Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Варнецнонные методы построенна конечных элементов дополнительной энергии, Эти принципы представляют собой специальную форму более общих принципов виртуальных перемещений и виртуальных сил соответственно. В заключение кратко рассматриваются смешанные вариационные принципы, а также гибридные и обобщенные вариационные методы построения элементов, основанные на экстремальных принципах потенциальной или дополнительной энергии.
В данной главе рассматривается только отдельно взятый конечный элемент. Все выражения записываются так, как если бы вся конструкция являлась конечным элементом, поэтому нет необходимости вводить верхние и нижние индексы, чтобы различать глобальные и локальные величины. ЬЛ. Принцип виртувпьнои работы бЛЛ. Формулировка н докаэательстао лрннцнла Принцип виртуальной работы лежит в основе следующих вариационных принципов, описываемых ниже: классических принципов стационарности потенциальной и дополнительной энергии, а также менее известных смешанных принципов. Принцип виртуальной работы, по сути дела, служит независимым подходом к построению соотношений метода конечных элементов. Используются две формы общего принципа: принцип виртуальных перемещений и принцип виртуальных сил соответственно.
Они приводят к общеизвестным принципам стационарности потенциальной и дополнительной энергии. В формулировке принципа виртуальной работы, использующей виртуальные перемещения, предполагается, что на тело, находящееся в состоянии равновесия, действуют объемные и поверхностные силы, при этом задается виртуальное (воображаемое) поле переме- (а) (ь) рнс. 6Л. Сравнение допустимых и недопустимых виртуальных перемещений: (а) допустимые; (и! нсдопустнмые.
щений, характеризующееся в каждой точке компонентами би, бо, бш. Виртуальные перемещения должны быть кинематически допустимыми, т. е. непрерывными функциями пространственных координат, и удовлетворять кинематическим граничным условиям на участках поверхности, где эти условия заданы. На рис. б,! (а), к примеру, пунктирными линиями изображены кпнематически допустимые перемещения балки. Каждое из допус- )зз аи. Принцип аиртуальной аботы 6(! = ) (ох д— (Ьи) + о„д (бо)+ т„у ~6- (Ьи) + хх (6о) ~ ~ дА. (6.3а) Заметим далее, что л А А или ~о — дА =) " дА — ) 6и — "дА д (Ьи) Г д (о„ди) Г до„ дх,) дх ,) дх А А А и аналогично для интегралов, содержащих о д(бп)!ду, т„„д(6и)!ду, т„„д(бо)!дх.
(6.4) тимых перемещений удовлетворяет условиям закрепления на концах между этими точками и характеризуется непрерывным изменением наклона касательной (требование теории изгиба). Перемещения, изображенные на рис. 6.1 (Ь), либо не удовлетворяют условиям закрепления на концах, либо имеют разрывную производную внутри области и поэтому являются недопустимыми. В последующих разделах всесторонне обсуждается значение требований допустимости полей перемещений при расчетах методом конечных элементов. При указанных условиях принцип виртуальных перемещений утверждает, что сумма потенциала внешних нагрузок 6'у' и величины запасенной энергии деформации 6(! при виртуальных перемещениях 66 равна нулю.
Таким образом, 6(!+6)т=О. (6.1) Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим плоское напряженное состояние (о„=т„,=ту,— — 0) пластины единичной толщины при отсутствии объемных сил и начальных деформаций. (Рассмотрение общего случая не представляет трудностей,) Напряженное состояние тела, находящегося в равновесии, задается с помощью компонент тензора напряжений о„о„, т„„.
Компоненты поля виртуальных перемещений 66 обозначаются через Ьи и Ьо. Указанным величинам, согласно соотношениям между перемещениями и деформациями, соответствуют вариации деформаций Ьаи=д(би)!дх, Ьг„=д(бп)!ду, Ьу„х — — д(бп)удх+д(би))ду. (6.2) Приходим к следующему выражению для энергии деформации, соответствующей виртуальным перемещениям: 6()=~о ЬедА=~!о„(бе„)+ох(бе„) + тих(бух„)ЫА, (6 3) А л Заметим, что работа, обусловленная изменением напряжений прн виртуалы!ых перемещениях, не учитывается из-за малости.
