Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ТЬгее-Рипепяопа! Сопппивп Соври1ег Ргобгавв Гог ягис!ига! Апа1уяв.— АБМЕ Брес!а1 РиЫка1юп, !972. 10.!2. ЙазЬГд у. ТЬгее.Р!гпепяопа! Апа1уяз о1 ЕГавнс Бо1№в.— 1п1. д. Бонда апд Ягосс!., Раг1 1, 1969, б, р. 13! 1 — 1332; Раг! П, 1970, а, р. 195 — 207, 10.13. 21епшетч!сх О., 1гопв В., Бсой Р. С., СаврЬен д. 5. ТЬгее-Р!вепяопа! 1г" 324 1О. Трехмерные элементы: общий случай 51гезз Апа1уяз — Ргос.
о1 5увр оп Н~3!т 5реел Соврийп8 о1 Е1азИс 51гисгигез, Т?пт. о1 !леде, Ве1уив, 1970, 1, р 413 — 432 !0.14 Ег3а1оибв 3„!гола В М, ЪепЬеиост О С. Т!ггее-Еивепзюпа! Апа!увз о1 Агс!г Вава апг! ТИе~г Роиппа1юпз — 5увр. оп Ватле а1 Ипе !пзВПигюп оГ С~у|1 Ел3з, Епископ, Маг 1968 10.15. !гола В М Яиадгагиге йи1ез 1ог Вг~с$с Вжеп Гюп11е Е1егпеп1з — !п1 Л. Ншп Мейт Еп8, 1971, 3, Но 2, р 293 — 294 10.16 Раизеу 5 Р., С!оса й АЧ 1вргочеи Мивепса1!п1е3га1юп о1 Т!т|с!г 5!тей Грийе Е1евеп1з — 1п1 Л Хив Ме15 Епй, 19?1, 3, р 575 — 586 10 17 Ъепгс1ехч|сг О С, Тау!ог й.
1., Тоо Л. М йейгсед !п1е3га11оп ТесИп~йие ~п Сгелега1 Апа1уяз о1 Р!а1ез апп 5!тейт — 1п1 Л Нив. МеИп Елй, 1971, 3, р 275 — 290. 10 18 Ф!!зоп Е е1а! 1псоврайб!е Еизр1асеглеп1Моде1з.— !и Ншпепса1алс$ СовигегМе11юдз !и 51гис1ига! Мес!тап!сз, 5 Л Гепчезег а1 (еда ) — Нету Уог!г, У; Асадов!с Ргезз, 1973, р.
43 — 57. !О.!9. Сгайад!гег й Н, Ра<Ио3 Ю., ВП!аагп Р Р 51гещ Апа1уяз о1 НеагедСовр. 1ех 5!зарез.— Ай5 Л., Мау !962, 32, Но 5, р. 700 — ?07, СПЛОШНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ: ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ На практике при проектировании конструкций существуют две ситуации, когда напряженное состояние в теле трехмерно, но его можно исследовать с помощью двумерных представлений; это — соответственно плоское деформированное и осесимметричное состояния. В данной главе рассматриваютсн указанные ситуации, а также особый случай несжимаемых материалов, характерный для всех классов упругих конструкций.
Плоское деформированное состояние возникает тогда, когда размер конструкции в одном из направлений, скажем в направлении оси г, велик по сравнению с размерами в других направлениях (в направлении осей х и у), а прнкладываемые нагрузки действуют в плоскости х — у и не меняются в направлении г. Пожалуй, наиболее важные практические приложения — это представления, связанные с расчетом плотин, туннелей и других геотехнических сооружений, хотя в плоском деформированном состоянии при определенных нагрузках находятся и такие небольшие по размеру конструкции, как стержни н ролики. Основные аспекты конечно-элементного представления для анализа плоской деформации описаны в разд.
