Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(7.18) Варьируя по каждой Ь, и ),т, получим следующую систему уравне- ний: К.6' (Л[ (7.19) Заметим, что в нижней части матричного соотношения записана система ограничений. Этн уравнения можно решить непосредственно. Матрица, определяющая эту систему, положительно полуопределена. Поэтому, выбирая алгоритм решения, нужно быть осторожным, В предположении, что матрица [К! неособая, из решения верхней части уравнений получаем (А)=[К)-1(Р) — [К[-"[6)т(7.), (7.20) поэтому из нижней части находим (7ь)=([6! [К! Ч6[') '([6! [К! '(Р) — (в)), (7.21) откуда, подставляя полученное выражение обратно в (7.20), находим (А). Следует отметить, что (7.!9) отвечает формулировке смешанного типа. (Ср.
с (2.3).) Это можно понять, вспоминая, что согласование размерностей в расширенном функционале приводит к тому, что множители Лагранжа имеют размерность силовых параметров. Ввиду положительной полуопределенности соотношений (7.!9) не удается доказать в общем случае, что найденное таким образом решение, основанное на принципе минимума потенциальной энергии, дает нижние границы для рассматриваемых характеристик.
213 7.3. Учет ограничений методом множчтеаей Лагранжа Следует также заметить, что в методе преобразований из п. 3.5.2 матрица преобразований (Г,) вначале используется в функционале для потенциальной энергии, а затем преобразованная величина П„варьируется по оставшимся степеням свободы. Это иллюстрируется на рис.
7.5, где изображена показанная ранее на рис. 6.4 пограиячеаяс (дода)=0 Д1 ВонеРхность Пю задающая потенциальную энергию даустепенноя нс. теньь пРи наличии огРайичениЯ П(Дь Д,)=О, верхность, соответствующая потенциальной энергии системы о двумя степенями свободы (Л, и Л,). В данном случае имеется линейная связь 6(Ло Ла)=0. Эта связь определяет плоскость, перпендикулярную к плоскости Л„Л, и отрезающую участок поверхности, изображающей энергию, на котором находится точка минимума А для предыдущего случая.
Теперь минимум достигается в точке В, находящейся на кривой, полученной в результате пересечения поверхности плоскостью. Метод преобразований уменьшает число входящих в систему уравнений, а метод множителей Лагранжа увеличивает. Однако следует иметь в виду, что метод преобразований требует значительного числа матричных операций. Рис, 7.6. Чтобы проиллюстрировать метод множителей Лагранжа, рассмотрим изображенную иа рис. 7.б систему, состоящую из стержневых элементов, при ограничениях иа — иа — — О. Согласно методу 214 7. Вариационные принципы глобального анализа нонструнцнй множителей Лагранжа, имеем систему уравнений (й,=АЕ~7.) — Фа 2й, — ! и, — Р, Решая этн уравнения путем обращения матрицы, получим на — на тда й д 3(д )т Рз = "в рт, иг рь из Рлг. 7.7.
если к выражению для потенциальной энергии добавить умноженные на множители Лагранжа члены, соответствующие каждому условию закрепления. Эту процедуру можно проиллюстрировать на примере стержневого элемента, изображенного на рис. 7.7. Элемент закреплен на левом конце так, чтобы из=О. Система алгебраических уравнений, отвечающая методу множителей Лагранжа, в Условие и,=из предполагает наличие жесткого элемента между точками 2 и 3, поэтому упруго деформируются лишь звенья А и С. Таким образом, как следует из анализа решения, смещение точки 2, вызванное действием силы Р,, равно Рз/2йа.
Это же значение для смещения получается, если действует лишь сила Р,. Множитель Лагранжа Х='lз(Рт+Р,) — силовой параметр; в этом случае он соответствует силе, передаваемой через жесткое звено. Заметим, что связи наложены на закрепленную конструкцию. Поэтому здесь может быть применена процедура (7.20), (7.2!), в которой обращается базисная матрица жесткости. Условия закрепления тат=О, являющиеся одновременно ограничениями, можно также учесть с помощью метода множителей Лагранжа. Обычно (см. равд.
3.2) это осуществляют путем непосредственного вычеркивания из матрицы жесткости столбцов, отвечающих этим условиям, и исключением из матрицы соответствующих строк. Однако в подходе, использующем множители Лагранжа, глобальную матрицу жесткости можно оставить без изменений, 215 У.4. Метод обобщенной потенциальной энергии этом случае имеет вид АŠ— АŠ— АЕ АЕ (! и, — Рт Если поменять местами первый и третий столбцы выписанной вспомогательной матрицы жесткости, то придем к легко разрешимой системе уравнений, откуда получим О Е(АЕ ! Рт — ит откуда в свою очередь па=Рай/АЕ, иь=й и Х=Рт+Рэ.
