Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Нагрузки, введенные в задаче 6.5, приложены к грани элемента, перемещение которого задается следующей квадратичной функцией: (2х — а) (х — а) (а — х) (2х — а) о= ав от+ 4х — оз+ х — о,. аз аз Вычислите энергетически эквивалентные силы в точках 1, 2 н 3. 6.7, Определите вектор термоупругих сил, действующих в направлении х, для треугольного элемента, изображенного на рис. 5.3, если в элементе распределение з температуры имеет внд Г=~~' /У;Гь где Д/г — функция формы для элемента, в ~=1 Гг — значения температуры в узлах. 6.6. Найдите энергетически эквивалентные узловые силы и моменты для балочного элемента длиной а, находящегося под действием поперечной нагрузки д, распределение которой показано в задаче 6.5.
6.9. Найдите энергетически эквивалентный вектор снл для равномерно нагруженного треугольного элемента с шестью узлами, изображенного на рнс. Р6.9, поле Л Рис. Р6.9. перемещений которого записывается в виде 1 (хауз)' ~' где й/, = (хззуз+ 2узх'+'/зхззуз — 3хзуззх+2хтузху — з/ хззузу), Ф з = (2узхз — хтузх+ '/зхзуз — 2хзузху+ '/,х",у ау), 5/з = (2хзуз — х тузу), й/» — — 4(ххзузз — уззхз — т/зхззузу+ т/ах~~уз), (т'з = 4 (х узху — '/,хзвуз), /Уз -= 4 (хззузу — хзузху — '/зхззуз) 26З Задачи 6.10.
Укажите член, связывающий Р, и ш в согласованной матрице массы для элемента, описанного в задаче 6.9. Голщийа элемента й масса, приходящаяся на единицу объема, равна р. 6.11. Потенпмальная энергия скручиваемого элемента задается следующим выражением: где 1 и à — соответственно константы кручения н депланацнн; С вЂ” модуль сдвига, ~р — угол закрутки М вЂ” скручнвающнй момент, приходящийся на единицу данны элемента.
Выпишите уравнение Эйлера для функционала н соответствующие граничные условия. 6.12. Лля системы, характеризуемой двумя параметрамн (Ь,, Ьз) н к которой приложена сила Р, потенциальная энергия равна Пр=(6 — ЗР)Ь, '†6 (! — Р)Ь,Ьз+ +(4 — Р)Ьз. Вычислите значение Р, соответствующее нейтральному равновесию. 6.13, Постройте (ЗХЗ)-матрицу жесткости для стержневого элемента (рис. Р6.13) с тремя узлами, в котором поле перемещений имеет внд ! и= — [(2х — й) (к — Ц и,+4(й — к) хие-1-х(2к — Ц из).
Сведите эту матрицу к обычной (2х2)-матрице жесткости стержневого элемента. л;и 2 Х/2 Е/2 6.14. Приближенно найдите матрицу жесткости для стержневого элемента, изображенного на рнс. Рб.!4, используя линейное поле перемещений и=(1 — х/Е)и,+(к/Цие н принцип минимума потенциальной энергии. Конструктивный элемент имеет постоянную ширину, равную Ь. Рнс.
Р6.14. 6.16. Выпишите матрицу жесткости прямоугольного элемента для плоского напряженного состояния, введенного в задаче 5.2, используя приведенное там же поле перемещений и принцип минимума потенциальной энергии. Сравните полученные результаты с результатами, приведенными на рис. 9.!3. 6.16. Постройте матрицу податливости треугольного элемента для плоского напряженного состояния (см. рнс.
5.3), используя гибридный метод перемещений. Наложите условия закрепления и, о,=за=0. Сравните полученную матрицу с матрицей из задачи 2.3. 6,17. Сформулируйте точную матрицу податливости для суживающегося балочного элемента, изображенного на рис. Р6.17, используя принцип минимума до- 204 б. Варизционные методы построения конечных элементов полнительной работы.
Обратите матрицу податливости и получите соответствующую мвтрицу жесткости. Мнй то ("+гй) Рн Рб)У 6.18. Постройте матрицу податливости трехузлового треугольного элемента для плоского напряженного состояния, используя принцип минимума дополнительной работы, Используйте условия закрепления и,=о,=ох=0 (см. рис, 5.3). Сравните результат с матрицей податливости из задачи 2.4. 6.19, Пользуясь принципом минимума дополнительной работы, постройте матрицу податливости для нзгибаемого криволинейного элемента, изображенного нз рнс. Рб.19.