)!.!. Еще один частный класс трехмерных задач порождается осесимметричными конструкциями. Многочисленные инженерные объекты в области машиностроения, ядерной и аэрокосмической промышленности, включая бетонные и стальные резервуары, ядерные реакторы, роторы, поршни, оболочки и ракетные двигатели попадают в класс осесимметрнчных конструкций. В отличие от общих трехмерных задач здесь для задания соотношений используются цилиндрические, а не прямоугольные координаты. В некоторых случаях получающиеся упрощения выражений компенсируются за счет усложнения процесса интегрирования энергии деформации при получении матрицы жесткости. Осесимметричные конструкции часто нагружаются осесимметрично, что позволяет еще больше упростить процесс формулировки з2Ь 11.
Сллоитные элементы: частные случаи элементов. Этот случай рассмотрен в равд. 11.2, Однако в некоторых задачах проектирования нагрузки несимметричны. В таких случаях исследователь должен решить, будет ли он разлагать рассматриваемые представления по гарл1оникаы в окружном направлетшн или использовать аппарат общего трехмерного анализа. С точки зрения экономичности вычислений целесообразно использовать первый подход, который подробно описывается в разд. 11.3.
Для несжимаемых материалов, таких, как резина, с коэффициентом Пуассона р=0.5, характерные трудности связаны с построением выражений для потенциальной энергии, так как члены матрицы преобразований от деформаций к напряжениям делятся на величину (1 — 2 р!. Однако, чтобы обойти эти трудности, можно легко модифицировать традиционный подход, основанный на рассмотрении потенциальной энергии, В этом случае также выгодно использовать подходы, базирующиеся на рассмотрении дополнительной энергии нли функционала рейсснеровского типа. В равд. 11.4 изучаются оба класса операций при исследовании несжимаемых материалов. 11.1.
Плоско-деформированное состояние Условия плоского деформированного состояния изображены на рис. 11.1. Прямоугольный стержень, размер которого в направлении оси г больше, чем в направлениях х и у, закреплен так, чтобы исключить смещения вдоль оси г. Нагрузки Т зависят лишь от ко- (», ») Сеча»»е А -А Рнс. 11.1. Условия ири анализе плоского деформированного состояния. ординат х и у. Заметим, что прн указанных условиях продольная деформация е, и касательные напряжения т„и тиэ равны нулю.
Полагая в соотношениях между деформациями и напряжениями 11,1. Плоско-деформированное состояние 327 (4.14) е, равной нулю, получим для изотропиого материала Е Е Е (11,1а) а„ рак ра, е„= Е Е Е (1!.1Ь) ав ра„ра а„= — — — —— Е Е Е (! 1.1с) Разрешая первое уравнение относительно о„подставляя получен- иое выражение в последние два уравиеиия и добавляя соотиоше- иие между укв и т„„, получим 1:" О (1 — 1) 1 О О О е„ (1 — Ив) Е (11.2) и после обращения матрицы 1 — р Е р ((+ И (1 — 2р) О ь И О вЂ” О 1 — 2р О 2 ав . (!1.3) .то Линейные соотношения, связывающие перемещения и деформации, относятся лишь к заданию геометрических характеристик деформации и применимы как в случае плоского иапряжеииого, так и плоского деформированного состояния. Следовательно, соответствующие соотношения содержатся в (4.7), и принципиальное различие между коиечио-элемеитиыми формулировками для плоскоиапряжеииого и плоско-деформированного состояний заключается в различии заковав, связывающих деформации и иапряжеиия, т.
е. законов (1!.3) и (9.3). Поэтому здесь справедливы построения из гл. 9, включая использование концепции элементов высоких порядков, рассмотрение альтернативных вариантов с использованием в элементах дополнительных узлов и степеней свободы в виде производиых от перемещеиий, а также применение изопараметрического представления геометрии элемента. Другое отличие от случая плоского напряженного состояния заключается в неравенстве нулю компоненты напряжения о,. После нахождения узловых перемещений значение а, можно вычислить с использоваиием соотношений (11.3), (4.7), (11.1а).
Часто конструкции, изображенные па рис. 11.1, имеют коиечиые размеры в направлении оси г, и смещениям их в этом иаправле- 328 1!. Сплошные элементы: частные случаи нии ничто не препятствует, поэтому предположение, что е,=О, не выполняется. В этих случаях обычно полагают е,=сопз1 !случай обобщенного плоского деформированного состояния). Чтобы построить конечно-элементное представление для этого случая, можно испольэовать соотношения трехмерной теории упругости (1О 3), связывающие напряжения с деформациями, полагая у„,=у„=О и е,=сопз1.
