Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

В матричной форме это записывается в виде [пв [ 3. способы глобального анализа конструкций 96 Поэтому формулы преобразования имеют вид 1."М'] " а редуцированные уравнения жесткости переходят в уравнения — 1 2 1 ' (- з Р или 2я,из=Рз+Рз. Этот ответ согласуется с очевидным решением данной задачи. Ограничения преобразуют элемент В в жесткую связь между узлами 2 и 3, Поэтому приложенная нагрузка равна сумме усилий в этих узлах (Р,+Рз), а коэффициент при и, равен сумме жесткостей элементов А и С, которые по существу соединены в одном и том же узле.

! .ги 2 з 5 5 Рнс. 3 12. Следует отметить, что во многих случаях лишь часть из полного набора степеней свободы может фигурировать в уравнениях связи. На рис, 3.12, например, величины и, и и, не появляются в уравнениях связи только в том случае, когда и, й из взаимосвязаны. Предположим теперь, что полный набор степеней свободы можно представить как ( А ) = ( ( А, ( (.А, ) ( Аа ) з, где группы ( А,.) н ( А,)фигурируютвуравнениях связи, аналогичных (3.29), а набор ( А ( не фигурирует в них.

Тогда можно записать следующее преобразование степеней свободы: (3.32) где (з,) определяется согласно (3.31). Это преобразование можно применить непосредственно к глобальным уравнениям жесткости обычным образом. Если связи накладываются на относительно небольшое число степеней свободы, может оказаться более эффективным включение связей в глобальную матрицу жесткости на основе непосредственных выкладок по сравнению с использованием для этого матричного преобразования. Прямой метод аналогичен подходу, применяемому для специальной системы координат в п. 3.5.3, Вернемся теперь к схеме редуцированных подконструкцнй, в которой операции конденсации и наложения связей включены в 97 3.5, Специальные операции Рнс.

Зла. Схема анализа с помощью редупнронааных подконструкпна (А,), наложены связи, вид которых определяется степенями свободы (А,) (рис. 3.!3). Перемещения, отвечающие степеням свободы (А,), могут задаваться, например, в виде линейной, квадратичной илй другой, имеющей более высокий порядок функции. Разбивая матрицу жесткости подконструкции на клетки, получим [са„! [са,, [са, (з,зз) Определим также, аналогично (3.30), соотношения между (А,) и (А,), которые задают ограничения, т.

е. (А,)=[6„1 (А,). Вспоминаем далее, что, согласно равд. 2 8, искомая матрица преобразований строится в результате приравиивания нулю сил, соответствующих исключаемым степеням свободы. Поэтому, решая верхние уравнения относительно (Ан) при (гн)=0, получим (Аа) — [йак! '[![са 1(А )+[[ха,[ (А )1 (3 34) Подставляя в зту формулу выражение (3.30), приходим к уравнению (Аа) — [[сан[ '!1йаа1 [б„[+[[с„!! (А,). (3.33) Комбинируя соотношения (3.30), (3.35) и учитывая, что (А,)= [!1 (А,), запишем окончательно искомое преобразование в виде [йал) ' [[[садП~дЛ+ [[слЛ [0,,1 Щ (А, ) = [Г) (А,). (З.Зб) 4 ж азат единую матрицу преобразований, Предположим, что граничные ! узлы разделены на две группы.

Так же как и прежде, степени свободы (А,) приписываются соседним подконструкциям. На перемещения, отвечающие оставшимся граничным степеням свободы 3. Способы глобального анализа конструкций 98 Эти соотношения можно применить к уравнению (3.33) в виде преобразования, чтобы получить матрицу жесткости, относящуюся лишь к (Л,) и соответствующему редуцированному вектору сил.

Проиллюстрируем этот подход, обращаясь к рис. 3.14, где изображена конструкция, состоящая из четырех плоских прямоугольных элементов, каждый из которых построен в предположении о линейности смещений на границе элемента (подробности см. в гл. 9; а 3 ут а ь а.тн 5 Рнс. ЗЛ4. 1 1 0 0 0 0 0 0 ! 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ! 0 0 0 0 1 0 0 1 из ! 2 там же приведена матрица жесткости элемента).

