М„Мгн М„) в первой схеме соответствуют угловым смещениям (84, О„О„) в последней. Тождественность можно доказать, проводя алгебраические выкладки. Для полностью внутреннего элемента (окруженного элементами того же типа) (Х)=0. Поэтому, как и в разд 6.7, выражая из верхней части уравнения (!2.27) (йй) через (Л) и подставляя в нижнюю часть этого уравнения, получим Й1(Л)= =(йй), где Детальное изучение соответствия этих двух формулировок можно найти в !12.431 и !12.441.
Можно, разумеется, использовать представления более высокого порядка как для полей изгибающих моментов, так и для полей перемещений. Логическим обобщением 112.451 является выбор линейно распределенных моментов н квадратично изменяющихся пере. мещений. Широкий диапазон альтернативных полей изгибающих моментов и перемещений можно найти в (12.22).
Гибридные схемы приводят к совершенно другому классу смешанных формулировок в напряжениях и перемещениях для треугольных изгибаемых элементов. Как и при расчете задач растяжения пластин, гибридный подход в напряжениях, описанный в равд. 6.6, применяется наиболее часто. В работах (12.43) и 1!2,46 — !2.48] довольно интенсивно исследуются различные комбинации внутренних изгибающих моментов и граничных полей перемещений.
На рнс. !2.14 приведены численные результаты для различных типов смешанных формулировок. Пн-формулировка, основанная на рассмотрении постоянных моментов и линейно изменяющихся перемещений, как уже было отмечено, приводит к результатам, идентичным тем, которые уже были представлены на рис. 12.9 для жест- костной формулировки с шестичленным (квадратичным) полиномом, Смешанная формулировка, основанная на представлении более высокого порядка (12.45) (линейно изменяющиеся моменты, квадратичные перемещения), существенно повышает точность решения Заметим, однако, что в этом случае для каждого элемента требуется вдвое больше узлов (шесть, а не три), Этот факт не нашел отражения на горизонтальной оси рис.
!2.14. Наконец, как видно нз графика, гибридная формулировка в напряжениях (!2.48) с полями, сравнимыми с используемымн в простейшей Пн-формулировке, приводит к решениям, лежащим по другую сторону от точного решения и намного более точным для заданного размера разбиения, Тем не менее приходится вновь предупредить, что при определении относительных преимуществ той или иной формулировки необходимо учитывать много других факторов. 377 !2.4. Прогибы, аызааииыа поларечныы сдвигом 12.4.
Прогибы, вызванные поперечным сдвнгом Построение матрицы жесткости элемента для изгибаемых стержня или пластины с учетом деформаций сдвига не может быть осуществлено в явном виде посредством подстановки поля поперечных перемещений (15.!4а) в суммарное выражение энергий изгиба и сдвиговых деформаций. Как уже отмечалось (12 49), требование, что прп изгибе балок плоск!!е сечения остаются плоскими, приводит к внутреннему ограничению, исключающему деформации сдвига. Когда это ограничение снято, то появляются сдвиговые деформации, обусловливающие дополнительный нклад во внутреннюю энергию, и для того чтобы сохранилось равенство величин внутренней энергии и работы внешних сил, необходимо такое же увеличение работы внешних сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
