Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 50
Текст из файла (страница 50)
ЕмепЬегй М А, Ма!чегп Ь Г Оп Г!пце Е!егпеп1 !п(ейга(~оп 1п Ха1пга! Саогб|па1ез.— !п1. ! Хшп. Мебг Епй, !973, 7, р 574 — 575. 8.7. АЬгагпач11г М, 51ейпп 1 А НзпбЬоой о! Ма(ЬегпаИса! ГппсИопз,— %азЬ|пу(ап, О С.. ХаГ! Впгеап о1 51апдагбз, 1964 (Имеется перевод Абрамовиц М, Стиган И. Справочник по спецнальнылг функцияч.— Я.
Мир, !979 1 8,8. 51гзпй П, Г~х О. Ап Апа!уыз о1 1Ье Гш11е Е!егпеп1 Мерйоб — Епу!емоод СЬИс, Х ) Ргепйсс-НаИ, !пс.. 1973 8.9 5!Нез(ег Р Те1габебгопа! РоИпопиа1 Гш!1е Е!егпепВ 1ог 1Ье Не!шбо11г Еоиз11оп.— !п1 3 Хшп Мерп Епу, 1972, 4, Хо. 4, р. 405 — 4!3 8.10 Тас1ог К. 1.. Оц Гпе Сошр!е1епезз о1 5Ьаре Гппспопз 1ог Г!и!!е Е1егпеп1 Апа!узы.— Л Хцгп. Ме1Л. Епй, !972, 4, Хо 1, р. 17 — 22 8 П, Ъеп)с1есн~сг О С. Норагаше1пс апб А!Иеб ХптепсаИу !п1ейга1еб Е1ешепН— А реттч — !п Хшпепса! апб Сопсри1ег Л!еубобз 1п 51гпс1пга! Месбап~сз, 5 ) Гептез, е1 а), (ебз.).— Хеч УогЬ, Х.У: Асабепис Ргезз, 1973, р !3 — 42.
8.!2. !гопз В. М Япабгз(оге Кц!ес !ог Впс)с Вазед Г1п11е Е!ешеп(з — !п1 Л Хпш Мера Епй., !971, 3, Хо 2, р. 293 — 294. 8.!3. Вопб Т 3., ег а! А Сошраг1зоп о1 5огпе Сигчеб ТсчоИЬшепз1опа! Г!пие Е1егпепН,— Л 51гаш Апа!умз, !973, 8, Хо 3, р.
182 — 190. Задачи 8.1. Изучите вопрос применимости поля перемещений из (9.16) с точки зрения критерия, введенного в равд. 8.1. 8.2. Используя критерий из равд, 8.1, обсудите вопрос применимости функции, выписанной нннсе, для представления полей перемещений для изображенного на д, и 2 х,и Рис. Р8.2. рис.
Р8.2 конечного элемента в виде параллелограмма, находящегося в плоском напряженном состоянии. хэ и = а,х+ а,у + аз (ху — из ) +ам ис 8.3. Выпишите функцию перемещений и для изображенного на рис, 8.7(Ь) прямоугольного элемента на основе двумерной лагранжевой интерполяции, исключив точку 5 посредством задания линейного распределения перемещений между тачками 4 и б, а также 2 и 8.
8.4. Перепишите приведенную в равд. 2.8 процедуру исключения дополнительных степеней свободы так, чтобы имелась возможность учета нагрузок, соответствующих исключенным степеням свободы. 8.5. Выпишисе в треугольных координатах коэффициенты функпии формы Агзаи АГзсе и Хгп для кубического поля перемещений. 8.8. Получите в треугольных координатах коэффициенты функции формы Хсм и Фзз, для квадратичного поля перемещений. 8.7, ОмпРеделив, согласно Равд. 8 5, фУнкции фоРмы А!зм и т. д., Докажите КоР- ректиость выписанных в задаче 6.9 выражений.
8.8. Постройте функции формы для изображенного на рис. 8.5 тетраэдра в тер- минах узловых координат в случае хз=уг=уз=ах=гз=га=б 264 В. Представление ф нкций повеления элемента и его геометрии 8.9. Вычислите интеграл ~ (дй)внттдх)(дтрвтт/дтр)СА для треугольного элемента А с вершнной 200 в начале координат н вершинами ! !О к 020, расположеннымн на оск х.
8.10. Определите функции формы для четырехузлового стержневого конструктивного элемента (сч. рнс. 8.2), нспользуя лагранжеау интерполяцию, 8.11. Постройте функцию формы для прячоугольной нзгнбаемой пласптны, используя эрмнтову ннтерпаляцню так же, как это делается прн форттулпровке лагранжевых элементов. Удовлетворяет лн построенная функция всем крнтерняч нз равд. 8.!? 8.12. Постройте с почощью эрчнтовой ннтерполяцнн одномерную функцию формы, соответствующую полнному пятой степенн. В качестве степени свободы на каждом конце сегмента прнмнте саму функцню, ее первую н вторую производные.
8.13. Бнквадратная внтерполяцнонная формула (8 17) выписана в системе коордннат с началом в ннжнем левом углу элемента. Выпишите ее в коордннатах еь, т) с началом в центре элемента. 8.14. Постройте подходящее поле перечещеннй и для нзображенного на рнс. Р8.14 элемента. 5 С 3 ,~Г и ° 2 Рнс. Р8.14. 8.18. Предположим, что, как н в случае теплопроводностн (см, равд. 5,4), поведение треугольного элемента описывается скаляром г, задаваемым в виде )ттт+)ттт+(з(з+(тьвьзте ( Р) )(я) где йд, Вв н Ев — треугольные координаты; 1„1т н т в — значенне температуры в вершинах элемента, тв — обобщенный параметр.