Деформации еэл е„и у„„выражаются через предполагаемые поля перемешений и и о обычным образом. Результирующие глобальные уравнения жесткости формулируются затем в терминах узловых значений величин и и о и одной константы е,. И.2. Осесимметричные тепе 11.2Л. Осмовмыо соотмошвнмв Осесимметричный конечный элемент имеет форму кольца постоянного поперечного сечения. Элемент задается в цилиндрической системе координат, ось симметрии которой г, а радиальное расстояние определяется координатой г.
Бесконечно малая площадка поперечного сечения такого элемента, включая участок внешней поверхРлс, 11.2. Элементарная площадка поперечного сечения для осесвмметркчвого сплошного элемента ности Нв, лежит в плоскости г — г, как показано на рис. 11,2. Окружная координата, не участвующая в данном рассмотрении, задается углом 8. Узлы элемента, по сути, представляют собой узловые окружности. Поэтому расчет осесимметричных тел при осесиммвтричных нагрузках сводится к расчету двумерной задачи, так как поле перемещений может описываться только двумя компонентами в плоскости поперечного сечения, а именно радиальным перемещеннем и и осевым смещением ти.
Соответствующими компонентами деформации в цилиндрических координатах являются радиальная е„окружная еа, осевая е, и сдвиговая у„деформации; соответствующими компонентами напряжений — компоненты а„, оа, а, и тлы Окружные напряжения и деформации существуют благодаря тому, что равномерное радиальное смещение увеличивает длину окружности. Приведем линейные 11Д Осесимметрччные тела 329 соотношения между деформациями и перелтещетлиями (11.1) ди и йе Ди Дте е= —, е„= —, е= —, у = — +— Г Дг ' г л Дг гг Дг ДР (11. 4) и уравнения состояния о = (Е )е — (Е1 е' л", (4.
15) где ! о,о„о,т„)т, 1 е,еир,у„! ( е,''е' е у, ,ь: .~т ил~, т ~т 'ев ег т'г (11.5) (11 6) (11 7) е= Е'л" = (1 — р) (1 — )л) (Симметрично) р р (! (л) О О О Е [Е1 = (!+и) (! — 2и) где строки и столбцы записаны так, чтобы соответствовать векторам напряжений и деформаций (11.5) и (11.6). Благодаря осевой симметрии в выражении для потенциальной энергии интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по площади. Бесконечно малый элемент объема, отвечающий бесконечно малой площади, изображенной на рис. 11.2, равен с((чо!)= =2лп(А, а площадь поверхности, соответствующая длине г(з, равна т!5=2лгс(9. Поэтому выражение для потенциальной энергии примет вид Ир — — л ) е (Е1 ег с!А — 2л ) е(Е|елл'гс(А— А А — 2 л $ (и Т, + тв Т,) г с(з, (1 ! .
9) где е, е"н и (Е1 определяются согласно (11,6) — (11,3), а Тг и Т,— заданные усилия на единицу площади поверхности. В частности, для изотропного материала при изменении температуры Е по сравнению с температурой свободного от напряжений тела имеем еулт=еалтт=енит=-ссТ, у,",л'=.О. Матрица упругих констант совпадает с матрицей для плоско-деформированного состояния лишь с тем отличием, что здесь для учета третьей компоненты напряжений необходимо добавить строку и столбец.
Для изотропного материала имеем 1! . Сплошные элемеитьп частные случаи пи Рис. 11.З. Сечение треугольного кольчеаого элемента. Для данного типа элемента пригодно линейное поле перемещений. Так как ло находится в обратно пропорциональной зависимости от радиуса, то возникают дополнительные трудности при построении матрицы жесткости элемента даже для случая линейного поля перемещений. Чтобы понять, в чем состоят эти трудности, удобно воспользоваться обобщенными перемещениями. Поэтому выберем и=а,+а, г+а, г, цг=а,+аэг+а„г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
