Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вообще говоря, если элементы А, В, С н 0 связаны в узле со степенями Лг, то требование совместности перемещений приводит к уравнению Лг=бг=Лвг=Лсг=Ло, которое образует столбец в матрице [А[, где на каждой позиции, отвечающей Л",,..., Л,", стоит единица, а остальные элементы столбца суть нули. Далее следует отметить, что использование матриц жесткости элементов в глобальной системе координат приводит к тому, что ненулевые элементы матрицы [А[ равны единице. Построенная таким образом матрица называется булевой згатрнйей, н очевидно, что структура матрицы обусловливает высокую эффективность вычислительных алгоритмов перемножения матриц согласно (3.!9). Если матрица жесткости элемента заппсаиатолько в координатах, связанных с элементом, то соотношения (3.14) трансформируются, причем используется преобразование от локальной системы координат к глобальной. В этом случае элементы матрицы 1А1 ие обязательно строго равны единице и матрица [А[ не имеет вид булевой матрицы.
В худшем случае, однако, [А[ — разреженная матрица с коэ4хрициентами, равными единице, с направляющими косинусами и линейными размерами. Более того, как показано в равд. 7.1, 3.3. Метод нонгруэнгных ораоб азованнй в жесгносгном анализе 63 соотношения (3. !9) не обязательно включают формальный алгоритм перемножения матриц. Чтобы проиллюстрировать этот подход, рассмотрим опять подкрепленный треугольный пластинчатый элемент, изображенный на рис. 3.4. Матрицы ( !с' ! и (А! представлены на рис.
3.6. В подНесвязанные уравнения жесткости (Гк)= ( К" ! (Ьк), (Для каждого элемента задаютсв етатическн определимые условия закрепления.) цл ив з 1.000 0 0.442 п :) О 0 0 0 0.540 О 0 0 0 0.720 0,960 цо г О из ео з 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.!27 0 0 — 0.443 1.010 Соотношение связи (дк) =(А) (а! ил Г! 001 100 ив 010 ез и 1 „с ! 3 001 Е) 001 иО 3 иО з о з 100 010 001 т Перемножая матрицы (А! ( йз )(А), приходим к матрице жесткости (с учетом условий закрепления), построенной на рис.
3.4. Рис. 3.6. Метод конгруэнтных преобразований при построении уравнений жест- кости а иллюстративном примере. матрицах, которые соответствуют матрицам жесткости элементов, отсутствуют члены, отвечающие движению элемента как жесткого целого. Согласно предположениям, положенным в основу проводимых вычислений, соответствующих рис. 3.4, векторы, определенные в узлах элементов, записываются в глобальных направлениях, рл к, рн РВ кк ~к РО кк РО к ° РО к Π— 0,442 0.442 (Симметрично) 0 0.442 — 0.442 0,442 0 0 0 0 О 0.495 О 2,886 3, Способы глобального апапмза конструкций и поэтому матрица [А1 содержит только единичные ненулевые элементы.
Развиваемый здесь на базе естественных рассуждений метод конгруэнтных преобразований можно также построить, используя энергетический принцип. Этот альтернативный подход излагается в равд. 7.2. Будет показано, что указанный альтернативный подход позволяет выявить особенности расчета всей конструкции без построения на практике глобальных матриц. Этот подход известен как процесс прямой минимизиг[ии энергии [3.6!. Прежде чем подвести итог данного раздела, рассмотрим некоторые важные свойства статической матрицы системы !В[ (и, конечно, транспонированной матрицы — кинематической матрицы системы [А[), Это позволит выявить любую возможную форму кинематической неустойчивости конечно-элементной модели конструкции и определить дополнительные силы.
Конструкция кинематидес[[! неустойчива если п т о мы движения как абсолютно твердого тела, Дополнительные силы — это силы, переопределяющие статически определимую систему. Чтобы описать действия, которые необходимо проделать над уравнениями статики для определения указанных выше величин, рассмотрим конечно-элементную модель плоской фермы, содержащую и степеней свободы (так как каждому узлу соответствует две степени свободы, то число узлов равно и/2), р элементов и ! опорных реакций. Обобщение на более сложные случаи не представляет труда.
Построим сначала вектор сил (Г') таким образом, чтобы он содержал внутренние силы в элементах (т. е. составляющие, отвечающие движению тела как жесткого целого, исключаются), а также силы реакции опоры для всей конструкции. Этих сил достаточно, чтобы описать условия равновесия для единственного набора внешних нагрузок (Р). Тогда для описания этих условий опять применимо уравнение (3.[5). Перепишем (3. !5) в следующем виде: (3.!5а) Матрицу [В,' — !1 назовем дополнительной матрицей. Так как она составлена с учетом двух уравнений равновесия в каждом из сй2 узлов, то в ией и строк. Для р усилий в элементах и ! Реакций опор вектор (Г') содержит (р+() компонент, а для статически неопределимой конструкции это число превосходит и.
Разность г= =(р+!) — а соответствует числу дополнительных сил. Основной задачей при выявлении дополнительных сил и (илн) кинематической неустойчивости является выделение г компонент вектора (Г'). Эти компоненты (Г') и есть дополнительные силы (силы, статически переопределяющие систему).
