Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 68
Текст из файла (страница 68)
12.7. Сравнение численных результатов: четырехугольные конечно-элементные формулировки; ! — смешанная формулировка с линейными М и ш [12.22]; 2 — двенадцатичленный полипом (12.32); 3 — смешанная формулировка с квадратичными М и ш [12.22]; 4 — шестнадцатичленный полипом [12.311; б — согласованные четырехугольные подобласти [12.14]. на базе модифицированного функционала Рейсснера [!2.22]. В одной из них вводится линейное поле изгибающих моментов и поле граничных поперечных смещений.
В другой используются квадратичные функции. Очевидно, что существенное увеличение точности вытекает из увеличения порядка этих функций. 12.3. Треугольные алемеиты 12.3.1. Формулировки в перемещениях — единственное лоле На рис. [2.8 представлены различные способы задания степеней свободы для треугольного пластинчатого элемента при изгибе, обусловленные различным выбором членов в полиномиальном представлении поперечного смещения гп.
362 12. Изгиб пластин Желательный вид треугольного пластинчатого элемента при изгибе показан на рис. 12.8(а). Зтому элементу отвечают сила в направлении г и по два изгибающих момента в каждой вершине. Узлы внутри элемента и на его границах между вершинами отсутствуют. Он характеризуется девятью степенями свободы и поэтому требует девятичленного разложения для н2, Однако из рассмотреДб,м Е„, й, м,е (Ь) г«2, ««2 Топочная узнабяя пптепянэ саа«уя«ум (+е „е,,е,) У2' Уз ~.мме, м„о е„, (С) «2 н'4 «2 Ю1 Рис. 12.В.
Конечно-элементное представление треугольными элементами с единственным полем. (а] Треугольник с девятью степенями свободы (если задано ы«, то число степеней свободы равно 10: и=а,+а«х+...+а2«уа);(Ь) треугольник с шестью степенями свободы (ш=а,+а,х+...+а„у'); (с] треугольник с двадцатью одной степенью свободы (ю=а,+а»«+...+аз«у'). ния треугольника Паскаля следует, что полный полипом содержит либо 6 членов (квадратичный), либо 1О членов (кубнческнй). Чтобы получить девятичленное разложение, можно объединить пару членов (например, а, (х+у)ху), однако можно убедиться, что для некоторых форм элемента преобразование от обобщенных степеней свободы к узловым становится вырожденным.
Поэтому выбор 9 членов не может быть осуществлен с помощью полиномиальных разложений, которые для заданного порядка полны. Если невзирая на полноту выбирается полипом с 9 членами, то нарушаются условия «геометрической изотропии». Например, мож- 363 !2.3, Треугольные элементы ио выбросить член ху' или х'у. Построенные таким образом элемеиты некоторое время использовались и встречались в различных широко распространенных программах; однако точность получениых решений была неудовлетворительна. Ниже перечислены более удовлетворительные возможные формулировки иа основе едииственного поля: 1.
Можно определить элемент лишь с 6 степенями свободы (см. рис. 12.8(Ь)) и полной квадратичиой функцией, задающей ш. При этой формулировке будут нарушаться требования межэлемеитиой непрерывности перемещений. 2. Можио выбрать полный кубический полином с 10 степенями свободы, причем !О-я степень свободы задана во внутренней точке (см. рис. 12.8(а)).
При этой формулировке также нарушаются условия межэлемеитиой непрерывности перемещеиий. 3. Число степеней свободы люжио увеличить до тех пор, пока ие будет достигнуто соответствие с полным полииомом, который удовлетворяет условиям межэлемеитной непрерывности. Можно показать, что для этого требуется введение полного полииома 5-й степени (см. рис. !2.8(с)), 4. Межэлемеитио непрерывное поле перемещений, отвечающее изображеияому иа рис. !2.8(а) с 9 степенями свободы, можно построить в терминах треугольных координат посредством суперпозиции соответствующей системы функций формы!12.25).
Существенно улучшенный вариант формулировки этого типа приводится в [12.26). Далее подробнее рассмотрим формулировки из п. 1, 2 и 3. За подробностями, касающимися формулировок из п, 4, заиитересованные читатели могут обратиться к работам [12.25, 12.26); иекоторые аспекты этого подхода будут затрояуты при обсуждении в этом разделе числовых результатов, Конечно-элементное представление поля перемещеиий с шестью степеиями свободы изображено иа рис. !2.8(Ь). Поле прогибов описывается в виде ш=ат+а,х+аэу+а,хэ+аэху+а„уэ, (12.33) Кроме того, узловые перемещения определяются как значения прогибов в вершинах элемента (точки 1, 2 и 3) и нормальные угловые смещения в серединах сторон (точки 4, 5 и 6). Поэтому [ Л [=[ ш.ш.ш.В,йэЕ, [.
Выражая каждую степень свободы в [ А ) в терминах разложения (12.33), получим систему уравнений (Л)=[В[(а) типа (12.13), где (а)= [ а,...а„[т. Основная матрица жесткости строится иа основе представления (12.33) (см. (6.!8)) и далее преобразуется к матрице, отвечающей физическим степеням свободы, путем использоваиия матрицы [В) ' как матрицы преобразования. 364 12. Изгиб пластин Хотя при этой формулировке нарушаются условия межэлементной непрерывности перемещений, все условия равновесия выполнены.
