Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 20
Текст из файла (страница 20)
За«мчание. Произведения коэффициентов при строках н столбцах на главных диагоналях (помечены символом ЭС) и на перееечениях !+) равны соответственно кнадратам и произведениям величин 1„ и 1„. сложения строк. Новая строка, стоящая на месте Рвг, также строится путем реализации операций, отвечающих уравнению (3.40). Перечисленные операции должны быть выполнены в каждом узле, где требуется провести преобразование системы координат.
3. Способы глобального анализа конструкций 102 Выражения для граничных условий в новых координатах можно включить в измененную глобальную матрицу жесткости (К). В данном подходе при подсчете внутренних сил необходимо сначала преобразовать вычисленные перемещения к глобальной системе координат, Альтернативным к вышеизложенному подходу служит подход, в котором элементы матриц жесткости и напряжений формируются непосредственно в терминах, соответствующих локальным системам координат. Это вносит определенные трудности при учете входных данных, так как условия закрепления задаются в узлах, а не на элементах; тем не менее процедура компактна и эффективна, Построение глобальной матрицы жесткости и другие операции осущесталяютсн обычным путем.
Однако требуются иные операции для включения всех указанных выше преооразований а узлах в единую глобальную матрицу преобразований, Этот подход алгоритьшчески прост, но оказывается эффективным лишь в том случае, когда в рассмотрение включено большое количество узлов всей конструкции. Подходом, устраняющим алгебраические трудности, возникающие во всех представленных методиках, является процедура введения специального граничного элемента, как указано справа иа рис.
3.15(а). Это специальный случай процедуры, определенной на рнс. 3.15(г(), где исключены степени свободы в направлении у". Литература 3.1. Веагиап Р„Котзап %, Н., Ноаг(1еу Р, О., Нас1|еП К. М, Согпри1ег Мейодз о1 51пк1ига1 Апа1увз.— Еп81етзоод СППз, ЬЬ Л л Ргеппсе-На!1, 1пс., 1970. 3.2.
Мееь Л. Ь. Ма1мх 5(гис1нга! Апа!увз.— Хезг Уог(г. К. У.. МсОгатз-Н!1! Воок Со., 1971. 3.3. цгапи С. К. Ма1пх А1ейоаз о| 5(гис1ига1 Апа|увз, 2па ед.— 5сгап1ои, Рал 1п|егпапопа| Тех|ьоо(с Со., 1970. знк Ъги1епи Х., Ьисаз цг. Ма1г|х Апа1увз |ог 5|гисйга| Епк|пеегз.— Епа!етгоод СП1(з, ЬЬ Л.: Ргеппсе-Наи, 1пс., 1968. 3.6.
Козе Ь. Л., огп!оиаЬЬу и. А, (сагал 5рагзема1мсез апа Тье1г Аррпсацопз.— Хетт Уог(г, (х. Уп Р1елигп Ргезз, 1972. 3.6. Рох К., 51ап1оп Е. !Лете1оргпеп(з |и 51гис1ига1 Апа!уьм Ьу Ечгес| Епегзу М|пнпцапоп.— А1АА Л., Липе 1968, 6, 14о. 6, р. 1036 — 1042. (Имеется перепоя: Ракетная техн. я космон.— М.: Мнр, 1968, № 6.1 3 7, Ецсьеп К. Е., цг1!зоп Е. 1.. Аррпса(1оп о| П|е Г|пце Е|егпеп1 Мейос| |о Неа1 Сопдисцоп Апа|увз.— Ыис.
Епи. Певал, 1966, 4, р. 276 — 286 3.8. Сапах!гег К. Н. Согпри1апопа1 Мейобз 1п Хис1еаг Кеас1ог 5|гисйга| Вез|си 1ог Н!8Ь-Тегнрега1пге АррПсацопз, Сьлр|ег 7. Тьеггпа| Апа1увь — Керог1 ОКМЬ-4756, Ли|у 1972. 39, Матса! Р. з|. !Плие Е|е|пеп1 Апа|уь!з тз1й Ма1ег|а| Мопппеаггпез — ТЬему апа Ргасцсе.— 1п: Р|п1|е Е|егпеп| Мейод |и Спи| Епхйеемпа, Л. МсСи|сьеоп, М. 5. М|гза, апа А. Мой|, (едз).— Моп|геа|, |ЛиеЬес: Мсб|П 1.1п|т., Липе 1972, р. 35 — 70. 103 Задачи 3.10.
