Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 69
Текст из файла (страница 69)
366 !2. Изгиб пластин 12.3.2. Сравнение чмспеннык результатов. Формулировки в перемещенмяк — единственное поле Сравнение численных результатов для формулировок с единственным полем, о которых шла речь, проводится на рис. [2.9 для свободно опертой квадратной пластины, нагруженной в центре сосредоточенной силой. о -з и -10 -20 2 3 ч б В Рпзнсуг сетки Рис. 12,9, Сравнение числениыд результатов: треугольные злементы с единственным полем.
7 — шестичленный (квадратичный) полинам [12.27[; 2 — несогласо. ванные поля [12.25[; 3 — двадпатнодночленный полипом (пятов степеню [12.3ч]; Ч вЂ” десптнчлеиный (кубический) полипом с ограничениями [12.26 [; б — десятячленяый (кубический) полипом с корректирующей матриией [12.17[; б — Развя (А-9) [12.26[; 7 — согласованные поля [12.25!. Размер сетки взят из рпс. 12.6. Зал!етим сначала, что элемент с шестью степенями свободы (полный квадратичный полинам) [[2.27! обусловливает сходимость к решению сверху, т.
е. это решение является верхней границей. зьу 12.3. Треугольные элементы Это происходит потому, что решение полностью согласуется с условиями равновесия. Результат довольно неточен для заданных значений параметров сетки, хотя, с другой стороны, матрица жесткости элемента имеет довольно простой вид. Действительно, можно в явном виде выписать эту матрицу жесткости без значительных усилий. Численные результаты для элемента, основанного на полном кубическом полиноме, относятся лишь к случаю задания ограничений, обеспечивающих сохранение непрерывности угловых перемещений при переходе через границу элемента Результаты, полученные без задания ограничений, настолько неточны, что соответствующие им графики не поместились в представленном на рисунке диапазоне изменения величин. Как можно ожидать, решения, полученные либо путем наложения соответствующих ограничений на каждой границе между соседними элементами 112.281, либо путем введения «корректирующей» матрицы жесткости с использованием обобщенного вариационного принципа (12.!7), очень близки.
Однако здесь все же приведены результаты, полученные с помощью элементов, основанных на кубических функциях формы, выраженных в терминах треугольных координат (!2.35), откуда исключен член, содержащий 7.т1,«с.т (т. е. формулировка, построенная Бейзли и др.) (12.25). Принимая во внимание простоту этого элемента, можно заключить, что полученные численные результаты превосходные. Тем не менее следует отметить, что точность получаемых результатов зависит от геометрии конечно-элементной сетки 112. 25].
Результаты для формулировок, основанных иа полных полиномах 5-й степени (21 член), очень точны. Результаты для случая, когда узлы в серединах сторон исключены перед проведением расчетов, не приведены, потому что оии отличаются незначительно. Затраты на формулировку этих элементов вполне существенны, и вновь следует упомянуть, что «торговля» между затратами на построение элемента и размерами сетки, не представленная на рис. 12.9, должна учитываться при любых практических обстоятельствах.
1Х.ЗЛ. Формулнровнн с нсполь»оввпием предполвгвемыв перемещений. Метод рвэбненив нв ~одоблести Работа!12.38! послужила толчком к построению матриц жесткости треугольных элементов для расчета изгиба пластин на базе метода разбиения на подобласти, в котором элемент разбивается на треугольные подэлементы. Эти авторы использовали неполный (девятичленный) кубический полипом в каждом из трех подэлементов, выбирая систему координат в каждом подэлементе так, чтобы не возникли трудности нз-за отсутствия геометрической изотропни, и в том виде, чтобы обеспечить квадратичный характер изменения 12.
Изгиб пластин 368 перемещений вдоль каждой стороны, которая станет внешней для всего элемента. Улучшенный вариант этой формулировки подразумевает использование полного кубического полинома (10 членов) внутри каждой подобласти. Поэтому основных степеней свободы всего ЗО н число их уменьшают до 12 — девять степеней свободы в вершинах и угловые смещения в середине каждой стороны — налагая условия Ряс. 12.10. Треугольные элементы — разбиение на подобласти: (а) треугольник с тремя подобластями, (Ь1 треугольник с даумя подобластями.
непрерывности перемещений при переходе через границы подэле- ментов. Ниже эта формулировка описывается подробно. 12,3. Треугольные»леменгы 369 Ла Л, Л, Лв Л", Лс Девять уравнений: равенство перемещений в вер- 1 шинах для подэлеиентов и целого элемента Три уравнения: равенство угловых смещений в серединах сторон 4, 5, б для подэлементов и целого элемента Девять уравнении: равенство перемещений смежных подэлементов в вершинах Ль Лс 4 Ла Ль Лс Ла Ль Ла Ль Три уравнения: равенство угловых перемещений во внутренних узлах 1, В й Лс Ле Ла Ль 13 ж»»41 Элемент изображен на рис. 12,10(а), Подобласти обозначены буквами а, Ь, с. Как указывалось ранее, предполагается, что внутри каждой подобласти прогиб описывается полным кубическим поли- номом; имеем ,+ах+ау+...+а, и'= ( р(3) )(а), ш»=Ь,-~-Ь»х+Ь«У+... +Ь„У«= ( Р(3) )(Ь) (12 37) пв' = с, -, 'с,х +с,у+ ...
