Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Более строгий уровень построения теории, включающий нелинейные аспекты и более общие типы поведения материала, читатель может найти в книгах (4.5 — 4.7!. В теории упругости имеются три системы соотношений: (1) дифференциальные уравнения равновесия; (2) соотношения, связывающие деформации с перемещениями, и условия совместности; (3) уравнения состояния материала. Для любого тела, имеющего конечные размеры, системы (1) и (2) дополняются граничим.ии ус. ловиями.
В данной главе выводится каждое из этих соотношений, а затем в общих чертах показано, как из совокупности указанных соотношений получить определяющую систему уравнений. В заключение приводятся некоторые замечания, касающиеся вопроса единственности решения задач упругости и его значимости для метода конечных элементов, 1ОВ 4. Основные соотноетенив теории упругост» 4Л. Дифференциапьные уравнения равновесия Для простоты изучим сначала равновесие бесконечно малого плоского элемента с действующими, как указано на рис. 4.1, нормальными ого ов и касательной тев компонентами напряжения, а также компонентами объемной силы (т. е.
силы на единицу объема) Х и Г. Объемные силы могут возникнуть по разным причинам, однако в Рнс. 4ГП настоящем рассмотрении онп введены главным образом для того, чтобы учесть действие сил инерции в динамическом случае. Предполагается, что компоненты напряжения, как показано на рис. 4.1, постоянны в направлении, перпендикулярном их действию; иными словами, хотя а„и меняется вдоль оси х, она считается постоянной на грани шириной с1у. Проводя более тонкий анализ, учитывающий изменение компоненты напряжения вдоль грани, можно показать, что получаются члены более высокого порядка по сравнению с членами, рассматриваемыми в классической линейной теории упругости.
Записывая условие равновесия в проекции на ось х (толщина грани в направлении, нормальном плоскости х — у, равна 109 4.! . Дифференциальные уравнения равновесия единице), имеем Хгх=б= (ох+ д '(х) '(У и«'"У+Х'"хс(У+ дс„х +( „.+ —,") .— „." (. ) и после приведения подобных членов получим дох дсдх — + — +Х=О (4.2а) Аналогичные рассуждения для направления вдоль оси у дают ду+ дх +У=О (4.2Ь) Естественно, что в плоском случае должны удовлетворяться три условия равновесия„причем третьим из иих является равенство моментов относительно оси, нормальной к плоскости. Наложение хя ох Рнс. 4зи этого условия приводит к тому, что т„в=та„.
Таким образом, уравнения (4.2а) и (4.2Ь) представляют собой искомые уравнения равновесия плоской задачи теории упругости. Не составляет труда обобщить эти выражения на трехмерный случай (с объемными силами Х, 'г' и Л), (См, рис, 4.2, где изображены компоненты напряжения и силы.) дх ду дг (4,3) дах дс,х 'с„ — -1- — + — +г. = О, дг дх ду 4. Основные соотношения теории упругости Конечно-элементная формулировка задачи в определенных случаях опирается на выбор поля напряжений. Поэтому необходимо либо выбирать поля таким образом, чтобы они удовлетворяли дифференциальным уравнениям равновесия, либо проверять, удовлетворяют ли этим условиям выбранные функции, которые априори задавались без учета указанных условий. Например, если выбрать плоское поле напряжений, компоненты которого тождественно равны константам о„=а,, о„=а„т,„=а„то очевидно, что условия (4.2а) и (4.2й) выполняются.
Более сложное поле, име1ощее вид о„=а,+а,у, о„=а,+а,х, т„„=а„ где а;,..., а,— константы, также удовлетворяет уравнениям (4.2а) и (4.2(т). С другой стороны, поле о„=а,+а,х, оу — — а,+а,у, т„„=а, дтФ о к дут дтФ дт Ф о = —, т (4. 4) У дхт ' кУ дхду' Очевидно, что в отсутствие объемных сил (Х=)'=0) указанные поля напряжений автоматически удовлетворяют уравнениям (4.2) при любом выборе Ф. Рассмотрим, например, Ф=-а,+а,х+а,у+ +'гну,х'+Ч,агут — атху. Тогда он=а,, о„=.а„тк,=а„что совпадает с вышеприведенным примером. Функции напряжения можно построить также для трехмерной теория упругости, теории изгиба пластин н других отдельных случаев упругого деформирования.
Так, при расчете изгиба пластин методом конечных элементов, особенно полезно знание функций, называемых' функциями напряжения Саусвелла. Эти функции рассматриваются в гл. !2. Основные трудности, связанные с введением функций напряжения, заключаются в том, что последние не имеют четко выраженного физического смысла.
Это усложняет задание граничных условий и исследование других ключевых аспектов в процессе решения любой практической задачи. не удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия до тех пор, пока не обратятся в нуль коэффициенты а, и а, (а,=а„=О). Удобно находить поля напряжений, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям равновесия, с помощгяо введения 4тункций напряжения. Функции напряжения представляют собой функции, которые будучи продифференцированы согласно соответствующим правилам, дают компоненты напряжения, автоматически удовлетворяющие дифференциальным уравнениям равновесия. Плоское напряженное состояние можно охарактеризовать одной такой функцией Ф, называемой функцией напряжения Эри и определяемой соотношениями аии Граничные условия для напряжений 4.1. Граничные условия для напряжений Дифференциальные уравнения равновесия должны выполняться а любой внутренней точке тела.
