Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 46
Текст из файла (страница 46)
8.5 сегмент длиной х,. Расстоя- рнс. В.в. Естественные координаты в одиомер. нои случае. ния от точки ! до точек 1 и 2, определенные через 7.т и (.м обезразмерены так, что Ат+1,в=1. (8.7) Следовательно, согласно данному выше определению естественных координат, 8,=1 в точке 1 и 8,=0 в точке 2, 8,=1 в точке 2 и 8,=0 я точке 1. Теперь можно задать координату х узла в виде х=).тх,+7.ьхт. (8.8) Объединяя (8,7) и (8.8), запишем (8.9) н после обращения матрицы получим следующее выражение для 7., и 7., через физические координаты х, и х,: (8.10) В этой связи подчеркнем, что задание граничных точек линии точками 1 и 2 служит лишь для того, чтобы ввести естественные координаты, соответствующие полной длине этой линии. Если разбить весь отрезок на несколько сегментов, то внутренние и граничные точки обозначаются различным образом. Естественные координаты позволяют в простом виде представить функции формы для линий, разделенных на любое число сегментов.
С этой целью удобно перенумеровать узлы согласно схеме на рис. 8.3(Ь). Самой крайней с левой стороны точке присваивается номер О, а самой правой — номер тп. Построение функции формы сводится к выбору интерполяционного полинома т-го порядка, проходящего через эти точки. Обозначая вновь типичную степень свободы через 1, выпишем формулу перехода к естественным координатам в виде следующей язв В. Представление улицей наведение влементв и его геометрии интерполяционной формулы Лагранжа: Ф,(Е;)=П ~ ' ) для 1)1, /мт =- 1 для 1=0. (8.11) Аналогичная формула справедлива и для Фт(Е,). Прежде чем выписать полную функцию формы, заметим сначала, что каждый узел может быть идентифицирован указанием положения относительно двух граничных точек элемента.
Используем ниже индексы р и д, где р обозначает число узлов, лежащих справа от рассматриваемой точки, а д — число узлов, лежащих слева. На рис. 8.4(Ь), например, три узла обозначены как 20, 11 и 02. Им соответствуют функции формы Ат„, Фтт и Фаа. Зададим теперь функцию формы в ви- де ~ла ~р(Ет)А а(Еа) (8.12) При определении Ет и Е, в (8.10) х, следует заменить на х„, а х, на х„, Чтобы проверить соответствие выписанного выражения с предыдущим заданием этой функции в терминах физических координат, необходимо определить преобразование координат, представленных на рис.
8.4(Ь), к координатам на рис, 8.4(а), Приведенное выше выражение оказывается тождественным с полученным для этого случая ранее, за исключением того, что нижние индексы у х на единицу меньше (в нашем случае х; соответствует х, из проведенного ранее построения). Используя функции формы, выраженные в терминах Ет н Е„ в формуле для матриц жесткости элемента (см. равд, 6.2), получим а интегралы вила )ЕатЕ(йх, где а — полная длина элемента. Одним а из преимуществ использования безразмерных координат Е; и Е, является возможность получения явного алгебраического выражения для выписанного интеграла 18.61.
Чтобы показать это, заметим где Ур (Е,) и ттт (Е,) даются формулой (8.1!) с соответствующей заменой 1 на р и д. Для рассмотренного выше элемента имеем (при т=2) У,(Е,)= =Е,(2Е, — 1), йГ,(Е,)=Еа(2Е, — 1), й(т(Ет)=2Етч Ф,(Ет)=У,(Е,)=0. Тогда представление функции перемещений в естественных координатах имеет вид (здесь узловые перемещения помечены теми же нижними индексами, что и функции формы) б = й(габта + 111пбат + Д(аалаа = =Е, (2Е,— 1) Л„+ 4Е,Е,Ь, +Е,(2Е,— 1)А„.
