Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Сфера действия метода конечных элементов по сравнению с классическими методамн будет даже шире в области решения нелинейных задач, таких, как расчет пластических деформаций, когда не представляется возможным получить аналитическое решение даже для тел простой формы. В книге не рассмотрены вопросы численного исследования неупругих конструкций и других нелинейных задач; однако, чтобы получить представление о прогрессе, достигнутом в указанном направлении, читателю рекомендуется ознакомиться с работами 13.9„3ДОБ 3.5. Специальные операции З.эд. Резбнеиие ие иедкеиетрукции Большинство реальных конструкций настолько велико и сложно, что минимально допустимая конечно-элементная модель всей конструкции выдвигает чрезмерно высокие требования к возможностям вычислительной техники при решении полученных уравнений. В связи с этим приходится решать задачу поэтапно, при этом основные части конструкции, называемые подкоиструкдиями, рассчитываются отдельно, а затем полученные решения объединяются.
Примеры даны в равд. ПЗ. Кроме того, на практике процесс проектирования часто начинается с независимых расчетов уже существующих подконструкций, и окончательные проектировочные расчеты оказываешься эффективным проводить с использованием данных о подконструкциях. Более того, подход, при котором рассчитываются отдельные подконструкции, позволяет проектировщику оперировать с промежуточными числовыми данными для компонент конструкции, что важно при повторяющихся расчетах, встречающихся, например, в оптимальном проектировании и нелинейном анализе. 3. Способы глобального анализа конструкций рг На рис.
3.9 показана вся конструкция, разбитая на три основные подконструкции г, б и Н. Рассмотрим сначала жесткостные характеристики подконструкцин б. Здесь используются следующие нижние индексы: с — степени свободы, соответствующие границам, разделяющим подконструкции; д — степени свободы, принадле- '1 2 Рис. 8.9. Схема разбиения на подконструкции (прикладываемые нагрузки не изображены); / — типичный узел, отвечающий степени свободы с; 2 — типичный узел внутри подконструкции (узел и). жащие только подконструкции б, т. е.
не связанные ни с какой другой подконструкцней. Предполагается, что рассматриваются модифицированные уравнения жесткости для подконструкции, учитывающие условия закрепления. Соотношения жесткости для подконструкции б можно записать в виде (для простоты записи символы, указывающие на принадлежность соотношений подконструкции б, не используются) (3. 20) (3.23) поэтому (3.22) запишется в виде (Р,)=(В„! (й,)+(~,).
(3.25) Можно сначала решить верхние уравнения в (3.20), чтобы выразить перемещения, относящиеся к рассматриваемой подконструкции (Ь ), в терминах граничных смещений, замечая при этом, что для соответствующих степеней свободы силы (Га) есть не что иное, как приложение нагрузки (Ра). Имеем (/зг) =[(с~т! '(Р„) — [к„„1 '[(тг,](А,), (3.2!) (г,)=[[к„) — [й,„)[)т „) х[ка,))(Л,)+[к,„1[(сни) '(р ).
(3.22) Для простоты введем обозначения (Кг) = [й„к) [йла)-х (рл), [Й„,1 = [[й„1 — [й,а1 [й„к)-х [й„Д, (3.24) 93 Здв Спациальныа операции Полученное уравнение жесткости в совокупности с аналогичными уравнениями для других основных подконструкций можно использовать при построении уравнений жесткости для степеней свободы, отвечающих участкам соприкосновения подконструкций, т, е. для всей конструкции (подконструкции )с, б и Н): (р ) (рг) 1 (ра)1 (рн) (3.26) где верхними индексами г', б и Н помечены соответствующие силы на участках соприкосновения.
Решая полученные уравнения, находим перемещения на участках соприкосновения (Л,). Чтобы получить силы и перемещения внутри подконструкции, перемещения (Л,) подставляются снова в уравнения для подконструкций (3.20) и (3.2!). Требуемый процесс конденсации можно осуществить также с помощью преобразования координат. Вспоминая, что, согласно разд. 2.8, если совокупность степеней свободы сопоставляется с меньшим числом степеней свободы с помощью матрицы преобразования [Г,), то исходная матрица жесткости преобразуется с помощью тройного произведения [Гс1т[К[ [Г,1, а вектор снл преобразуется согласно [Г,[т (Р) (см.
