Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Проблема встает особенно остро, если используются треугольные элементы с постоянным напряжением, По-видимому, для задания напряженного состояния лучше всего выбирать точки в центре каждого элемента. Однако не имея большого количества элементов, трудно интерпретировать полученный результат. Можно также задавать средние значения напряжений в узлах, принадлежащих нескольким элементам. В любом случае дискретный вид получаемых результатов подразумевает разумный характер поведения кривых, задающих компоненты напряжения на контуре.
На рис. 9.9 представлены некоторые способы [9,!31 интерпретации рассчитываемых полей напряжений в задачах с треугольными элементами, составляющими прямоугольную сетку. Схема, изображенная на рис. 9.9(а), позволяет полностью исключить необходимость использования данных для элемента и приводит к конечно-разностной аппроксимации деформаций при помощи узловых смещений. Так, в точке 3 нс — ня от — ес е к 2а ' я е = — т и т. д., откуда с учетом уравнений состояния легко подсчитать напряжеяия, Для другой простой альтернативной схемы представим, что конечно-элементная модель разделена вдоль сеточной линии, как показано на рис.
9.9 (Ь). Силы взаимодействия Р,, и Р„р действующие в узлах вдоль этой линии, вычисляются в результате умножения соответствующих узловых перемещений на отвечающие им матрицы жесткости элементов с последующим суммированием так подсчитываемых сил в каждом узле. Эти силы распределяют, как показано на рис. 9.9(с) (штриховая линия), в виде ступенчатой диаграммы напряжений, которые затем представляются в полигональной форме (сплошная линия).
При построении распределений касательных напряжениИ используется свойство близости. Так, в точке 2, например, о„,=Р~,!а1, т„„,=Р„,/ай Уточнение этой методики осуществляется следующим образом. Для каждой точки записывается уравнение статики, связывающее газ 9.2. Треугольные нпоско-напряженные Элементы г„с соседними напряжениями о, см. рис. 9.9(д). Например, Рэ,='/э(4 гтэл +о„„+о„л,) ай Имеется столько уравнений, сколько неизвестных напряжений. Решение этих уравнений однозначно определяет распределение у,с таг 'Уг 'Уа Уз 'Ус 'Уэ сс) о„ Рнс. 9.9.
Подходы к определенннт напряжений для прямоугольных сеток. напряжений. Эти операции можно рассматривать как элементарную форму подхода, основанного на введении сопряженных напряжений. 206 9. Плоско-напряженное состоянье 0.001 0.001 0,0012 0,0011 0.0010 200 Гтгдадд сугпггггг Рис. 0.10. Пластины при распределенной по краю в виде квадратичной функпии нагрузке. Сравнение результатов для треугольных элементов. В первой задаче (рис.
9,10) рассматривается прямоугольная пластина постоянной толщины, к краям которой приложены параболнчески распределенные нагрузки. Подробноспт решения этой задачи иа базе предполагаемых полиномиальных представлений напряжений и принципа минимума дополнительной работы приводятся в (9.111. На вставке рис. 9 19 изображена представительная сетка треугольников с постоянной и линейной деформациями в элементах (СБТ- и (.БТ-элементы).
(Благодаря симметрии относительно двух осей рассматривается лишь четверть пластины.) Из рисунка также видно, какие еще виды сеток использовались с различным числом степеней свободы. 9.2А. Сравнение результатов члененного анализа длв треугольных элементов Две задачи, которые долго служили основой сравнения альтернативных формулировок плоско-напряженных элементов, иллюстрируют существенно различные свойства треугольных элементов. Существование этих задач как основы сравнения вытекает из того факта, что они принадлежат тому небольшому количеству плоско- напряженных задач теории упругости, которые тщательно исследовались с помощью традиционных методов решения. у,и 287 9.2. Треугол ны ллосно-ньлрлженные «лементы Энгннвннов рвигвнив (Ю 15.1511 115 нинванв" е ~„вняв ыс йввнвнв й рвсн ввввгв ,в внг ° алввв ннвй внввв' влавй и ври 11О го5 н<"ч л 5О 1ОО 15О гоо Сулвннни сйвйвйвг Рис.