Оайаййег К. Н, Оеове1г(са11у Ыоп!!пеаг Ьйийе Е!евеп1 Апа1уз!з.— 1и: Р!пйе Е!евеп1 Ме(пос1 !п СЬЛ! Епй!пеег)пи, Л. МсСн1сиеоп, М. 5, М1гха, апд А. МигИ (ебз.).— Моп1геа1, гЛцеЬес: МсСп11 Оп!ч., Липе !972, р. 3 — 34. 3.11. Каше) Н., 1.Ы !)., МсСаЬе М,, РЫ!Иророп!оз Ч. 5огпе Оече1орвепв !и 1Ье Апа!уяз о! Согпр1ех БЫр 51гпс(пгв.— 1п.
Адчапсез !п Соври(аИопа! Ме(иодз (и 51гцс1пга! МесЬап(сз апс3 Оещйп, Л, Т. Ос)еп, е1 а1. (ебз.).— А1ал ()п!ч. о1 А1аЬагпа Ргезз, 1972, р. 703 — 726. 3.12. гЧа)1оп Ж С., 5(еечез Е. С. А Ыетч Ма(г1х Тпеогегп апд 11з АррИса1юп (ог Ез(аЬИзй!пй !пберепбеп! Сооггйпа(в !ог Совр1ех Оупав(са) Зуз1евз чг!1Ь Сопл!та!и(з.— ЫА5А ТЕ К-326, Ос1. 1969. Задачи 3.1. Постройте матрицу жесткости для четырехсегментной балки, изображенной на рис. РЗ.1, используя прямой метод жесткости; Е(=20 !Оч кдюймз.
Рис. РЗ.! 3.2. Постройте матрицу жесткости в задаче 3.1, используя методику конгруэнтных преобразований. З.З, Сконденснруйте матрицу жесткости в задаче 3.! к размерности ЗХ 3, исключая угловые смещения. 3.4. Введите связь вз=в в уравнениях жесткости задачи 3.3 и постройте редуцированную матрицу жесткости. Сравните решения для ва прн ограничениях н без них, положив Р,=4600 фунтов (остальные силы равны нулю).
3.5. Вычислите йапряжения в элементах и узловые смещения для конструкции, изображенной на рнс. Р3.5 (размеры ланы в дюймах), используя прямой метод жесткости. Проведите вычяслепня з той последовательности. которая указана ЗОл !и.50К Рис. РЗ.З. (Линейные размеры да- ны в дюймах.) в равд. 3.2. Матрица жесткости для треугольного элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии, приведена на рис. 5.4; Е=10' фунт/дюйма! )с=0 3! Аг-а=Аз-а=Аз я 1.0 дюйма, 3.
Способы глобального анализа конструкций 104 3.6. Исследуйте изображенную иа рис, Р3.6 конструкцию, используя последовательность действий, оговоренных в задаче 3.5. (Разделите, как указано, прямоугольный элемент на два треугольных элемента.) Е=)0' фунт!дюйма, Р=.О.З. 3 Рнс. Р3.6. (Линейные размеры даны в дюймах, площадь А — в квадратных дюймах.) 1500 Руэпэй 16 3.7. Вычислите смещение изображенной на рис. Р3.7 точки А в направлении к, используя прямой метод перемещений, Е=10т фунттдюймз, р=0.3. Разделите, как указано, лист материала иа четыре прямоугольных элемента.
Матрица жесткости для прямоугольного пластинчатого эчемента приведена иа рис. 9.13. Учтите симметрию относительно оси к. 60000 РуиагаУ =1.0 Рис. Р3.7. (Линейные размеры даны в дюймах, площадь А — в квадратных дюй- мах,) 3.8. Матрица жесткости для изображенной на рис. Р3.3 (линейные размеры даны в дюймах, площадь — в квадратных дюймах) конструкции задана в осях системы Рис. Р3.8. 103 Задачи х — у. Постройте матрицу жесткости в терминах Р», Ра и Р „, хс а~ Р Р„ Р, 10.0 (Симметрично) 4.5 иг — 2,5 = 105 1.33 2.5 5.0 2.5 — 2.5 — 2.5 2.5 3.9. Исследуйте изображенную на рис. Р3.9 (размеры даны в дюймах) конструк- цию согласно методике, оговоренной в задаче 3,5. Трапецнезидиую пластину раз- бейте иа прямоугольные и треугольные пластивы.
