Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ЗА элементы могут представлять лишь небольшую часть реальной конечно-элементной модели. Элементы, которые находятся вне области, занимаемой элементами А, В, С и «л, никак не влияют на вид уравнения (3.4). Другими словами, совокупность отличных от нуля элементов в строке матрицы жесткости состоит из коэффициента на главной диагонали и коэффициентов, отвечающих степеням свободы в дапном узле и узлам элементов, которые прилежат к данному узлу. Все остальные элементй в строке равны нулю. Если в полной конечно-элементной модели существует много степеней свободы, а матрица жесткости содержит относительно мало нулевых элементов, то такая матрица называется разреженной или слабо заселенной матрицей.
Очевидно, что с вычислительной точки зрения удобно «прижать» все нулевые элементы как можно ближе к главной диагонали матрицы (см. рис. 3.3(Ь)), выделяя тем самым нулевые элементы и облегчая их исключение из вычислительного процесса. Это можно сделать, нумеруя степени свободы таким образом, чтобы расстояние от главной диагонали до самого удаленного нулевого элемента в каждой строке было наименьшим, т.
е. минимизируя ширину полосы ленточной матрицы. Минилтизация ширины полосы ленточной матрицы — это всего лишь один из способов увеличения эффективности вычислительного алгоритма решения уравнений. Какой бы подход ни применялся для экономичности вычислительного процесса, существен учет свойств симметричности и разреженности матриц жесткости. Обсуждение алгоритмов численного решения уравнений лежит за пределами данной книги, поэтому читателю, желающему получить всестороннее представление о данном вопросе, рекомендуется обратиться к работам !З.б). 77 3.2.
Прямом метод жесткости. Общая методика Все детали реализации изложенного выше прямого метода жесткости проиллюстрированы на рис. 3.4. Далее рассмотрен пример расчета подкрепленного треугольного элемента. — 30 ~( у,и 1 щи т А= 0,76 т и™» '.— 3 лет Рис. 3.4. Иллюстративный пример — прямой метод жесткости, примененный к подкрепленному треугольному элементу (линейные размеры даны в дтоймах, площадь А — в квадратных дюймах). Прямер расчета см. ниже.
Пример реочета треуеотьномт элемента (см. рис. 3.4) Уравнение жесткости элемента. Е=)0' фунт/дюйм', и=О.З. Все величины вычисляются вручную. Для элемента А (элемент ! — 2) справедливо А)Е=О.7(70, Относительно матрицы жесткости см. равд. 2.3. Преобразование проводится согласно равд, 2.7; при этом соз ~р=(, з|п ту=От Для элемента В (элемент 2 — 3) справедливо А/1.=0,5/56,56, сот (р= — 0.?07, з(п (2=0.707: 0.442 10» — О.
442 — О. 442 0.442 из Для элемента С (элемент 1-3) А/о=О,?5?50, соэ (р=0.6, Ип (р=0.8: 0.540 = 10» — 0.540 0.540 ,Симметрично) 0,720 — О,?20 0.960 — 0,720 0.720 — 0,960 0.960 ит из оз Для элемента У (элемент 1 — 2 — 3) (относительно алгебраической записи матрицы жесткости см. рис. 5.4): Г 1 272 -0.695 — О. 577 10» 0.613 — О.
118 -О. 495 и, из Лостроенне глобальной матрицы жесткости. Суммируя полученные уравнения, имеем и, 2.569 (Симметрично) — 0.875 1.992 — 0.035 †!.297 2.232 — 0.901 !.019 0.377 1.302 0.936 0.278 — 2.609 -1.678 4.288 1 !(Э 10» Использование граничных условий для перемещений. Здесь и,=с,=о =О. Выделите первый, четвертый и пятый столбцы н выпишите отдельно соответствующие строки: Р1- ~ 2,569 — 0.875 0.936 и, — 0.875 1.992 0.278 из 0.936 0.278 4.288 из Обращение матрниы жесткости и подсчет перемещений. Обращая полученную матрицу н подставляя Р„; †40 фунтов, Р„,=)0 000 фунтов, РЭ,=2000 фун- Р., Р„, Р„, Рэ, Рьч Ри Р, Р« Рр, Ра, Рэ, Рс «» Ро РС У» 2.812 — 1 «695 — 1.1!7 1. ЗЗЗ вЂ” 0,118 !.215 1,127 — 0.433 — О.