9.11. Конечно-зленентный анализ консольной балки — треугольные эле- менты. На рис. 9.!1 представлены результаты, относящиеся ко второй задаче. Рассматривается изгиб консольной балки единичной толщины, к свободному концу которой приложена сила Р. Сила на конце приложена в виде распределенных по квадратичному за- Представленные на рис. 9.10 численные результаты для смещения точки А в горизонтальном направлении демонстрируют высокую степень точности решений при относительно небольшом числе степеней свободы. Аналогичный характер сходимости и точность достигаются и при расчете напряжений, хотя, как указывалось ранее, здесь встречаются определенные трудности при интерпретации полученных численных результатов для напряжений.
Решение, полученное на основе применения треугольных элементов с линейным распределением деформаций внутри них, существенно лучше решения, полученного для треугольных элементов с постоянными деформациями внутри элементов. 9. Плоска-напряженное состояние 288 кону касательных напряжений. Н агрузки представляют собой энергетически эквивалентные силы, приписываемые к узлам (см.
гл. 6). На рисунке изображены результаты численного эксперимента для вертикального смещения в нейтральном слое на свободном конце в зависимости от числа степеней свободы в конечно-элементной идеализации. Здесь в серии расчетов также используются СЗТ- и ( ЗТ-элементы. Решение, с которым проводится сравнение, берется из (9Д5!. В этом случае видно, что использование СЬТ-элементов не позволяет достичь приемлемой точности для числа степеней свободы, нс превышающих 200.
Результаты для Е$Т-элементов значительно лучше, чем для СБТ-элементов, однако характеристики сходимости здесь значительно хуже, чем в предыдущем примере. Результаты экспериментов„приведенные в (9.3, 9.16), подтверждают сказанное. Другие численные решения показывают, что улучшение результатов, полученное при использовании треугольных элементов с квадратичным распределением деформаций в них, по сравнению с треугольными элементами с линейной деформацией не очень велико. Приведенные результаты показывают, что при решении основных задач теории упругости о плоском напряженном состоянии предпочтительнее использовать треугольные элементы с линейной деформацией в них, а преимущества использования треугольных элементов более высокого порядка не столь очевидны. Каждое такое заключение должно быть смягчено рассмотрением стоимости построения коэффициентов жесткости элементов, размерности уравнений, а также возможностей решения глобальных уравнений и возможностей вычислительной машины.
Заметим, что, хотя общая задача о плоском напряженном состоянии изучается адекватным образом, описанные ранее формулировки для плоского напряженного состояния не являются подходящим средством для анализа задач изгиба. Об этом речь пойдет в разд. 9.3. 9.2зп Альтернатнаные аарнацнонные прннцнпы лрн построении треутольныл ьлементое Простота и достигаемая точность конечно-элементного представления, основанного на принципе минимума потенциальной энергии (базирующегося на перемещениях), в случае плоского напряженного состояния сдерживают развитие конечно-элементных представлений, опирающихся на альтернативные вариационные принципы.
Как указывалось в гл. 7, принцип минимума дополнительной работы важен потому, что позволяет установить верхнюю границу для некоторых параметров решения. Однако его развитие и применение ограничиваются возникающими при построении элементов трудностями и пониманием того факта, что практическое 9.2. Треугольные плоско-напряженные алеыенты 2а9 задание нагрузок и аппроксимация реальных геометрических характеристик могут привести к нарушению условий, обеспечивающих достижение верхней границы для решения. Формулировки, основанные на принципе минимума дополнительной работы в задачах о плоском напряженном состоянии, вклточают задание функционала, содержащего вторые производные, если в качестве основной неизвестной выступает функция напряжений Эри Ф. Следовательно, требуется, чтобы Ф и ее первые производные были непрерывны при переходе от элемента к элементу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