Соответстзтющие матрицы жест- кости приведены на рис. 5.4 и 9.13; Е=20 10' фунт!дюйм, р=0.2. 10 100д Рис. Р3.9. (Линейные размеры даны в дюймах.) 3.10. Постройте необъединенную глобальную матрицу жесткости ! йе ! н гло. бальную кинематическую матрицу (А) для конструкции нз задачи 3,5. Вычислите на компьютере глобальную матрицу жесткости с помощью [А)т!'и ([А!. 3.11. Постройте необъединеиную глобальную матрицу ('йа ! и глобальную кинсматическую матрицу (А! для конструкции из задачи 3.6. Вычислите вручную нлн на компьютере глобальную матрицу жесткости с помощью преобразования (А)т! и )(А!. 3.12. Постройте необъединенную глобальную матрицу жесткости ( йе ) н кинемэтическую матрицу системы (А! для конструкции нз задачи 3.7. Вычислите глобальную матрицу жесткости (Ц. 3.13. Обобщите утверждение (3.5), включив начальные смешения [й щп) в вектор перемещений и соответствующие силы (Р ! в вектор сил.
Начальные смещения ~а 11 п51 П54 Рнс. Р3.14. ~Линейные размеры даны в футах.) 106 3. Способы глобального анализа конструкцнй суть заданные величины, а соответствующие им силы неизвестны Обобщите процедуру решения, определенную в (3.5), чтобы учесть указанные условия. 3.14. Исследуйте кинематнческую устойчивость изображенной нз рнс. РЗ.)4 (разлтеры даны в фунтах) фермы с помощью процедуры исключения Гаусса— 7Кордана, примененной к трем уравнениям равновесия конструкции, т.
е. исключите узлы 5 — 9. 3.1$. Получите уравнения равновесия в матричной форме для изображенной на рнс. Р3.15 (размеры даны в дюймах) фермы н примените процедуру исключения Гаусса — Жордана для выявления дополнительных снл (все площади равны). Уз 90 60 Рнс. РЗ.15. (Линейные размеры даны в дюймах.) 3.16. Рассматривая элементы 2 — 3 и 3 — 4 как подконструкции для конструкции нз задачи 3.1, исключите шэ н Оз как внутренние степени свободы и постройте ыатрицу жесткостн конструкции относительно шз, Оь шз, О .
3.1?. Изображенные на рнс. Р3,17 элементы 1 — 2 н 2 — 3 ймеют только крутильную жесткость л=бУть. Вычислите углы эакруткн О н Овл обусловленные приложенными скручнвающнми моментамн Мк» и М„„. Рнс. РЗ.17 3.18. Предполагается, что уравнения связи в задаче с л степенями свободы имеют внд! Гт)(Ь)=(э), где (б) есть (гХл)-матрица. Разделите степени свободы на две гРУппы (Ьг),„и (А )т„„. ПостРойтт. матРицт пРеобРазованнй в виде (3.31) (учнтывая однако вектор (э)), Выпишите уравнения жесткости в редуцированной форме (т, е. уравнения жесткости в терминах (Ьа)). ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В этой главе получим основные дифференциальные соотношения линейной теории упругости.
Подробный вывод этих соотношений проводится в прямоугольной системе координат для двумерного случая. Этот случай в основном рассматривается в главах, в которых излагаются основы метода конечных элементов. Без вывода приведем также соотношения, которые обобщают результаты, полученные для двумерного случая, на трехмерные задачи. Обобщения на более частные случаи и системы координат отложим до глав, в которых рассматриваются соответствующие типы конечных элементов. Следует также заметить, что вывод указанных соотношений осу. ществляется простейшим способом о минимумом строгости. Данный подход соответствует уровню изложения„характерному для более ранних книг по теории упругости (4.1, 4.2! или сравнительно недавно вышедших курсов, которые можно назвать повышенными курсами сопротивления материалов (4.3, 4.4!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