+ с„ув = ( р (3) )(с), Число (30) неизвестных параметров (а ), (Ь ) и (с) сразу уменьшают до 24, используя шесть условий, связанных с согласованностью перемещений во внутреннем узле О, т. е. ав=Ь,=сг, а,=Ь,=с„ а»=Ь,=с,. Дальнейшая редукпия с 24 до 12 степеней свободы осу- ществляется заданием условий непрерывности и равенства «внут- ренних» и «внешннх» степеней свободы в вершинах (1, 2, 3), в сере- динах сторон (4, 5, б) и в серединах внутренних границ (ь', /, а). Чтобы детально развить этот подход, определим следующие удобные обозначения для векторов смещений в узлах. В вершинах вектор перемещений ( цг0„0„) будем записывать в виде ( Л',3, где нижний индекс г" обозначает узел (4=1, 2, 3), а верхним индексом д помечена подобласть (у=а, Ь, с), к которой принадлежит вершина.
Например, 0,. =(Л;), Если вектор относится к перемещению в узле объединенного эле- мента (комбинации из трех элементов) или в точках на серединах сторон подэлементов (ь', 1, а, 4, 5, 5), то индексы опускаются. Соот- ветствующие 24 уравнения совместности можно записать в виде зто !2. Изгиб ииастии Определяя эти перемещения в узловых точках с помощью (! 2.37), имеем [Ваа] [Вао] (аа) (12.38) где уравнения разбиты на группы так, чтобы (а,) = (а, а, а, а, а, а, а, а, а, а„Ь, Ь„)т, (а,) =(Ь, Ь, Ь„Ь,Ь„с,с,с,с, с,с,с„)т, (12.39) где О„, О„и ΄— угловые смещения, нормальные к стороне элемента в точках 4, 5, б.
Используя процедуру конденсации (см. равд. 2.8), получим [В„)(а,)=(А), (12. 40) где , ЦВ..] [В„,Ц [В~и]=[Г] [ ] [ ] [Г] и [Г]= Наконец, решая (!2.40), находим (а,)=[В„) '(д ), (а,)= — [[Вм'ИВ,,[]1В„1 '(Л). (12,41) При построении матрицы жесткости для элемента сначала необходимо построить матрицу жесткости, выраженную в терминах полного набора параметров Е 'Еа, ] ( а,[ ] (см.
равд. 8.1), а затем с помощью (12.41) преобразовать полученную матрицу к соответствующим физическим координатам. По-видимому, простейшей формулировкой в методе разбиения на подобласти для треугольных элементов является СРТ-элемент, реализованный в программе АМТВ()И:П П2.391. Как изображено на рис. 12.10(5), этот элемент состоит из двух треугольников. Предполагается, что перемещения в областях а и Ь задаются кубическими разложениями. Чтобы обеспечить непрерывность нормальных производных вдоль стороны 1 — 2, для которой дпсдп=дЫду, исключают члены, содержащие х'у.
(Если эти члены сохранить, то нормальная производная будет квадратичной функцией от х.) Кроме того, чтобы обеспечить непрерывность э и нормальных производных дв/да=дух на границе областей а и Ь, можно приравнять в соответствующих разложениях свободные члены и коэффициенты, стоящие перед линейными выражениями, содержащими величину у в произвольной степени. Так, для разложений в соответствующих областях имеем в' = аг+ а,х + а,у+ а,х'+ а,ху+ а,у*+ а,х'+ а,ху'+ а,у', иУ ах+ а,х+ а,у+ Ь,хз+ а,ху+ а„у'+ Ь,х'-+ а,ху*+а,у', где девять величин а, — базисные коэффициенты, стоящие перед 371 !2.3.
Треугольные элементы слагаемыми в разложении для области а н перед теми же величинами в области Ь. Две величины (Ь„Ь,) все же не связаны с разложением в области а. Чтобы установйть связь между выписанными разложениями, зададим следующие два уравнения связи, обусловлнвающне линейный характер изменения нормальных производных вдоль сторон 1 — 3 н 2 — 3: а,= 3 [[2 — (ф)'~ ໠— фа„Ь,= 3 [[2 — ( «'„)'1 а»++~а». (12.43) Подставив этн выражения в (12.42), выразим поле через 9 параметров.
Здесь также основная матрица жесткости формулируется через этн параметры, н необходимое преобразование от этих параметров к узловым смешениям легко построить. Интересно отметить, что, хотя условие на непрерывность нормальных производных задается по всему периметру элемента, поперечные смещения разрывны прн переходе через сторону 1 — 2. 12.3.4. Сравнение чнслвинык результатов.
Метод разбиения на подобласти дпя треугопьнык элементов, основаннык на предполагаемых поляк перемещений На рнс. 12.11 приводится сравнение численных результатов для различных формулировок в методе разбиения на подобласти. Для грубых сеток использование прн разбиении на подобласти формулировок с 1О степенями свободы в каждом подэлементе приводит к существенному увеличению точности полученных результатов по ч. ф -1а Ю »» ч М -20 »г н -зо г 4 6 8 Рпзггер ееегге (см дее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
