Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Изложенная подробно в 110.6) процедура построения матрицы жесткости для рассматриваемого элемента существенно отличается от приведенной выше, В указанной работе приводятся в виде таблиц матрицы жесткости в обобщенных координатах и матрицы преобразования обобщенных координат в узловые. Знание явных выражений для «основной» матрицы жесткости, как показано в равд.
8.2, где строится матрица жесткости, соответствующая обобщенным смещениям (а), позволяет построить целое семейство матриц жесткости тетраэдральных элементов для полей перемещений в виде полных кубических полиномов обобщенных параметров. Развивались и другие подходы к построению матрицы жесткости элемента Т48. Так, в 110.1! вначале строится полный (двадцатиэлементный) кубический полином в объемных координатах, а далее в предположении, что перемещения меняются по квадратичному закону вдоль граней элемента, число членов доводится до 15.
Для определения элементов в криволинейных координатах используются также различные метрики. В 110.2) полный квадратичный полином в объемных координатах (10 членов) дополнен шестью членами, взятыми из кубического разложения. тО.З. Прямоугольные шестигранные элементы аб.зд. Общие замечание На рис. 10.5 изображено базисное семейство прямоугольных шестигранных элементов, степени свободы которых представляют собой лишь трансляционные перемещения.
Это семейство называется лагранжевым, так как поля перемещений, на основе которых они строятся, задаются с помощью лагранжевой интерполяции, описанной в п. 8.3.1. Простейший элемент из этого семейства изображен на рис. 10.5 (а) и строится на основе линейных полей перемещений, 515 10.3. Прлмоугольные шестигранные элементы полностью определяемых степенями свободы в восьми вершинах. Обобщение на квадратичные и кубичные поля перемещений приводит, как показано соответственно на рис. 10.5(Ь) и (с), к появлению внутренних узлов. Указанные внутренние узлы можно исключить из рассмотрения с помощью стандартной процедуры конденса- (а) (Ь) (с) Рнс.
1Одп Лагранжево семейство шестигранных элементов (внутреннне узлы не нзображены): (а) линейный: 8 узлов, 24 степени свободы; (Ь) квадратичный: 27 уз. лов, 81 степень свободы;(с) кубический: 64 узла, !92 степени свободы. ции (см. равд. 2.8). Кроме того, с помощью описанного в равд. 8.7 приема, преобразуя лагранжевы интерполяционные функции, можно построить функции формы, которые записываются только в терминах внешних узлов. Используя интерполяцию Эрмита (п. 8.3.2), можно также построить прямоугольный шестигранный элемент со степенями свободы в виде значений производных в вершинах элемента. Для построения базисного элемента из этого семейства необходимо задание кубических полей перемещений, причем общее число степеней свободы для элемента достигает 192. Хотя построение прямоугольных шестигранных элементов все более высокого порядка с любым типом степеней свободы теоретически возможно, все же на практике ограничиваются лишь несколькими основными видами.
Характеристики этих элементов сведены в табл. 10.2 110.3). Из представленных в таблице элементов обсудим подробно задание полей переме1цений лишь для случаев а, Ь и с, так как именно эти элементы используются в рассматриваемых ниже тестовых численных экспериментах и широко применяются на практике. Описание полей перемещений для случаев с( и е можно найти соответственно в (10.7) и [10.81. 10.3.2. Прлмоугольный шестнгранннн с лннейным полем перемещеннй В дальнейших построениях удобно поместить начало координат в центре элемента н выразить все координаты в безразмерном виде, причем указанные координаты $, т( и с задаются согласно методике равд. 8.7 (см.
рис. 10.5(Ь)). Аналогично случаю плоских элементов, описанному в равд. 8.4, для полей перемещений при интерполяции 316 10. Трехмерные элементам общий случай Таблица !0.2. Прямоугольные шестнгранные конечные элементы Числ~ степе. неа свобод», приходя- Число жился узлов Замечаем» Обозначение Представление на елена уВел 8 3 24 Поля перемещений в виде лннейных полнномов; и, и, ы в качестве степеней свободы в каждом узле; подробнее см. [10.4, 10.9) Поля перемещений в анде квадратичных полнномов; и, и, и в качестве степе. ней свободы в каждом узле; см. [1ОА, 10.10, 10.17) Поля перемещеннй в виде неполных кубнческнх полнномов; и, о, ш в каче. стае степеней свободы в каждом узле; см.