Сравните с матрицей, приведенной в задаче 2.6. ()(репление в точке 2,) Рис. Р6.19. 6.20. Прп помощи гибридного метода напряжений постройте матрицу жесткости чреугольного элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (рнс. 5.3), используя для этого постоянное поле напряжений и линейное распределение перемещений нв границах. Сравните результат с рис. 5.4. 6.21. Выпишите функционал Рейсснера в дискретном виде, используя значения функции напряжений Эри как параметры напряжений, з также компоненты перемещений и и и. Обсудите выбор вида функций формы для этих полей в случае четырехугольного элемента с узлами в вершинах четырехугольника.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ГЛОБАЛЬНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ Применение вариационных принципов при формулировке соотношений для элемента позволяет, как показано в гл. 6, построить соотношения податливости, жесткости н смешанные соотношения. С помощью процедур из гл. 3 полученные таким образом соотношения жесткости можно непосредственно использовать для построения уравнений, описывающих поведение всей конструкции. Таким образом, может показаться, что вариационные принципы не потребуются в дальнейшем, кроме как для построения соотношений, описывающих отдельный элемент. В действительности же вариационные принципы чрезвычайно полезны н в некоторых вопросах глобального анализа конструкций. Прежде всего, вариационные принципы позволяют предложить различные подходы к построению глобальных уравнений. При глобальном анализе конструкций роль вариационных принципов во многом заключается в том, что они позволяют с другой точки зрения взглинуть на алгебраические операции, обусловленные различными подходами, Специальным операциям глобального анализа можно также дать вариационную трактовку; вариационный подход особенно важен при учете ограничений по методу множителей Лагранжа.
Кроме того, на вариационных принципах основаны методы доказательства сходимости, а некоторые из этих принципов позволяют даже установить характер сходимости. Далее подробно исследуется метод, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, и рассматривается метод, базирующийся на принципе минимума дополнительной работы. Смешанные методы не рассматриваются, так как для них процедуры построения глобальных уравнений аналогичны процедурам, основанным на обычных вариационных принципах.
Для этих методов не установлены свойства сходимости, которые позволили бы определить верхнюю или нижнюю границы для точного решения. 20Ь т. Варкьцкоккые прккцкпы глобального ккклкзо конструкций УА. Принцип минимума потенциальной энергии Чтобы объяснить, как применяют метод, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, для глобального анализа конструкции, опять напомним, что энергия деформации — скалярная величина. Поэтому энергия деформации (7 для всей конструкции, состоящей из р элементов, равна сумме р слагаемых, представляющих энергию деформации отдельных элементов, т, е. Р Р (7=~:(7 = —,'~:[ Л [( *1(Л), (7.!) т=1 где ( Л' ) и 1йЧ вЂ” соответственно вектор узловых перемещений и матрица жесткости т'-го элемента. Чтобы использовать это обстоятельство при построении глобальных алгебраических уравнений, введем следующие массивы: (Л')= 1 ! Л' ! 1 Л' 1...
! Ле ! ! — вектор, содержащий все наборы степеней свободы; определен ранее в (3.!2). (7.2) [ йг ) — несвязанная глобальная матрица жесткости. Эта матрица блочно-диагональная, каждый блок котороп— матрица жесткости элемента. Все матрицы жесткости элементов включены в этот массив.
Матрица [ [сг [ была введена в равд. З.З согласно формуле (3.!3). С учетом этих обобщений выражение (7.!) можно записать в виде (7= ( Л [Гй [( ). (7.3) Теперь необходимо учесть, что элементы соединены. С этой целью обратимся опять к содержанию равд. 3.3 и уравнения (3.)4), т.
е. (Л')=1А[(Л). Здесь (Л) включает все глобальные перемен(ения в узлах, а матрица [А[, как отмечено ранее,— глобальная матрица связности. Применяя ее к У в виде классического преобразования, получим У=(( Л [/2)[К)(Л), (7.4) где [К! [А)т 1- !с' ! [А!. (7.5) Матрица [К! полностью совпадает с глобальной матрицей жесткости, построенной в равд.
3.3. Там же приводится и численный пример, иллюстрирующий изложенную выше процедуру. В равд. 3,3 утверждалось, что матрицы жесткости элементов, включающие ! кг ), не должны содержать степени свободы, отвечающие движению тела как твердого целого, Это можно объяснить теперь с энергетической точки зрения следующим образом. Матрица [кУ) для каждого элемента строится в соответствии с определением энергии деформация.
Поэтому, как указывалось в равд. 2.4, энергия деформации элемента полностью определяется 7Л. Принцип минимума потенциальной энергии 207 матрицей жесткости, записанной в терминах степеней свободы, из числа которых исключены степени свободы, отвечающие неподвижному статически определимому закреплению элемента. Более того, видно, что преобразование, задаваемое правой частью соотношения (7.5), «освобождает» отдельный элемент от соответствующего закрепления.
Вернемся к рассмотрению общей теории представления потенциальной энергии всей конструкции. Построение потенциальной энергии завершается заданием потенциала сил )г. Простейшая ситуация возникает тогда, когда на каждую степень свободы приходится сосредоточенная нагрузка (Р). В этом случае 1= — ( Л )(И). Если имеются распределенные нагрузки, то произведение, представленное правой частью выражения (7.6), получается после интегрирования произведения векторов распределенной нагрузки и соответствующих перемещений. Последние задаются путем вычисления поля перемещений связанных элементов на рассматриваемом участке границы. Как показано в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