6.3. построение фуиицив формы с ломонтью процедуры интерполяции 239 сначала, что 1.,=1 — 1,т и с(х=стЦ. Таким образом, Р 1)е)(их 1(ь(! ( ), е После преобразования интеграл имеет вид !8.7! ! ( Ь(! ( ),т(6 Г (Ь+!) Г (с+!) Г (Ь+ с+2) т где Г(Ь+1), Г(с+1), Г(Ь+с+2) — гамма-функции, для которых Г(Ь+1)=Ь! и аналогично для Г(с+1), Г(Ь+с+2). Следовательно, л е ем с! ц(;ах= (ь+,+!),. (8.13) о Заметим, что 01=1. Далее в книге не используются одномерные естественные координаты. Однако проведенное рассмотрение закладывает основу использования указанных координат в двух- и трехмерном случаях, где выгоду от их применения трудно переоценить.
6,3.2. Эрмнтове интерполяция В задачах изгиба требуется аппроксимировать как функцию, так и ее производные. В других случаях, когда представление первой производной не существенно, может оказаться желательным ввести Рнс. 8.6. Степени своболн лля эрмнтовоа интерполяция кубическим лоляномом в олвомерном случве. первую производную и даже производные более высокого порядка в качестве степеней свободы. Зто можно осуществить с помощью эрмитовой полиномиальной интерполяции, к рассмотрению которой мы переходим ниже. Рассмотрим нормированный интервал, соединяющий точки 1 и 2, в координатах $=хтт'., как показано на рис.
8.6. Требуется построить функцию Л, которая вместе со своими производными до (тп — 1)-го порядка включительно удовлетворяет рассматриваемым условиям в граничных точках. Эта функция в!ожет быть записана в виде 6. Предстееление функций лоееденик элемента и его геометрии функции формы следующим образом: Л = Утб, + ЛУэЬт' +... + Ф„А'," ' + +Л.„Ь,+Ф.„Л;+...
+Л,.Л; —, (8.14) где верхние индексы у Л, и Ь, (например, тп — !) означают порядок производных по х. Теперь в нашем распоряжении имеется 2тп условий для построения каждой функции формы Ут, так как каждая функция формы (или ее соответствующая производная) должна равняться 1, если Л (или ее соответствующая производная) вычисляется для степени свободы, отвечающей Л'о и должна равняться нулю, если вычисления проводятся для любой из оставшихся (2т — 1) степеней свободы. Следуя принятому в практике выбору полиномиального описания функции поведения, заключаем, что существование 2т условий предполагает описание каждой функции Лгг полиномом порядка 2уп — 1, т. е. полиномом, имеющим 2лт коэффициентов.
Таким образом, Лгт=ат+аД+аДэ+... +а, ээ (8. 15) Далее разрешаем полученные выражения относительно 2т величин ар Указанные операции повторяем для каждой из 2т функций формы Лть Вышесказанное можно проиллюстрировать на примере простого изгибаемого конструктивного элемента, изображенного на рис. 8.6, Так как предполагается, что на каждом конце поперечное перемещение ш и его первая производная непрерывны, то ау=2. Здесь Ь=ш и в точке 1 Аналогичные равенства справедливы и для точки 2.
Из (8.15) еле. дует, что каждая функция формы в этом случае имеет вид тт'т=ат+аД+аДэ+аД». Рассмотрим теперь построение функции Л',, Вначале представим ее в виде Лг,=а,-1-аД+аДэ+аДэ. Полагая ту',=! при »=О и Л',=0 при х=), а Лг;=0 на обоих концах »=0 и к=)., получим 1=а, (Л', =1 при 5=0), 0= — ' (ту'; =0 при э=О), 0=(а, +а,+а,+а,) (Лг, =0 прн э=1), О ат + аэ + За4 (Л(' — О Прн Ь вЂ” 1) 241 8.4. П лмоугольные элементы откуда а,=1, а,=О, аэ= — 3, а4 — — 2, поэтому Аг,=1 — ЗРэ+2$2. Аналогичным образом находим, что оставшиеся функции формы, задаваемые первоначально с помощью (5.14а), имеют вид 2У =35~ 2Р, Аг = — х($ — 1)э, Аг = — х($2 — $), 6.4.
