Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 63
Текст из файла (страница 63)
г дв дг Обтединим эти компоненты деформации для и-й гармоники в следующий вектор-столбец: е„= ( е," еее,"7 ау ау* Отвечающая этому вектору (бхб)-матрица жесткости материала задается выражением (10.3). Если в соотношения между деформациями и перемещениями (11.26) подставить выражение для перемещений п-й гармоники (1!.24), получим систему уравнений, связывающую деформации и узловые перемещения. Используя обычные обозначения для преоб- ззу 11.3.
Произвопьные нагрузки разованнй этого типа, запишем (ц') (н.') ' — +[0„) (,„) =[0*„](А!)+[0,1(А„), (11.27) (уу'„) (нг„') е„= [0'„) где (О'„) и [О'„) представляют соответственно симметричные и антнсимметричные преобразования перемещений в деформашш и [А*,1=1 [ц'.)! ч')[.~',) ~, ( А~ ) = [ [.
н.' ) [. ~ ) [. " ) ) Теперь можно определить потенциальную энергию элемента. Полагая й(уо()з гйбйг йг и используя (10.3) н (11.27), получим для потенциальной энергии п.й гармоники П„„(начальные деформации для простоты исключены) (и, ) = [ '"'" [К:)(А„) + [;"'" [К„) (Ай) [. А*. ) (Р„")— — [ А„') (Г,а') — [ А„' ) (Г„') — [ А„') (Р„'), (11.28) где для симметричных членов матрица жесткости имеет вид [К„*)= [) ) ) [0„'1т [Е! [0-„')гйО йг йг ), (11.29) аз а (Г„) и (Г'„) — соответственно векторы распределенных нагрузок и узловых сил для симметричного поведения. Аналогично члены с верхним индексом а определяют матрицы, отвечающие антисимметричному поведению. Следует заметить, что разложение выражений для этих матриц вряд ли приводит к появлению членов типа соззаЕйо== ~ з(пзпайВ=п, о в позволяющие затем исключить окружную координату из выражения для интеграла.
Поэтому общая задача разбивается на отдельные задачи анализа симметричной и антисимметричной мод для каждой из гармоник. Реакция конструкции определяется как сумма соответствующих решений. Следует учесть, что прн получении решений для компонент гармоник с и=! необходимо задать три условия закрепления, а при л»! для обеспечения невырожденности глобальной матрицы жесткости необходимо зафиксировать лишь осевую моду движения тела как твердого целого. Для пг 0 необходимо исключить вращение тела как твердого целого и смещение вдоль оси.
Примеры применения описанного в этом разделе подхода приводятся в П1.8 — 11.Ю!. 11. Сллоаные ллвмллты: частные случаи 33В ! 1.4. Заданное объемное изменение — несжнмаемость !ц) е„= ~ ~ — "~ ~ — '~ ~ —,~~~ !у) =О, (11.32) (1У) а так как тоебуется, чтобы изменение объема для каждого элемента равнялось нулю, то для отдельно взятого элемента будем иметь (и) ) е,с((уо1)=Щ (у) =О, ты (11.33) где ( (1; ) =- ') ~~ — "~ ~ — "~ ~ 3-а~~ с((уо(), (!1,34) то1 Уравнения (11,33), очевидно, представляют собой ограничения, которые можно добавить к глобальной системе уравнений с помощью Обычной задачей механики грунтов является изучение отвердения. Эта задача характеризуется заданием изменения объема в грунте.
В том случае, когда изменение объема равняется нулю, выполнены условия несжимаемостли. В обоих случаях для анализа грунтов требуется модифицировать изложенные выше процедуры. Анализ полностью насыщенных грунтов без дренажа, согласно линейной теории, предполагает, что рассматриваемый материал является двухфазной пористой средой. Одна фаза состоит из пористого материала с линейными упругими характеристиками, а другая фаза — сплошная несжимаемая жидкость. Предположим, что напряжения от в первой фазе (пористом материале) связаны с деформациями е' обычным линейным законом от — ! Вт)зт (11.30) Коэффициенты упругости !Е'! заданы, а коэффициент Пуассона имеет значение, меньшее 0.5. Уравнения (11.30) представляют собой уравнения состояния для фипьтрации в грунте.
Систему уравнений жесткости можно построить при помощи соотношения (11.30), если преобразование от степеней свободы к деформациям соответствует типу используемого элемента. Однако наличие давления в порах для насыщенного состояния требует равенства нулю объемной деформации е„ т. е. е =е„+еу+ет=О.