Матрица поведення задается формулой "'-[1(т%%) ("-:)%))""] где ч — коэффициент теплопроводностн. Постройте матрицу поведення для этого случая н нснлючнте «дутые» моды Вм (.в, ).з с помощью процедуры конденсации. ПЛОСКО-НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Теперь в нашем распоряжении имеются все компоненты, необходимые для построения разнообразных видов конечных элементов н функций, задающих их поведение. С данной главы начинается описание конкретных типов элементов для анализа сплошной среды. Этому в книге посвящены четыре главы, в которых соответственно рассматриваются плоско-напряженные элементы, трехмерные элементы, специальные виды трехмерных элементов и изгибаемые пластннчатые элементы.
Три главы, включая данную, открываются кратким изложением основных соотношений, отвечающих рассматриваемому типу поведения, т. е. определяющих дифференциальных уравнений и специальных форм соответствующих дифференциальных уравнений. Содержание последующих разделов этих глав и двух оставшихся глав, относящихся к указанной группе, определяется типом рассматриваемого элемента. Данная глава посвящена вопросам конечно-элементного представления тонких пластин, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, т. е. при действии в их плоскости нормальных и касательных напряжений, Плоское напряженное состояние является простейшей формой напряженного состояния конструкций, часто встречающейся на практике.
Указанные элементы используются для представления конструктивных элементов тонкостенных и подкрепленных конструкций, кесонных конструкций, а такжедля учета мембранных напряжений в оболочках. Основные соотношения плоского напряженного состояния служат инструментом для проведения различных фундаментальных теоретических построений в последующих главах. Первый раздел этой главы краток и содержит в основном лишь указания на те места книги, где определяющие соотношения вводятся впервые.
Для плоско-напряженных элементов наиболее существенным отличительным фактором является их конфигурация. Хотя возможны различные конфигурации элементов, здесь рассматриваются тре- 26б 9. Плоско-напряженное состояние угольные и четырехугольные элементы, причем каждый из указанных элементов детально изучается в отдельном разделе главы. Формулировки треугольных элементов плоского напряженного состояния в принципе основаны на задании предполагаемых полей перемещений и интеграла потенциальной энергии. В данной главе предложено несколько альтернативных формулировок различной степени сложности для треугольных элементов. Здесь обсуждаются также аспекты практического построения треугольных элементов и, в частности, вопросы интерпретации результатов расчета полей иапряженвй.
Представлены численные решения в зависимости от измельчения сетки разбиения для двух задач, для которых имеются аналитические решения. Приводятся замечания относительно роли смешанных вариационных принципов и принципа минимума до. полнительной энергии при построении треугольных конечных элементов.
При рассмотрении прямоугольных плоско-напряженных элементов вначале изучаются формулировки, полученные с помощью межэлементно согласованных полей перемещений. Для этих элементов приводятся результаты расчетов, откуда становится ясно, что задачи, которые должны описывать состояние изгиба, лучше моделируются с помощью элементов, содержащих дополнительные функции перемещений. Изучению укаэанных функций отводится специальный раздел. При формулировке элементов гибридный метод напряжений имеет определенные преимущества в отдельных задачах плоско-напряженного анализа. Этот подход к построению элементов описывается в заключительном разделе главы.
9Л. Основные соотношения 9.1.1. Дифференциальные уравнения и уравнения состояния Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся в плоском напряженном состоянии (рис. 9.1). Координатные оси х и у расположены в срединной плоскости пластины, в которой действуют постоянные по толщине пластины ( напряжения о„аа и ти„. Предполагается, что нормальным напряжением о, и касательнычи напряжениями т„, и т„можно пренебречь. Дифференциальные )равнения равновесия имеют вид уравнений (4.2). Соотношения между деформациячи и перемещениями представлены формулами (4.7). Уравнение (4.8) представляет собой дифференциальное уравнение совместности. Нечасто трсбуется имегь в распоряжении уравнения состояния для плоского напряженного состояния в случае более общем, чем для ортотропного материала.
Поэтому с учетом начальных дефор- 267 9,1. Основные соотновнения (4.15) о= ~ о„о„тк %= !! Ркяряк) (9.3) с Р„„Е„=р,кЕ„. Здесь б — модуль сдвига. Следует отметить, что уравнения состояния для ортотропного материала часто задаются в глобальной системе координат (х, у), а элемент необходимо построить в осях координат (х', у'), связанных с элементом. Если, как показано на рис. 9.1, ф — угол между гло- бальной и связанной системами координат, то преобразование ком- понент напряжений в глобальной системе к компонентам в связан- ной системе имеет вид е„. (9.4Ь) маций енн', е„'нн и у!7! запишем о = (Е !е — (Е !енн1, где Рис.
9,1. Плоско-напряженное состояние. созе ф 51п' ср 2 5(п 1р соз ср 51п'ф соз'ф — 2япфсо51р — 51п1рсозф 5!пфсозф соз'ф — 5!п'ф а для компонент деформаций имеем СО5 ф 5!П ф 5!и ф соз ф 51пв ф соз' !р — 51пфсозф — 25йпфсозф 25!п фсозф созв ф — 5!пвф (9.1) (9.2) ( Ок о„, (9.4а) 2ЬВ 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