В этой задаче множитель Лагранжа равен сумме сил, действующих в направлении оси х. Прн этом ограничения накладываются на незакрепленную конструкцию, что приводит к вырожденности основной матрицы жесткости. Следовательно, процедуру, представленную соотношениями (7.20) и (7.2!), здесь применить нельзя. 7.4. Метод обобщенной потенциепьной энергии В гл. б изучался ряд подходов, альтернативных к традиционным и основанных на принципах минимума потенциальной и дополнительной энергии. Причем альтернативные подходы характеризовались смягчением условий непрерывности полей между элементами. Изложенные процедуры позволяли сформулировать для элемента само- согласованные соотношения, которые стыкуются с соотношениями соседних элементов, не требуя введения модификации в процедуру глобального анализа.
Ниже описывается другой класс процедур, в которых условия на межэлементную непрерывность полей смягчены, иодля реализации которых требуется выполнить специальные операции с глобальными уравнениями (и, в частности, наложить некоторые ограничения на глобальные уравнения жесткости). В излагаемом подходе предполагается, что пробные функции для элемента записываются в терминах степеней свободы в узлах соединений, т.
е. Ь= ) (и' ) (Ь). Считаем также, что степени свободы (тэ) связываются с соответствующими степенями свободы соседних элементов, а пробные функции не полностью совместимы на границах, разделяющих элементы. Предположим, к примеру, что смещения и вдоль стороны! — 2 изображенных на рис.
7.8 элементов А 2!6 т. Вариационныа принципы глобального анализа «онсгрунцнй и В описываются функциями аА 2ула +ЛгАа ! уАа +Л2Аа (7,22а) (1. 225) где Л'„",..., Лнэ — квадратичные функции от у (вообще говоря, указанные функции зависят от х и у, однако здесь они вычисляются вдоль линии, на которой х не меняется). Ни для элемента А, ни для 2 о з 1 А;И Рнс.
7.8. элемента В перемещение не определяется однозначно заданием перемещений и, и и, в концевых точках. Величины и,", и и,", на гравице ! — 2 различны; следовательно, перемещения терпят разрыв и существует невязка и,",— и,",. Однако межэлементная непрерывность может быть восстановлена при помощи задания условия ~(„А „аа„)д„=О о левая часть которого с учетом (7.22) преобразуется к виду га ~(Лг~ — Л2г) и, + (Л'", — Л'аа) иг + Л2аА "а + 874" и4 — 87„"и, — 87~и ~ др.
После интегрирования получим линейное алгебраическое уравнение вида б„и,+б„и,+б„и,+б„и,+б„и,+б„и,=О. (7.25) Используя методы множителей Лагранжа, можно учесть уравнение (7.25) в процессе решения. В рассматриваемом примере для каждой компоненты смещения на каждой из границ элемента возникает по одному такому соотношению.
В данном случае множители Лагранжа представляют среднее значение внутренних сил на линиях, вдоль которых устраняются разрывы полей перемещений. Более того, гло бальные уравнения имеют вид уравнений (7,)9), которые представляют собой соотношения между силами и перемещениями в смешанной формулировке (см. уравнение (2.3)). Таким образом, смешанные формулировки 2! 7 7.4.
Метод обобщенной потенциальной»нергнн можно интерпретировать как результат применения традиционных энергетических методов со «смягченными» требованиями непрерывности. Если разрыв полей перемещений вдоль каждой из границ, разделяющих соседние элементы, более высокого порядка, то на каждой такой границе требуется ввести дополнительное уравнение-ограничение. Один из способов учета этих ограничений состоит в требовании, чтобы певязки из-за разрывов вдоль границы равнялись нулю. Для этого выпишем произведение функции, задающей ограничения, на множитель Лагранжа Х(ил> т — ив,)=О, где Х вЂ” в нашем случае непрерывная функция координаты, меняющейся вдоль границы.
Затем прибавим к выражению для потенциальной энергии член )7>(и~ т — из,) г(у. Чтобы на основе выписанного функционала системы получить алгебраические уравнения, разложим Х в степенной ряд Х=Х«+Х,у (-Х«ут+..., выбирая столько членов, сколько имеется условий, необходимых для однозначного определения перемещения вдоль стороны.
Поэтому имеем ) (и>"-т — ит-т) иу = 7>« ~ (и>-т и>-т) >ту+ »> ~ (и>- и>-т) У>(У+ + л» ) (ил т — ив,) у'г(у+..., так что ограничения принимают вид (и .,— иВ т)Г(у=О, ~(и14 г — из,)УГ(У=О> (7. 26) (и~, — ив,) ут >(у = О, Следует заметить, что альтернативный подход к определению ограничений, восстанавливающих непрерывность, заключается в обеспечении непрерывности в дискретных точках границы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