035 — О. 459 0.495 3. Способы глобального анализа конструкций ( 0.442 (Самметрично) 0,442 0.442 0.442 0.442 0.442 (Симметрично) !.О!Π— 0.577 1.272 0,577 0.377 0,860 0 †!.649 — 1.237 2.866 3.2. Прямой метод жесткости. Общая методика тов, находим 5.
203 2. 466 — 1. 296 Р„, 0.04288 дюйма 2.466 6.235 — 0.943 Рю =. 0.01033 дюйма — 1.296 — 0.943 2.677 Рю — 0.00926 дюйма Вычисление сил реакции опоры. Из первой, четвертой и пятой строк глобальной системы уравнений жесткости (с исключенными соответствующими столбцами] получаем — !.695 — 1.!!7 †!.2!5 — 0.035 †!.297 — 2.609 — 0.901 !.019 — 1,678 0.04288 — 14 000 0.07033 = — 6857 — 0.00926 4657 Вычисление осевых сил в элементах.
1(ля элемента А из матрицы жесткости элемента со столбцом, отвечающин и,=О, получаем РЛ(= — Р~~)= — 10л ил= = — !Ол 0,04288= — 4288 фунтов. Зля элемента В (столбец, соответствующий ом исключен) Результирующее осевое усилие равно эг ( — 1623)'+(1623)э=2294 фунта. Для эле- мента С (столбцы, соответствующие и,, оо исключены) (Рс 1 ) 0.720 0.960 1 (0.00926~ (4!75~ Результирующее осевое усилие равно йг(3!31)'+(4! 75)а=5218 фунтов Подсчет напряжений в элементе В. Используя приведенную на рпс.
5.6 матрицу напряжений элемента н исключая столбцы, отвечающие ио о, пол, получим 40 0 ° 21 12 О 70 — !05 245 0 ! ох оз» =3.925 10л газ( 0.04288 щойыа) 0.07033 дюйма) = — 0.00926 дюйма) 5969 фунт/дюймз — — 525 фунт(дюйма 4996 фупт(дюйма В заключение обращаем внимание на то обстоятельство, что пе все степени свободы элемента, фигурирующие в уравнении (3.1), с неооходимостью будут аналитически связаны с дополнительными степенями своооды соседних элементов. Простым примером этого может служить представленный на рис. З.б случай балочного элемента с внутренним шарннроэ! в соединении !'. Угловыс перемещении элементов А и В (Вл и Оп!) независимы друг (силы даны в фунтах). Эти значения согласуются со значениями для статического равновесия всей конструкции.
3. Способат,глобального анализа конструкций ао от друга и не связаны. Это сведется к заполнению начальных элементов отдельных столбцов в глобальной матрице жесткости. В гл. 6 показано, что основные теоретические предпосылки, используемые при построении конечных элементов, обеспечивают выполнимость условий допустимости для степеней свободы соседних элементов. Некоторые элементы обладают большим числом э Рнс. З.б. степеней свободы, чем это требуется для выполнения условий допустихгосаи. В некоторых случаях, тем не менее, желательно связать указанные степени свободы, ио в других случаях (особенно для пластиичатых и оболочечных элементов) невозможно осуществить это согласование. Эти вопросы вновь затрагиваются в гл.