Поле моментов удовлетворяет условиям равновесия внутри элемента и на границе смежных элементов (12.27!. Для построения матрицы жесткости элемента на базе полного куба мского полинома можно применить обобщенный подход с использованием потенциальной энергии (12.28!. Элемент показан на рнс. !2.8(а). В этом случае в каждой из трех вершин задаются значения па и угловые смещения О„и О„, а в качестве 1О-й степени свободы выбирается прогиб в центре. Имеем для вектора степеней свободы ~ Л ) = ! цг, О„ Оэ пг, О„ 03 пгэ О„ Оэ ца, ! . (12.34) 7.,'(7., + 37., + 37.,) — 77.,7.,7.„ 1.1 (У311 э У111-3) + (Уаз Ум) 7"17-37-3 Ц (х1,7-3 — х317 3) + (х„— х„) 1.17 31.„ Б((.т ! 37 +37.1) — 7! 17.37„ г 3 (у1311 уэзгэ) + (уаз утз) 1 17313 Г.э (Хээ)-э — Хтэ!-1) + (Մ— Хз,! 7-1Е 3Е зт Ц (Е.э + 351 + ЗЕ.з) 77.17 3Ьэ 1 э (У131 а Уэтг 1)+(Уза Уаэ) 11537"3 1-3 (х317-1 хаза-а) +(хаэ хэт) 1-11-31-33 271.1731 „х, =х,— х, у, =у; — у.
Л', = ~г Лгэ = Л', = Ла, = (!2.35) Лт„= Л'„= 3 Жа= Лааэ —— Матрица жесткости элемента строится непосредственно путем дифференцирования (12.35) в соответствии с 33=!0)(Ь). Затем из (12.11) получаем коэффициенты жесткости элемента. Для выписанного поля нарушаются условия межэлементной согласованности.
При переходе через границу элемента компонента эв непрерывна, а нормальные угловые смещения О„разрывны. Это смещение меняется по квадратичному закону вдоль каждой стороны, что приводит к необходихаости использования трех параметров для однозначного задания смещения, однако в наличии имеются только два параметра (О„иа концах отрезка). Оставшиеся четыре параметра в этих точках введены для однозначного определения пг. Чтобы разрешить эту ситуацию, можно выписать уравнение, задающее непрерывность нормальной производной в серединах сторон. Предположим, что два соседних элемента обозначены через А и В, а нормальные производные в серединах их сторон — соответственно через О,;" и Оэ. Условие непрерывности угловых смеще- Прогиб пг представляется в виде па= ~ й) ) (Ь), где составляющие ( !3) ) в терминах треугольных координат записываются следующим образом: 365 !2.3.
Треугольные элементы ний требует, чтобы ΄— Ев=О. (12. 36) Можно использовать это условие для задания уравнения связи. Дифференцируя сначала по п поля перемещений соседних элементов (12.35), приходим к формулам О„"=дптл/дп, йэ=дптл/дп, которые затем подставим в (12.36). Полученные таким образом уравнения связи можно использовать при глобальном анализе путем непосредственной подстановки либо с помощью метода множителей Лагранжа, как описано соответственно в разд. 3.5 и 7.4. Другой способ построения межэлементных условий связи заключается в этом случае в приравнивании нулю интеграла от выражения, задающего разность между угловыми смещениями соседних элементов (см.
разд. 7.4 и [12.29)). Еще одним обобщенным вариационным подходом является подход [!2.17[, в котором строится акорректирующая» матрица жесткости элемента, которая добавляется к основной (межэлементно несогласованной) матрице жесткости элемента. Последняя выводится путем рассмотрения интеграла по границе элемента, куда подставлена простая межэлементно согласованная функция. Следующее более тонкое представление дается полным пятнадцатичленным полиномом 4-й степени, В работе [12.30[ на основе этой функции сформулирован треугольный элемент.
Набор степеней свободы включает обычные 3 степени свободы в каждом из узлов, а также прогиб и производные по нормали в серединах каждой стороны. Межэлементная согласованность нарушается из-за недостаточного числа параметров, имеющихся для однозначного задания производных по нормали на каждой из сторон. В работе [12.31] также исследован вопрос построения элемента на базе полинома 4-й степени, но с восемнадцатью членами. Переходя к рассмотрению полного полинома 5-й степени, заметим, что, согласно треугольнику Паскаля, он включает 21 член. Полностью удовлетворить условиям межэлементной непрерывности можно, определив степени свободы, как показано на рис. 12.8(с).
В этом элементе задаются по шесть степеней свободы в каждом узле — линейное и угловые смещения и три кривизны, а также угловые смещения в середине каждой из сторон. Число степеней свободы можно довести до 18 путем исключения угловых смещений в серединах сторон [!2.33 — 12.351, задавая кубический характер изменения производных вдоль сторон. Строились также элементы еще более высокого порядка с единственным полем, сохраняющие межэлементную непрерывность (см., например, [12.32, !2,36, 12.37[). Построение таких элементов проводилось на основе полных полиномов 6-й степени (28 членов) и 7-й степени (36 членов) с введением в узлах элемента специальных степеней свободы (производных более высокого порядка).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
