Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1тз б. Вернецнонные методы построения конечных»пементое 6.5. Гибридные методы перемещений и метод обобщенной потенциальной энергии бдн. Первый снарядный ме~ой перемещений Предлагаемые гибридные методы перемещений и метод обобщенной потенциальной энергии являются альтернативами методов, использующих единственное аппроксимирующее поле и характеризующихся межэлементной согласованностью. Как гибридные методы, так и метод обобщенной потенциальной энергии базируются на применении нескольких полей, когда одно поле перемещений задано внутри элемента, другое поле перемещений или напряжений определено независимым образом на границах элемента. В гибридном методе уравнения для элемента выводятся в результате исключения обтхбщенцых параметров, а в методе обобщенной потенциальной энергии <подправляются» несоответствия в перемещениях вдоль границ элементов, образовавшиеся в результате использования полей, характеризующихся межзлементной несогласованностью.
В этом разделе изучаются два гибридных метода, основанных на рассмотрении функционала потенциальной энергии. В первом из них (гибрид 1) поле перемещений внутри элемента выражается в терминах оообшенных перемещений, а поле напряжений на гра. нице описывается независимо в терминах узловых сил. В результате получается матрица податливости элемента. Второй метод (гибрид 11) основывается на предложенной выше концепции в том смысле, что поле перемещений внутри элемента и граничные напряжения выражаются в терминах обобщенных параметров, а перемещения на границе независимо описываются с помощью узловых перемещений.
Это приводит к матрице жесткости элемента. Для того чтобы оперировать с независимыми полями, необходимо »содифицировато выражение для потенциальной энергии. Описывая модификацию, используемую в гибридном методе 1, рассмотрим лишь внутренние элементы, т. е. элементы, стороны которых не лежат на границе конструкции, и исключим из рассмотрения объемные силы и начальные напряжения. Под границей элемента понимается совокупность всех сторон элемента (о,) и считается, что на границе действуют межзлементные усилия Т. Поэтому, согласно (6.40) н (6 49), имеем модифицированное выражение для потенциальной энергии (6.54) где п — граничные смещения, согласующиеся с выбранным полем перемещений внутри элемента с».
Обобщение известного выражения для потенциальной энергии заключается в том, что Т запишется в терминах узловых силовых параметров. Поэтому как параметры а.5. Гибридные методы перемещений перемещения ц (и гй), так и силовые параметры в узлах будут играть роль неизвестных в П . В классической формулировке принципа минимума потенциальной энергии в выражения входят лишь параметры перемещения. Для того чтобы выяснить, как описываются 7~(тлиааыая) н = Ы(а] а = [р)( а ) гя(мдтаеяая) (а) (Ь) Рнс. б.а. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые в первом гибридном методе перемещений.
(а) Описание перемещений (внутренние и поверхностные перемещения выражены через одни и те же обобщенные параметры (а)); (Ь) описание перемещений (поверхностные силы выражены через силы, заданные в узлах, которые могут свободно смещаться]. поля внутри элемента и на его границе, на рис. 6.8 приведен гипотетический элемент и изображены предполагаемые поля перемещений и напряжений. Согласно используемой в гл. 5 терминологии, обозначим обобщенные параметры внутреннего поля перемещений через (а).
Для обычного полиномиального представления имеем А=(р) (а), (5. 2а) и используя соотношения между перемещениями и деформациями, приходим к соотношению =(Сг) (аг), (5. Ы) где через (аг) обозначены степени свободы, которые остались после того, как в результате выполнения операций дифференцирования в формулах, связывающих перемещения и деформации, были исключены степени свободы (а,), отвечающие движению тела как твердого целого. Кроме того, требуется рассмотреть граничные значения и этого поля.
Указанные величины получаются непосредственными вычислениями значений Л вдоль границы элемента, Имеем ц=[Т](а) =[т'г Т,]] [а] (6.55) где для удобства дальнейших рассуждений выделены степени свободы (а,) и (а,). Последней существенной частью гибридного метода перемещений является вопрос о записи граничных усилий Т через узловые силы (гг). нижним индексом / помечена система узловых сил, в б.