уравнения (2.37) и (2.38)). В данном случае в силу (3.2!) и с учетом равенства (Л,)=с[[! (А,) получим («с) = (Гс1 (йс) (3 27) с! Применяя это соотношение к равенству (3.20), получим (3.25). Более эффективным подходом к расчету сложных конструкций может служить метод редуцированных подконструкций 13. П!. Чтобы аналитически описать этот подход, необходимо усилить концепцию уравнений связи, которая принимается в п. 3.5,2, 3.5Д. Уравнения связи Уравнения связи — это соотношения между степенями свободы, задаваемые дополнительно к основным уравнениям жесткости, Простое задание условий закрепления, т.
е. 6~=0, приводит к ограничениям, но, как было видно, его легко учесть непосредственно после построения глобальной матрицы жесткости. Целям настоящих рассмотрений более соответствует показанный на рис. 3.!О случай изгибаемого элемента, соединенного с твердым телом, Ясно, что на смещение узлов ! — 5 наложены связи, препятствующие установлению линейного закона для смещения ш, которое диктуется угловым смещением нормали к срединной поверхности оболочечного элемента. Связи возникают и во многих других слу. чаях, включая обсуждаемую в следующем разделе схему метода редуцированных подконструкций, некоторые подходы к расчету не- 3.
Снособы глобального анализе конструкций сжимаемых материалов, а также при учете специальных граничных условий и при попытках задать определенные типы перемещений на некоторых участках конструкции. Далее в книге встретятся ука- занные ситуации. тлеете тела ееаааееегй аемеат Рнс. ЗЛО, Изгнбаемый оболочечный элемент, соединенный с твердым телом. где элементы в [Ст[ суть коэффициенты в уравнениях, задающих ограничения, а (з) — вектор, компоненты которого заданные константы. Для простоты рассмотрим лишь случай (з)=0.
Вывод соотношений для более общего случая (а)~0 представляется сделать читателю в качестве упражнения (см. задачу 3.!8). Для построения матрицы преобразования вновь проведем разбиение степеней свободы на две группы (Л,) и (Л,), где (А,) соа держит г степеней свободы, а (А,) содержит (и — «) степеней свободы, Имеем [а. а, )(* ) (3.29) Таким образом, степени свободы объединены так, что (Ь,) степеней выбраны в соответствии с числом ограничений г. Требуется исключить эти степени свободы из выражения для функционала энергии посредством схемы конденсации.
Хотя выбор исключаемых степеней Каждое уравнение связи позволяет исключить одну из степеней свободы, оставляя другие. Используем здесь эту возможность для построения матрицы преобразования, которую можно применять для конденсации стольких степеней свободы, сколько ограничений задано сверх числа уравнений жесткости. Таким образом, используем подход, предложенный в равд. 2.8. Рассмотрим случай, когда имеется г связей в системе с п степенями свободы. Общее представление линейных уравнений связи- в этом случае имеет вид [Я ха(ц)лкт=(а)акт~ 95 3.5.
Сцецнальныв 44перац44м свободы часто произволен, возникают случаи, когда это необходимо делать с чрезвычайными предосторожностями [3. !21. Разрешая (3.29) относительно (А,), получим (А,)= — [С4,! 1[6,1 (А,)=[0„! (А,), (3 30) что, согласно схеме, разработанной в разд. 2.8, можно использовать для получения формул преобразования степеней свободы в следующем виде: ' = ~хк (А,)=(Г,],А,). (З.З!) Применяя полученные формулы к глобальным уравнениям в виде тройного произведения Т,[т [М1 [Р,[, получаем редуцированную матрицу жесткости, относящуюся только к (А,), а также редуцированный вектор сил т!~ 41 (р,) =(г,)' Решая редуцированные уравнения жесткости, находим (А,), который можно подставить в (3.30) и найти (А,).
Е д д Рнс. ЗА К В качестве иллюстрации рассмотрим изображенную на рис. 3. !1 систему, состоящую из трех стержневых элементов. Согласно прямому методу жесткости, система уравнений без учета условий закреплений имеет вид (й4=АЕ[Е) — 2 (Симметрично) 0 — 1 2 о о — ! Си, а с учетом условий закрепления и,=и„=О записывается как "1-' 'К:)-(::) Предположим теперь, что узлы 2 и 3 жестко соединены таким образом, что и,=и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