Далее выражаем оставшиеся ста- 3.3. Метод конгрузнтных лреобразоеаний е жесткостноы анализе зуется к виду Ге (!1С„С,1 'Г' =б, Р (3.15Ь) (Г') = — (С,1(Р) — (С.1 (Г" ». (3.! ) откуда Наконец, преобразуем это выражение таким образом, чтобы получить (Г') в левой части равенства ((Г')= ) Г' Г' ) т) (Г') = (В 1(Р) +[В 1(Г') (3.!бсср) где Фт! ~ ~ Фт3 Относительно изложенной процедуры сначала заметим, что соответствующие (Г") столбцы матрицы не обязательно должны быть первыми и столбцами исходной матрицы (В,:— П. Поэтому выявление дополнительных сил можно осуществить при достаточно произвольном начальном выборе столбцов матрицы. Желательно до нормализации главного диагонального элемента отыскать столбец с «наилучшим» значением коэффициента в соответствующей строке. Найденный столбец следует поменять местами с вектором, занимающим исходный столбец, а затем выполнить нормализацию тически определимые силы (Г') через дополнительные силы (Г') и прикладываемые нагрузки (Р).
Это можно осуществить, применяя процедуру исключения Гаусса — Жордана. Применение процедуры исключения Гаусса — Жордана для матрицы (хз: — П заключается в следующем: 1. Все элементы первой строки дополнительной матрицы делятся на коэффициент, стоящий в первом столбце. !Если в первом столбце стоит нулевой элемент, то необходимо предварительно соответствующим образом поменять местами столбцы.) 2.
После деления каждый элемент первой строки умножается на коэффициент, стоящий в первом столбце второй строки, и полученные значения вычитаются из соответствующих элементов второй строки. В результате получим модифицированную вторую строку, у которой в первом столбце стоит нулевой элемент. Аналогичные операции проделываются со всеми остальными строками, что приводит к обнулению всех элементов, кроме первого, стоящих в первом столбце.
3. Операции, выполняемые на шагах! и 2, повторяют для второго столбца, добиваясь обнуления всех элементов столбца, кроме элемента, стоящего на главной диагонали матрицы, значение которого получается равным единице. Эту операцию повторяют для каждого из столбцов, образуя в итоге единичную !!! матрицу порядка пхп. В соответствии с изложенным выше уравнение (3.!5а) преобра- Э. Способы глобального анализа конструкций 36 и другие операции (шаг 2). Существует ряд соображений относительно критерия выбора «наилучшего» коэффициента в строке. Простейшим из них является выбор столбца с наибольшим значением коэффициента.
Второе замечание, касающееся вышеизложенной процедуры, заключается в том, что кинематическая неустойчивость конечно-элелгентной модели вьзявляется по наличию нулевььх строк, причем их число соответствует числу степеней свободы укаэанной неустойчивости. С помощью процедуры исключения Гаусса — Жордана формируются диагональные матрицы. Напомним, что, согласно равд. 2.9, в матрице жесткости элемента можно выявить степени свободы, отвечающие движеншо тела как твердого целого, если преобразовать матрицу жесткости к диагональному виду и выделить ее нулевые диагональные элементы.
В настоящем рассмотрении ненулевые элементы диагональной матрицы состоят из коэффициентов всех независимых уравнений. На рис. 3.7 нллюстрируготся операции по определению кииематической неустойчивости простой фермовой конструкции с помощью вышеизложенной процедуры. Ру Чтобы упростить алгебраические выкладки, нз расчета исключаются опорные точки ! и 4, при атом уравнения равновесия в узлах 2 и 3 кмегот следующий внд (с«=со» ыз, з,=з!п грз и т. д.р Рл Рв Рс;Р м — ст сз О ~ ! — О )ΠΠ—, !1ΠΠ— з О ~0 ! ! Р„ Р„ Р„ О О О ~Р„, ~чРР.
ХРа, ! ! О О О 1 О О О ! Рнс. 3.7. Выявление кинематической неустойчивости с помощью процедуры ис- ключения Гаусса — Жордана в уравнениях равновесия для узлов. ву 3.3. Метод монгрузнтнмх преобразований е жестмостном аиалнае Нормализуя первую строку на элемент, стоящий в первом столбце (т. е. разделив элементы первой строки на — с,), получим 0 ~ — 1/сл 0 01 о 1, 0 0 ( 1 ст/ст — 55 зт 0 — ст , о 0 ! 0 0 Исключаем в первом столбце элемемт, стоящий во второй строке, умножая элемент в первой строке на 5, и складывая с элементом во второй строке. Кроме того, раз- делим образовавшиеся вторую и четвертую строки на зл, а третью — на с,: Г О, — 1/сл 0 0 О 1 0 ! — 1/с! 1/зл 0 0 ! ! 1 0 0 1/с, 0 0 ~ 0 0 0 1/5, Исключим элемент, стоящий на пересечении второй строки и второго столбца, складывая с четвертой и вычитая третью строку из второй.
Нормализуем на элемент, стоящий на пересечении четвертой строки н второго столбца (т. е. умно- жаем на — 5,/5,): Π— 1 ! — 1/с! 0 1/с О Г 1 — ' — 1/с, 1/5, — 1/с„ 0 1 — с,/с,,' 0 Π— 1/с, 0 0 ! 0 , '0 0 0 — 1/5, Исключим все остальные злененты во втором столбце, т. е. только элемент в треть- ей строке.
Для этого умиожим четвертую строку на — 1 и сложим с третьей стро- кой. Получим Г ! 0 — 1 1 — 1/ст 0 — !/сл О ! О 0 — ! ! —.!/с 0 0 — с/с( 0 т , О ! О 1 О 1/55 — 1/Сг 1/зл 0 — 1/с, 1/5, о о есечйннн т етьей с Нормализуем нз злемеит, стоящий на пер р троки н третьего столбца (т. е. помножим на с,/с,)г Г! 0 — 1',— !/сл 0 — !/сл 0 1 | — 11 — !/сл !/55 — !/сг !/эл 1 1 0 0 — 1/ст — ст/сл55 0~ 0 0 0 — 1/55 0 0 0 0 0 ! столбце, прибавдяя к соответствующилл стро- 0 — 2/сл 1/55 — 2/ст 0 — !/ст 0 0 Получена единичная матрица, отвечающая внутренним силам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
