Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Что значит 4.2. Ниже н полярных координатах приводятся уравнения равновесия и соотношения, связывающие деформации и перемещения при плоском напряженном состоянии. Уравнении состояния идентичны соотношениям, записанным в прямо- (24 4. Основные соотношения теории упругости с физической точки зрения, что эта функция не удовлетворяет условиям равновесия? ги1+ заг+ тзаэ+й(ка4, 1 1+ воя+ ~Увоз+ Мке4 где 841= (! — х(хз) (! — Чпуз), Жз=(х(хз) (! — У1уз), 1У4 = (х/х,) (У/Уз), )У4 = (! — х/хг) (и/Уз).
4.7. Смещения на границе элемента, изображенного ниже, описываются с помощью функций и=8?гак+)у,из+)узаз, о=)уког+й)гез+й),оз, где (24 — а) (з — а) 44 (а — з) з (24 — а) )угие Д?з=,, Ия= аз аз ' аз Определите нормальные и тангенциальные усилия Т„н Т„соответствующие этим перемещениям. Рис. Р4.7. 4.8. Пусть Фг, Фг и Фз — трехмерные функции напряжений, определяемые следующим образом: д'Фг дзФз д'Фз Охее —, о = —, оз= —, дудх ' г дгдк' * дкду' ! д /дФ1 дФз дФз ! т = — —,— ~ — + — — /), 2 дг ~ дх ду дг / ' ! д / дФ1 дФз дФз~ т з= — — — ! — + — + — /!, зз 2 дх (, дх ду дг / ' ! д /дФ, дФз дФз'г г = — — ' — — '+ — '.
2 д)р '1 дх д1/ дг Докажите, что онн удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия и вынедите соответсгвующие нм уравнения совместности. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ Начиная с данной главы, приступим к выводу соотношений между силами и перемещениями для элементов. При этом рассмотрим два подхода; иргьиой метод и метод взвешенных невязсн. В прямом методе построение соотношений для элемента осуществляется непосредственно с помощью учета приведенных в предыдущей главе трех систем уравнений теории упругости: уравнений равновесия, соотношений между перемещениями и деформациями, а также уравнений состояния, Этот метод особенно полезен при выяснении фундаментальных соотношений между конечно-элеменгпной аппроксимацией и реальной кснструкцпей. Так, этим методом будет проведено теоретическое обоснование построений, проведенных в равд.
2.2 и 2.3. Прямому методу присущи черты, свойственные и другим подходам к построению конечно-элементной модели. Особенно это затрагивает вопросы задания сил, если известны напряжении, и деформаций, если известны перемещения. Этот подход включает основные положения, использованные на ранней стадии развития метода конечных элементов 1см. 5.1, 5.21. Однако область применения прямого метода ограничена: его трудно или даже невозможно применять при выводе соотношений дяя усложненных элементов и в некоторых специальных задачах.
В свою очередь область применения метода взвешенных невязок [5.31 практически неограниченна, и, как оказалось, он обладает достоинствами, отсутствующими у альтернативных подходов. Один из вариантов этого подхода приводит к формулировке, идентичной той, к которой приходим при применении описанных в гл. 6 вариационных принципов. Для некоторых классов нелинейных задач методом взвешенных невязок можно вывести соотношения, которые нельзя получить с помощью классических вариационных принципов 1см.
5.4, 5.51. Кроме того, этот подход помогает уяснить физические основы таких вариационных принципов, как экстремальные принципы для потенциальной и дополнительной энергий. 5. Прямые методы построения впементов В данной главе соотношения, определяющие поведение конструкции, используются в основном для построения матрицы жесткости элементов с использованием полей перемещений. Однако описываемые ниже методы применимы для построения соотношений не только данного типа, но справедливы при выводе любого типа соотношений для элемента, если заданы поля перемещений и (или) напряжений, и в действительности используются также в разнообразных физических задачах, не связанных с расчетом конструкций.
В этой главе приводится небольшое число простых примеров, иллюстрирующих последнее утверждение. 5.4. Прямой метод Прямой метод построения уравнений жесткости состоит из следующих шагов. 1. Поле перемещений элемента А выражается в терминах конечного числа параметров (а). Желательно, чтобы ими были степени свободы в узлах (А).
Если выбраны параметры (а), не имеющие физического смысла, то необходимо задать преобразования, связывающие указанные параметры с имеющими физический смысл степенями свободы (Л). 2. Поле дефорлтаций е выражается в терминах степеней свободы (А) посредством дифференцирования поля перемещений согласно соотношениям, связывающим деформации с перемещениями (4.?). 3. С учетом уравнений состояния (4.15) устанавливается связь между полем напряжений а и степенями свободы (А ). 4. С помощью определения усилий, статически эквивалентных напряжениям, действующим на границе элемента, выводятся выражения для сил в узлах элемента (г ) в зависимости от вида поля напряжений и.
Так как поле напряжений а выражено в терминах (Л ) (шаг 3), то на данном шаге можно связать (г ) и (А). Результирующие соотношения являются, по определению, уравнениями жесткости элемента. Чтобы проиллюстрировать изложенную выше процедуру, построим матрицы жесткости для трех простых элементов: стержневого, балочного, треугольного плоско-напряженного. Рассмотрим сначала стержневой элемент (см. рис. 2.?). Выразим поле перемещений ст=и через обобщенные перемешения (а ).