Прямоугольные элементы ,и, ~ Ггэ "э Ггэ. иа (а) У,Р 1 и, рл "2 Г г Р' г и, 1 У2 7 8 9 4 2 3 Рнс. 8.7. Интерполяция Лагранжа в двумерном случае. (а) Прямоугольник с били- нейной функцией; (Ь) прямоугольник с биквадратной функцией. форм. Изображенный на рис. 8.7(а) прямоугольник с узлами, расположенными только в его вершинах, для которого требуется найти линейное поле перемещений, служит примером указанной процедуры. Имеем для компоненты перемещений А (которая может быть и или о): А =(Р7~,%та) А~+ (Аг,„Дутя) К,+()У,„)У ая) Аэ+(Р7,„(У га)Ао (8.16) Чтобы обобщить концепцию интерполяции на двумерный случай и построить функции, которые однозначно определяются на каждой стороне прямоугольника с помощью заданных на этих сторонах и вершинах прямоугольника степеней свободы, можно использовать простое перемножение одномерных в направлениях х и у функций 242 В. Представление функций поведения элемента и его геометрии где №„=(1 †), й/е„=$, №у=(1 — т(), Жву — — Ч, а $=х/х„ т(=д/уа.
Соотношение (8.)б) отвечает билинейной йнтерполяг(ионной формуле. Далее можно рассмотреть изображенный на рис. 8.7(Ь) *' прямоугольник, имеющий дополнительные узлы на серединах сторон и один узел внутри элемента (биквадратная интерлоляг(ия). Имеем (/' тх~ту) ~~т+(~~ ел ~ту) бе+( /ах /~/ту) йв+ где №„=[(х — 2х,) (х — ха)!/2хт и т. д.
согласно введенной ранее лагранжевой процедуре интерполяции. Заметим, что полная интерполяция квадратичной или более высокого порядка функции приводит к появлению внутренних узлов. Интерполяция кубической функции дает массив размерности 4Х4 и четыре внутренних узла. Указанные выше построения легко провести, вводя следующее тройное матричное произведение: Д=(. Х3 1(.
г~ (Хп), (8.18) гле ( Хь (, ~ Мп ) — вектоРы фУнкции фоРмы соответственно в направлениях х и у, а (гг( — матрица узловых перемещений. Для билинейной интерполяции, например, имеем в-~с — п~~[,','](~ „"'), что приводит к (8.16). В равд. 8.5 при помощи треугольника Паскаля демонстрируется, что не представляет труда задать совокупность узлов для треугольных элементов, обеспечивающую полноту полиномиальных разложений вплоть до любого заданного порядка.
Чтобы выяснить взаимосвязь между лагранжевой интерполяцией для прямоугольных элементов и полнотой соответствующего полинома, рассмотрим вновь изображенный на рис. 8.8 треугольник Паскаля. Во-первых, следует заметить, что порядок одномерного поли- нома в точности отвечает соответствующему порядку интерполяционной формулы Лагранжа.
Например, ст=ат+аах соответствует линейной интерполяции. Тогда билинейная интерполяция, определенная в терминах обобщенных координат, может быть описана на основе треугольника Паскаля в виде произведения линейных функций. Из рис. 8.8(а) следует, что это приводит к гх=ат+ +аьг+аэу+а,ху, Коэффициенты полинома при биквадратной ин- е> Здесь и в других примерах этой главы способ нумерации увлов, описанный в разл. 2.1, нв используется. 243 8.4.
Прямоугольные элементы а1 ~ атх азу 2 2 азхуГ абу (8) а) азу отх ~ аа.х 2 аз ху аау, 2 г" а7т 'ь аа-т У 3 ' 2 аз ху ' а1оу 2 "' 3 2 а12хзу ж а13хту2 ' а,аху3 (ь) а)5Х 4 а1)х а1 гх а3У а4Х ., азху аау 2 2Г 3 ь 2 'х' 2 ' 3 атх .,авх У . азху У а,о) Г а!2хзу ' а13х'у2 , а!4ху3 а)) х 4 а)5Х 4 а) Ж а3У азх 2 аах а5ХУ аау 3 2 3 а7х ав-т у ' леху а1ау. " а,тх у а„х у ' а14ху а15у 3 2,2 3 4 а)1х 4 Рис. 8.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