Подставляя теперь соотношения между деформациями и перемещениями (6.2), получим 154 6. Вериеционные методы построения конечны я эпементое Следовательно, после подстановки имеем 60 = —,) ((, ат + бр") би+ ( ~ "+ б"„") бо1 и А+ +5 1дх(а„би)+у(т„„бо)+~ (а„бо)+З вЂ” (т„„би)~ с(А. (6.3Ь) А В правой части соотношения члены в круглых скобках в первом интеграле, а именно равны нулю в силу дифференциальных уравнений равновесия (4.2). Поэтому выражение для 60 можно упростить и записать в виде 6(l = ) ~ — (а„би+т„„бо1+ — [атбо+т би) ~с(А.
(6.3с) А Используем теперь теорему Гаусса (иитегрироваиие по частям в плоском случае) для преобразования данного выражения, записан- ного для внутренних точек тела, в выражение, содержащее члены, отвечающие ие только внутренним точкам области, ио и ее границе. С физической точки зрения теорема утверждает, что изменение ве- личин в области характеризуется разностью потоков, входящих и выходящих из области. Согласно этой теореме, ) ~ ~— (а„би + т„тбо) + ~ (атбо+ т„тби) ~ с(А = [(а„би+тя бо)!я+уз бо+т„„би)! )с(5, (6.5) где 1„и 1я — иаправляющие косинусы нормали к поверхности. Итак, (6.3с) записывается в виде 6!! =- ) [(а„1„+т„т!„) би+(а 1„+т„„1„) бо]с(5. (6.6) Теперь из (4.5) следует, что Т„=а„1„+т„„(„и Т„=а„(„+т„„1„, где Т, и ҄— задаииые усилия иа границе. Кроме того, полезно различать участок границы, где заданы усилия (обозиачим его через 5 ), и участок границы, где заданы перемещения (обозиачим его через 5,).
Виртуальные перемещения равны нулю иа участке гра- ницы, где заданы перемещеиия. Поэтому 6(1 = ~ (Т„би+ Т„бо) с(5 = — бт', эо 155 6.1. Принцип виртуальной работы так как очевидно, что потенциал приложенных нагрузок, соответствующий виртуальным перемещениям 6)', равен выписанному интегралу. (Величина б)т отрицательна потому, что она отвечает (вариации) потенциальной энергии приложенных нагрузок, которая уменьшается при деформации упругой конструкции.) Итак, принцип виртуальной работы доказан, Очень часто акцентируется внимание на том обстоятельстве, что прн проведении рассмотрений не использовались уравнения состояния и поэтому прн применении принципа не требуется ограничиваться линейным законом связи между напряжениями и деформациями.
Однако при расчетах физически нелинейных задач методом конечных элементов обычно рассматривается последовательность малых приращений нагрузок и производится линеаризация. Тем не менее общий характер принципа важен при построении инкрементальных моделей. В книге не рассматривается принцип виртуальных сил, а отдается предпочтение вытекающему из него принципу стационарностн дополнительной энергии, обсуждаемому в разд. 6.6. Заметим только, что в принципе виртуальных сил виртуальные напряжения должны удовлетворять условиям равновесия.
6.1д. Неценно.влемантная Лнсяретнаацня виртуальной работы Доказав справедливость принципа виртуальной работы, перейдем к описанию общей процедуры построения матрицы жесткости элемента. Рассмотрим вначале процедуру выбора предполагаемого поля перемещений Л. Как отмечалось выше, величина Л записывается жирным шрифтом, что показывает возможность учета полного набора компонент смещений и, и и та. Согласно введенным обозначениям, запишем выражение для указанного поля в виде Л=(М (Л).