[!0.4] н [10.14) Поля перемещернй в анде полных кубических полиномов с внутренпнни узламн; и, о, ы в качестве степеней свободы в каждом узле; в нзопараметрнческом случае называется элемент ШМ1)ЧАМ подробнее см. [10.7) Поля перемещений в виде неполного полннома пятой степени [10.13) либо эрмнтовой полнномнальной ннтерполяцнн [10,8[; пере. мещення н производные от перемещений в качестве степеней свободы; нзопараметрическое представление обсуждается в цнтнрованной литературе 20 3 60 32 3 96 64 3 192 В 12 96 Лагранжа имеем и=~6[~ [м), и=[ й[ ~[у), гп '[ й[ 1)цг), [10.15) причем [ [Ч )=[ Ф!...Фя ), )и) ~их...иа ~т, [у) [ их...ия~, [ту) [ гп,...вра )т, 10.3. Прямоугольные аестнгренные элементы 317 где У1= '! э (1+ $$г) (1+ Чтн) (1+ от).
(10.16) Построение матрицы жесткости для этого элемента осуществляется обычным способом. Поля перемещений (10.15) дифференцируются согласно соотношениям между перемещениями и деформациями (10.2). Приходим к формулам преобразования узловых смещений в деформации (н) (е) =[01 (У) (нг) (10. ба) Если (Е) выбрана в соответствии с (10.3), то приходим к матрице жесткости, задаваемой выражением (10.8), т. е. [(г) = ~ ) [0)т [Е)[01 т((уо1)) . ты Явный аид этой матрицы приводится в 110.91. 1В.3.3, прямоугольные аестнгреннннн еысаня яорядное а для типичного узла, находящегося в средней точке ребра, 31=0» т)Г=~1, 1=~(т 10. 18 тУг='I, (1 — Р) (1+ Ччг) (1+ ььг) ( ) Формулы, задающие связь этой функции с коэффициентамл поли- номиального разложения, а также альтернативные виды функций формы для 20 узловых элементов приводятся в П0.10).
Как указывалось, можно легко построить шестигранный элемент более высокого порядка, применяя для этого интерполяцию Лагранжа требуемого порядка. Возникающие в этом подходе трудности обусловлены наличием узлов внутри элемента и на его гранях. Поэтому предпочтительнее использовать элементы, имеющие узлы только на ребрах, как, например, двадцатнузловой элемент, представленный в графе Ь табл. 10.2. В этом случае матрицы соотношений (10.15) имеют вид [ (ч' (= [ тут„.)уа ), (н)=( ит...ны )" и аналогичные выражения для (у ) и (ту). Как отмечалось в равд. 8.7, этот вид функций формы с исключенными внутренними узлами не единствен. Широко используется н следующий альтернативный вид.
В вершинах (с началом координат в центре) тУт=т)э(1+Йг) (1+т)г)1) (1+~Бг) Яг+Чцг+Ыг — 2) (10 17) з)в !О. трехмерные злемеитьн общий случай Более сложное представление с 32 узлами дается в табл. 10.2 в графе с. Здесь функции формы в вершинах имеют вид (с началом координат в центре) тУ~='/щ(1+ Д;) (1+т)т)~) (1+К;) [9 (Я'+т)'++19) [, (10.! 9) а для типичных узлов, лежащих на ребрах в точках 3~=~'!з, ай —— =~1, ~,=-Е1, имеем М( — — з/о,(1 — Р) (1+9Д,) (1+т)т),) (1+~Я,).
(10.20) Процедура преобразования выписанных полей перемещений в матрицы жесткости элементов совпадает с процедурой для шестигранника с линейным полем перемещений. 40.4. Сравнение численных результатов В [10,1, 10.3, 10.4, 10.9) были проведены исследования относительной точности и эффективности некоторых тетраэдральных и шестигранных элементов, описанные в и.
10.3,1 и !0.3.2. На рис. 10.6 изображена задача, рассматриваемая в [10.4[ в качестве тестовой гочни, сйодойна аеремеасающоеса д наосности у-л Луомеит 000 руин дюйм с «о 2 (дюйма л .м — — т ао 3 (дюим) х Рис. 10.0. Консольная балка, используемая для изучения точности решений (нз 1)0,4)) (размеры даны в дюймах). для сравнения точности получаемых решений. Конструкция представляет собой консольную балку, к которой на конце приложен момент. Балка разбивается на 42 прямоугольных шестигранных элемента. Часть решений получена с помощью шестигранных элементов, образованных в результате объединения тетраэдральных элементов, например, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