(! 1.31) Поэтому с учетом уравнений, связывающих перемещения и деформации, и обычных представлений перемещений через функции формы (и=( М, )(и), о=) М, )(у) и ш=~ Й ~(1у)) получим 339 11Л. Заданное обьемное изменение — несжимаемоссь техники множителей Лагранжа (см. гл. 7). Следовательно, полная система глобальных уравнений имеет вид (11.35) где ( Ла ) =( ( и ) ( ч ) ( 19 ) ~; (д) — вектор множителейЛагранжа по одному на каждый элемент; (К') — глобальная матрица жесткости, построенная из элементов, матрицы жесткости которых выводят на основе уравнения состояния (11.30); (!1,1 — матрица коэффициентов системы ограничений, образованная из строк матрицы ) б,' ~, задаваемой с помощью (11.34); (Р) — вектор прикладываемых сил.
Как и следовало ожидать, на основе проведенных в гл. 6 и 7 обсуждений вопросов, связанных с множителями Лагранжа, величины 33 пропорциональны давлению в порах внутри соответствующих элементов. Указанные значения давлений достаточны для предотвращения изменения объема элемента. В процессе затвердевания грунта изменение объема отлично от нуля и зависит от времени. Если принимается пошаговый метод решения, то на каждом шаге по времени определяются отличные от нуля величины изменения объема. Поэтому правые части уравнений (1!.34), (11.35) не равны нулю. Эти и другие аспекты анализа затвердевания грунта приведены в (11.!1 †1.14!. В однофазном материале при коэффициенте Пуассона р, равном 0.5, соответствующие несжимаемому материалу члены, входящие в уравнения состояния, стремятся к бесконечности из-за множителя (1 — 2Р) в знаменателе (см.
(10.3), (11.3) и (1!.8)). Если 14 лишь немного отличаются от 0.5, то решение для перемещений может оказаться неточным, что в свою очередь существенно скажется при подсчете напряжений, так как последние находятся в результате дифференцирования перемещений, Чтобы модифицировать подход, основанный на рассмотрении потенциальной энергии, заметим, что для несжимаемого материала лишь девиаторные компоненты деформации существенны в соотношениях между напряжениями и деформациямы. Поэтому девиаториые компоненты деформации отделяются от дплатационных компонент и используются как базисные для конечно-элементной формулировки.
Кроме того, удобным прямым подходом к анализу однофазного несжимаемого материала является подход с использованием специальной формы принципа Рейсснера, предложенной Херрманом !11.15). Функционал Рейсснера обсуждался в равд. 6.8. Рассматривая для простоты изотропный несжимаемый материал, находящийся в плоском деформированном состоянии, заметим, что физическая сущность рассматриваемой задачи позволяет объединить напряже- !1. Слловные»лементыг честные случал ния, входящие в функционал, в единый параметр р, характеризую- щий давление, т, е. р =(1[Е) (о„+о„+о,), (11.36) Кроме того, можно записать закон, связывающий напряжения и деформации, в виде «дилатационного» соотношения о„+о, +о,=, (е„+а +е,).
(1! 37) В случае плоской деформации можно показать, что перемещения и и о, а также величина параметра давления р определяются из условия стационарности следующего функционала: П, =~ (~ [(а,'+~а)+2у,',+2рр(е„+а,)!— — [г(1 — 2р)р' ~г[А — ~ Т нгб. зо (11 38) Литература 11 1 Оеп Наг!ох 7 Р Аиуапсед 51гепхгЬ о1 Ма!егьа!» — Нет» уог!г, Ы у Мс. Огал Н!и Воо!г Со, 1952 112 Оапьав и 5, %с[геи й Е Еп~1е Е!евеп1 Апа!ума о1 Ахгауввегпс 5оиих ттнп АгЬ|1гагу 1.оащпка — йерог1 67 6, Вер! о1 Спи! Епк, 5!госин га! Епрпееппк СаЬога1огу, [[пг«о! Саи!ого~а, Ветле!еу, Сап!., диле 1967.
При дискретизации этого функционала с целью проведения конечно-элементного анализа желательно задать р через функцию формы с узловыми степенями свободы (р), которые связаны с соответствующими значениями смежных элементов Если, с другой стороны, р остается «свободным» внутри элемента при [г=О 6, то могут возникнуть те же трудности, что и для традиционной формулировки с потенциальной энергией. В частности, для линейного поля перемещений н постоянного значения р в элементе можно показать [11 16[, что формулировки на базе потенциальной энергии и функционала Рейсснера совпадают, Из числовых результатов [11 16[ следует, что наиболее эффективно решения находятся в том случае, когда порядок интерполяции перемещений и величины р совпадают. Вопросы конечно-элементной дискретизации этих функционалов н построения аналогичных смешанных функционалов для анизотропных сред излагаются в [11.16 — 11 !91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