Используя формулы, связывающие перемещения с деформациями, получим а=!О] (Л). (5.6с) Распределения виртуальных перемещений бЛ и виртуальных деформаций бе берутся в том же самом виде, что и в (5.5а) и (5.6с). Имеем бЛ =(й() (бл), (6.7) бе =(Щ(бЛ). (6.8) Применим принцип виртуальных перемещений к довольно общему случаю, когда учитываются объемные силы Х (проекции сил обозначаются через Х, У и Е) и начальные деформации е1и". С учетом 156 6.
Варивциоииые методы яостроеиия коиечиых злемеитов последних уравнения состояния имеют вид о=1Е)е — 1 Е1е'"". (4.15) Теперь может быть выписано выражение для виртуальной работы. Для этого рассматриваются только узловые силы Р!. Распределенные нагрузки рассматриваются ниже, Потенциал прикладываемых узловых сил (Г), отвечающий виртуальным узловым перемещениям (6А) *', равен 6Р= [ 6А ~(Г).
(6.9) Работа внутренних сил получается в результате действия внутренних напряжений и на деформациях бе, обусловленных виртуальными перемещениями. Обобщая (6.3) на случай интегрирования по объему, получим 6(х' = ) оба с!(уо() (6. !()) чо! и после подстановки а согласно соотношениям между напряжениями и деформациями (4.15) будем иметь 6(ч'= ~ е[Е]бвг((уо1) — ) е'"п[Е]бег!(уо!). (6.!!) чо! чо! Далее, чтобы получить дискретный аналог выражений для виртуальной работы и энергии, подставим вместо е выражение (5.6с), а вместо ба — выражение (6.8).
Имеем 6(l= [ 6А [ (1(г! (А) — (г!щ!)), (6.!2) где [к] =- [ ~ [0]т [Е][)л] г! (Уо!) 1 (матрица жесткости элемента), (6. !2а) ! чо! !чми!-![!О!'!а! "пч! !)[ ! ч ч» а ! чо! элемента). (6.! 25) Чтобы учесть объемные силы, потенциал приложенных сил 6)г нужно дополнить интегралом — ]6А. Хс((уо)). Подставляя 6А=[М[(6А), чо! получим — [ 6А [ (гз), где [Е') = ( ) [!ч]т Хг( (уо1) ~ (вектор объемных сил для элемента), (6. 12с) чо! '! Указзииые произведения скаляриых и векторных величии соответствуют определению работы как произведеиия силы иа перемещение в направлении действия силы (см. равд.
2,4). При подсчете работы прививается, что сила равна полмому своему зиачеиию, позтому множитель !/2 (фигурирующий в выражеиии для работы, если зиачеиие силы растет от нуля до своего максимальиого значения) отсутствует. 157 6.1, Принцип аиртуапьной работы Более того, специально выделим объемные силы, обусловленные динамическим поведением конструкции, которые, согласно принципу Даламбера, рассматриваются как некоторые эффективные силы (силы инерции) Х= — [р! А, (6.! 3) где [р! — тензор масс на единицу объема, записанный в орме. Из (5.5а), предполагая, что задание характера Л) во времени полностью определяет движение, имеем А = [ [ь[ ! (Л ), матричной изменения (6.14) поэтому (Гь)= [ш! (Л) [гп! = ~ [[ь[)т[р)[[Ч)д(уо1) (матрица масс).
(6. 121[) где (6.12е) Обозначая распределенные внешние нагрузки (усилия) через Т, получим следующий вклад в потенциал прикладываемых нагрузок бУ: †')бп Тг[5, где через Зо обозначен участок поверхности, на 5а Приравнивая б(т' к — бр, согласно принципу виртуальной работы (6.1), получаем ~6Л ! ( — [тп[ (А)+(Г))= [ бА ~ П[г[ (А) — (Г'"и)!. (6.15) Окончательно, замечая, что это соотношение справедливо для любых значений виртуальных узловых перемещений(бА), запишем следующие уравнения жесткости элемента, учитывающие начальные деформации и силы инерции: (Г ) = [й! (А) — (Г'"и)+ [тп! (А). (6.16) Эти уравнения представляют собой уравнения равновесия элемента. Коэффициенты этих уравнений записываются на основе соотношений (6.12а) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