Ввриационные методы нестроения нонвчныя элементов где [Н]=~ ~ [Ст]т[Е][Сг]д(то1)~ то! [1] ~ ([Т,]т[г] с] Зя Варьируя (6.54а) по [ ат ], получим [Н1 (а,) — 91(Р,)-0, (6. 57) (6.58) откуда (ат)=[Н) [[1 (Я. которую не входят силы, обеспечивающие статически определимое закрепление элемента. Это обусловлено тем, что при отсутствии объемных сил вектор Т должен представлять систему самоуравновешенных сил. Запишем указанные соотношения в виде т=[а (Ч. (6.56) Вектор Т представляет собой усилия, уравновешенные действием снл со стороны соседних элементов (с соответствующим учетом всех снл, действующих на границах, разделяющих элементы). Следует подчеркнуть, что, вообще говоря, трудно, а иногда и невозможно построить соотношения вида (6.56), которые удовлетворяли бы этим условиям.
Более удобная процедура, подробно описанная а п. 6.6.4 и гл. 7, заключается в использовании вместо полей напряжений функции напряжений, а вместо (Гб) — значения функции напряжений в узлах. Однако применение узловых сил (Р,) объясняется использованием балочных элементов для пояснения различных формулировок методов.
При этом силы (Гб) представляют собой узловые параметры балочного элемента. Теперь можно выписать модифицированную потенциальную энергию (6.54) в дискретном виде. Во-первых, заметим, что при записи работы граничных усилий (интеграл по 5„) вклад указанных самоуравновешенных сил, действующих на перемещениях тела как твердого целого, равен нулю. Так как в (6.55) перемещения тела как твердого целого и, равны [Т,[ (а,), при проведении выкладок с а, оставим лишь произведение [тб1 (а~), обозначив его через пр Принимая во внимание, что У= — ] е[Е]ет1(то1), ! Г то! подставим в (6.54) выражения для а, пб н Т, используя соответственно формулу (5.Ы), левую часть (6.55) и (6.56).
Тогда П,'= — [Н](аг) — [ а, 1[3][РД, (6.54а) 1 ат 1 6.5. Гибридные методы перемещений 181 Подставив выписанное выражение в (6.54а), запишем и; — — —,[1! [Р,), ! Рг) (6.54Ы где выведенная матрица податливости равна [!)=[3)т [и[-1[1! (6.59) У1, Ю! Х вЂ” м( Рнс. 6.9. состоит из дискретных точек, интеграл по границе в (6.54) заменяется конечной суммой. Будем строить обычную матрицу податливости указанного элемента и поэтому для описания м, как н в формуле (5.13) из гл. 5, примем кубичный полипом [а,! ге = х'а, + х'а, + ха»+ а, = [рг р,! [ где [рг)= [ х'х' [, [р,)= ! х1 1, (аг)= [ а,а«(т, [а,(= [ а»а, [т. КРоме того, ат Ге'=[ Зх'2х! [ а, = — О, и» е=гп = [ бх2 ~~ '~ =[Сто(аг!. 1а,! Получим граничные значения для этих полей, выписывая выражения для гп и ю' в точках 1 и 2.
Имеем О О:, .О! и О, О О [-1О и* !аг! — С ! а, =["'"'1(а,)' О, — ЗЬ« — 2(,! — 1 О а, б.5.2. пример реапнаацин первого гибридного метода аеремещеннй Проиллюстрируем изложенный подход на примере построения мат- рищя податливости консольного балочного элемента, изображенного на рис. 6.9. В этом случае А=ге и, так как «поверхность» границы !82 б. ввривционные методы построения яоиеиньн япементов В рассматриваемом случае усилия на границе суть узловые силы, т.
е. Т= ( Ет М, Е,М,~ т. Однако, как отмечалось выше, величины Е„М„г'„М, связаны условиями статического равновесия. В частности, Р,= — Рт и М,= — Рт Š— М,. Поэтому Р, ! 01 Для балочного элемента энергия деформации равна (Е1/2)) (то")т(х, следовательно, из (6.59) имеем [Н) [Е1 ) [Ст]т [Сг! г(х). После подстановки величин 1С!1, [7!1 и ( Х 1 в выписанное выра жение для (Н1 и соотношение (6.58) получим С учетом (6.59) приходим к формуле [!1 = [') ! Я% [') 1 = 8Е т дающей корректное представление матрицы податливости балочного элемента.
Ьпйз. Второй тибридный метод перемещений Второй гибридный метод перемещений 16.61 основан на концепции прямого построения матрицы жесткости элемента. Выберем систему граничных перемещений и, характеризующихся межэлементной согласованностью, выраженных в терминах узловых перемещений (Ь), Эта система выбрана независимо от выбора поля Л, описывающего перемещения внутри элемента в терминах параметров (а) (рис. 6.!О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