12. З.З. Метод иоигрузнтиых преобразований в жесткостиом аиавизе При построении глобальной матрицы жесткости ие обязательно следовать методике, описанной в равд. 3.2. Одна из альтернатив заключается в образовании несвязанного массива, состоящего пз всех матриц жесткости элементов, и последующего введения связей между элементами посредством построения и применения преобразования координат, в котором степени свободы элементов и узлов включают преобразованные векторы. Назовем этот подход методом конгруэнтных гтреобразований. Рассмотрим сначала конструкцию, задаваемую с помощью р конечных элементов, для которых индивидуальные уравнения жесткости записываются в виде (3.!).
Объединим уравнения жесткости элементов: (3.10) где (Ра) и (Л') — векторы, включающие степени свободы соответствующих элементов, т. е. >Р)=( ( Р'11 Р )...1 Р ~...1Р ) )т, (3)П (Л)=) ( Л )1Л )...) ЛгГ...( дг) )т, (312, а Г(сг ) — диагональный массив подматриц, в котором каждый блок на диагонали является одной из матриц жесткости элеменгц, в1 З.З. Метод конгруантных и еобрааоааннй а жесткостном ананнае а именно ! Щ Гй )= (й! (3.13) (й'1 ! Массив Г Кг ) называется несвязанной глобальной матрицгй жесткости. Теперь необходимо связать элементы.
Для этого используем условия непрерывности перемещений в узлах конструкции, представляемые алгебраическими уравнениями (Л')=(А! (Л), (3.14) где (Л) объединяет глобальныг перемещения в узлах, а (А! назьтвается глобальной кингматичгской матрицгй или лштрицгй связноспш. (В дальнейшем пронллюстрируем вид матрицы (А! с помощью простого примера.) Рассматривая величину работы (см. равд. 2.4), можно построить соответствующие преобразования для сил.
Для это~о запишем сначала это преобразование символически (р)=!в! (р ), (3.15) где !В! — глобальная статическая матрица, так как очевидно, что она соответствует уравнениям, обеспечивающим равновесие внешних (Р) и внутренних (гг) сил. Поэтому в (3.15) каждая строка имеет вид (3.2). Используя введенное в равд. 2.4 понятие работы, выразим производимую внешними силами работу в виде 1) ест= 7т ! Р ! (Л) (3.!6) и, используя (3.15), получим )Р,„т=Ч,~ Гг~ (В)т(Л) (3.16а) Кроме того, работа, производимая внутренними силами, задается выражением яг т/ ! рг ! (Ле) (3.17) нли, согласно (3.14), В'ьн=Чт( Г' )(А! (Л), (3. 17а) Учитывая условие равенства работ, производимых внутренними и внешними силами, и сравнивая соотношения (3.!6а) и (3.17а), 82 3.
Способы гпобапзного анализа конст кций получим [В[т=[А[ (3.18) Применим теперь эти соображения непосредственно для преобразования уравнения (3,10). Основываясь на введенной в равд. 2.7 методике преобразования, выпишем глобальные уравнения жесткости в обычном виде, т. е. в виде соотношений (3.5), где [К1=1А[ [ 1с' ! 1А1. (3.19) Может оказаться, что метод конгруэнтных преобразований менее эффективен, чем прямой метод жесткости. В методе конгруэнтных преобразований требуется построить матрицы Г к' [ и [А[, каждая из которых имеет большую размерность, чем матрица [К[, а также перемножить матрицы согласно (3.19), С другой стороны, усилия, затрачиваемые на построение несвязанной матрицы жесткости, минимальны.
Составляющие матрицы элементов не должны содержать моды движения тела как жесткого целого; в этом случае можно исключить степени свободы, соответствующие статически определимым неподвижным условиям закрепления. Блок матрицы жесткости, который необходимо оставить, чтобы включить в Г й' ), обозначается в (2.1!) через [йы[. Более строгое описание этой процедуры приводится в равд. 7.1, однако для настоящих рассуждений достаточно заметить,.
что процедура преобразования, описываемая выражением (3.19), сводится к освобождению каждого элемента от соответствующего закрепления. Операции, задаваемые соотношением (3.!9), также очень просты ввиду свойств матрицы[А[. Изучим структуру этой матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