Очевидно, что две степени свободы, отвечающие перемещениям в точках 1 и 2, определяют деформированное состояние этого элемента. Поэтому выберем в совокупности (а) два параметра, иными словами (а)=( а, а, ) т. (б. 1) Для описания одномерного распределения и между концевыми точками выберем полиномиальное представление. Это представление 177 5.1. Прямой метод совместимо с аналогичным представлением для большинства двумерных н трехмерных элементов, так как входящие в полипом общего вида переменные х, д и г обеспечивают хорошую аппроксимацию для элементов любой формы.
Дополнительные вопросы, касающиеся теоретического обоснования выбора вида полинома, рассматриваются в гл. 8. В нашем же случае, имея два параметра, логично выбрать линейный полипом по х, т. е. и=а,+а,х= ( 1 х ) (а,) (5.2) Для общего случая можем использовать следующую символическую запись: Л=(р1 (а). (5.2а) Принятая в (5.2а) символическая запись нуждается в пояснении. В равд. 4.3 было указано, что перемещение узла, обозначенное через А, может иметь до трех компонент, а именно и, и н ш. Следовательно, можно независимо для каждой компоненты задать полиномиальное представление. В этом случае (р) — прямоугольная матрица, имеющая трн строки.
Если, например, перемещение в трехмерном случае задано в виде и= — а,+а,х, п=ая+а,у, ш=ал+а,г, то будем иметь 1 х О О О О О О 1д О О О О О О 1 г что в общем виде символически запишется в виде (Ь)=(В) (а). Обращая матрицу (В), получим (5.3а) (5. 4) или в общем виде (а)=!В) '(Л), (5.4а) Рассматривая вновь стержневой элемент, определим, согласно рекомендациям шага 1, преобразования, связывающие параметры представления с физическими степенями свободы и, и и,.
Это можно осуществить, выписывая (5.2) в точках х=О и х=Ь. Имеем 1гв 5. Прямые методы построения элементов Подставляя это соотношение в (5.2), находим -~(~ — —,) —,*~( )=~я,ж,~( ), (бт~ или в символической записи тэ=!р! !В! '(Л)=(й(! Ж (5.5а) где !1 — (х!Е))=У; и хl(.=Жя называются функциями формы поля перемещений, Выполняя операции на шаге 2 (введение соотношений между деформациями и перемещениями), имеем в=а,=и', где штрихом обозначена производная величины и по х.
Операции на этом шаге можно выполнить двумя способами. В первом случае можно продифференцировать соотношения (5.2) и использовать выражения (5.4) для вывода искомых соотношений. Таким образом, и'= ! 01 (5.6) в общем виде символически запишется в виде е=(С) (а), (5,6а) и подставляя в полученное выражение формулы (5.4), приходим к соотношению Можно непосредственно продифференцировать соотношения (5.5). Имеем (5.6Ь) или е=(Р! (А).
(5,6с) Можно заметить, что из уравнения (5.6) параметр а, по существу исключен, и это уравнение можно записать в виде и'=а,. Сокращенная форма записи обусловлена тем, что, как показано в равд, 4,3, дифференцирование перемещений с целью получения деформаций приводит к исключению членов, отвечающих движению тела как твердого целого. В данном случае такому движению соответствует член а,. В более общем случае параметры, отвечающие движению тела как твердого целого, обозначены через (а,), а остальные параметры — через (аг!.
Тогда сокращенная форма соотношения, связывающего перемещения и деформации для общего случач„имеет вид в=(Сг! (аг). (5.6т)) 129 5.1. Прямой метод Выполняя операции шага 3 (введение соотношений между напряжениями и деформациями) для стержневого элемента, находим, что [Е1=Е и а=о„ и с учетом (5.6Ь)) приходим к соотношению (5.7) =А о„ (Г )=[А1 (о); (5.8) или (5.8а) подставляя (5.7), получаем ] [-Аг[ 1] [ — — — ][ ']- т [ > >][ '].
~59) Находим, что уравнения жесткости элемента записываются в виде (Р)=Й1 (А), где [[т)=[А] [Е1 [01, (5,10) Итак, установлено, что матрица жесткости строится при помощи перемножения следующих трех матриц: [01 — матрицы преобразования перемещений для соответствующих степеней свободы в деформации; [Е1 — матрицы жесткости упругого материала; [А) — матрицы преобразюаний напряжений в узловые силы. 5 ге гатт нли символически о=[Е[ [01 (А )=[81 (А ), (5.7а) где [81=[Е[ [01 — одно из представлений матрицы жесткости элемента. Напомним, что понятие матрицы напряжений элемента было введено в (3.9) с помощью равенства (о)=[л1 1А ), которое позволяет оценивать напряжения в заданных точках.
Например, для стержневого элемента (о)= [ о„, о„,~ т, если напряжения вычисляются в концевых точках. Таким образом, символ [8[используется для обозначения преобразования вектора перемещения (А) в распределенные напряжения о, и символ [о) — для обозначения преобразования (А ) в вектор напряжений (о),определенный в заданно х то«ках. Соотношение для элемента (о)=Ю) (А) можно использовать вместо (5.7а). В этом виде выражение для напряжения используется далее при построении изгибаемого элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