Помимо этого, необходимо учесть условия равновесия на границе тела (стнатичесхие грпничнью ус.юаия). Рассмотрим, согласно рис. 4.3, границу двумерной области, на которой действуют заданные потирхностные усилия Т„и Т„' 1 ттх ~х дз Рнс. 4.а. Обычно эти поверхностные силы определяются как силы, направленные вдоль оси х и у и действующие на единицу площади поверхности, расположенной под некоторым углом к указанным осям.
На рис. 4.3 изображен участок поверхности длиной с(з для плоского напряженного состояния (так как рассматривается пластинка единичной толщины, то площадь поверхности численно равна длине дз). Символами („и (а обозначены соответственно косинусы углов между нормалью к поверхности и осями х и у, Из условий равновесия в направлении оси х имеем Тяиз = о„(! дэ1+ 'г (! с(а) или (4.5а) а для направления вдоль оси у— Тв=(воз+(„т.в. (4.5Ь) В этой книге все задаваемые величины (граннчные усилия, перемыпення! обозначаются символами е чертой сверху.
112 4. Основные соотношения теории упругости В методе конечных элементов рассматриваются условия равновесия не только во внутренних точках конструкции или наеевнешних поверхностях, но и в точках соприкосновения элементов. На границе каждого из соприкасающихся элементов в середине имеется некоторое напряженное состояние, поэтому уравнения должны выполняться в каждой точке соприкасающихся граней. На рис.
4.4(а) (ь) (а) Рис. 4.4. изображены два соседних элемента А и В, поверхность соприкосновения которых проходит по осн у глобальной системы координат. На поверхности раздела не действуют внешние нагрузки. Для выяснения условий равновесия на границе элементов разделим элементы, как показано на рис. 4.4(Ь). В соответствии с ориентацией поверхности раздела имеем 1„=0, 1„=1, и уравнения (4.5) сводятся к уравнениям Т =о, Т„=с„„.
Следовательно, если граница раздела между элементами проходит вдоль оси д, то для выполнения условий равновесия требуется лишь, чтобы нормальная компонента напряжения о„и касательная компонента т„„на этой границе были непрерывны. Разрешается, чтобы нормальная компонента напряжения осн если она существует, была разрывной при переходе этой границы в направлении х. Если поверхность раздела наклонена под некоторым углом к осям х и у, то нормальные и тангенциальные компоненты усилий на ненагруженной поверхности (Т„и Т,) должны быть непрерывны на границе, разделяющей элементы. С каждой стороны от поверхности раздела два усилия выражаются через три компоненты напряжения.
Поэтому, несмотря на то что компоненты напряжения в направлении координат могут изменяться при переходе от одного элемента к другому, условия равновесия при переходе через поверхность соприкосновения элементов все же сохраняются. Перед нами снова возникла необходимость ввести символ, который обозначал бы совокупность компонент некоторой переменной. Причем этот символ должен отличаться от символа, соответствующего вектору, который задает значения этих компонент в той или иной точке. Вводимый таким образом символ есть тензор напряжений о, который включает в себя компоненты о„...
т,„; этот символ будем записывать жирным шрифтом без скобок. Если нужно перечи- мз 4.3. Соотиоюения, свяяыввющие деформвции с перемещениями слить компоненты тензора н, то будем записывать их в виде вектор- строки или вектор-столбца в следующем порядке: ~о„о, а,т„от, т,я ). Аналогично поле заданных поверхностных усилий будем обозначать через Т и считать, что этот символ относится к совокупности ( ТяТяТ, ), а объемные силы объединим символом Х=— ( Х !'х ). Сймволом же, соответствующим вектору, обозначаются привычные понятия матрицы-строки ! ) или матрицы-столбца ( ), Если, например, напряжения для плоского напряженного состояния определить в двух точках, скажем 1 и 2, то запись примет вид (а)т ( а„о, г„„а, ов т„„ 4.3.
Соотношения, связывающие деформации с перемещениями, и усяовия совместности При формулировке метода конечных элементов на основе метода перемещений очень важны кинематические дифференциальные соотношения, связывающие деформации с перемещениями. Наоборот, дифференциальные уравнения равновесия (рсловия статики), приведенные в равд. 4.1, не играют столь существенной роли при этом подходе. — Фу Рас.
4.6. Для вывода соотношений между деформациями и перемещениями рассмотрим малое смещение из недеформированного состояния АВС0 в деформированное состояние А'В'С'0' для бесконечно малого элемента, изображенного на рис. 4.5. В результате деформации имеем для малых (линейных) дефор.калий (А'В')'= (ох+ — "с(х) + ( — с!х) . (4.6а) 114 4.
Основные соотногиения теории упругости По определению, относительная деформация (отношение приращения длины к начальной длине) е„равна (А'В' — АВ)!АВ или при АВ=дх А'В'=(!+е„) дх. (4.6Ь) Возводя (4.6Ь) в квадрат, приравняв полученное выражение к (4.6а) и поделив на (дх)', получим 2е„+е',=2д — + (д ) + (й ) ' Пренебрегая теперь членами, имеющими более высокий порядок малости, что соответствует предположению о малости деформаций, имеем е„=ди,гдх.
(4.7а) Аналогично для деформации вдоль оси у ев — — 1ЫдУ. (4.7Ь) Деформация сдвига у „ определяется как изменение значения угла, бывшего прямым до деформации. Указанный вид деформации также изображен на рис. 4.6, откуда становится ясным, что измененце угла, вызванное перемещением отрезка АВ в направлении оси х в положение А'В', равно (!Ях) ((Ъ~дх) дх=1Ыдх. Аналогично получим изменение угла при перемещении отрезка А0 в направлении оси у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