Предположим, что на границе конструкции смещения изменяются по линейному закону. Тогда величины и„из, и„иа, о„о„п, и о, представляют степени свободы (сзс), а и„и„и„и„оат о„оз, оз — степени свободы (ц,). Внутренние степени свободы суть из и о,, поэтому (Л„)= = ( и, пт ), Ниже в соответствии с(3 30)для этой задачи построена матрица (б„1, остальные матрицы ([кза), Пс„,!, !йас)), которые необходимы для построения матрицы преобразования из (3.36), определяются с помощью матрицы жесткости всей конструкции. Интересно заметить, что матрица жесткости, получаемая в результате этого преобразования и имеющая отношение только к угловым узлам, идентична матрице, получаемой в том случае, когда вся область представляется в виде одного элемента с линейным законом изменения перемещений на контуре и с использованием матрицы жесткости элемента, приведенной на рис. 9.13.

ЗУЬ Специальные операции 3,3.3. Связанная система координат Иногда бывает необходимо записать часть глобальных уравнений в связанной системе координат, особенно в тех случаях, когда условия закрепления задаются вдоль направлений, отличных от направления осей глобальной системы координат, или когда оболочка рассчитывается с помощью плоских пластинчатых элементов. о, Зьо иг чоиилг пру (а) л (Ь) (с) Рис.

З.)5. Локальные координаты в конечно-элементном анализе. (а) Закрспление, ограничивающее вращение, и оси координат, (и) конечна-элементное представление оболочечной конструкции;(с) векторы моментов в глобальной системе координат; (д) векторы моментов в локальной системе координат. Типичная ситуация представлена иа рис. 3.15(а). Смещение точки г' описывается компонентами смещения и; и о; в глобальной системе.

Однако простое приравниваиие нулю одной или обеих компонент не будет правильно представлять связь, накладываемую условиями закрепления в направлении у". Связи можно задавать корректно, если выразить поведение точки ( в терминах компонент смещений иг и о',: в системе координат, помеченной двумя штрихами, после чего о; полагают равной нулю. еь 3. Способы глобального анализа конструкций На рис. 3.15(Ь) изображена оболочечная конструкция, которая моделируется в виде системы плоских пластинчатых конечных элементов. На рис.

3.!5(с) п(б) в векторном виде отражены условия равновесия для моментов в узле ( для сечения А — А. Из рнс. 3.15(с) следует, что в глобальной системе координат существенны составляющие векторов в обоих направлениях х и у. Однако, согласно рис. 3.!5(г!), на котором изображены векторы моментов тИ, в осях элементов, а также связанная система координат х" — у" (ось х" которой направлена по касательной к оболочке в точке 1), очевидно, что проекции векторов иа ось у"малы по сравнению с проекциями на ось к". Вообще говоря, в реальной конструкции составляющая вдоль оси ил равна нулю. указанная диспропорция компонент в ортогональных направлениях приводит к серьезным последствиям при решении глобальных уравнений.

Один из способов избавиться от этих последствий состоит втом, чтобы в каждом узле ввести связанную систему координат х" — у" и исключить малые составляющие вдоль оси у", как если бы это были закрепленные степени свободы. На примере задачи, представленной на рис. 3.15(а), опишем подробнее, каким образом преобразуется глобальная матрица жесткости, чтобы она соответствовала системе координат, связанной с узлами. Для заданных координат узлов 1 и !' направляющие косинусы осей системы координат х" — у" вычисляются в виде 1„= =(х; — х;)гЕ, 1, =(рг — у;)гЕ по отношению к осям системы координат х — у, где 1.=)у (х; — х,)з+(уг — у;)'. Теперь, используя полученные направляющие косинусы, проекции смешения и и о; можно выразить через проекции смещения и; и о, следующим образом (см.

разд. 2.7, где приведен указанный вид преобразования): и' =1„и; — 1„оо (3.37) (3. 38) Для глобальной матрицы жесткости это значит, что столбец исходной глобальной матрицы жесткости, умноженный наив следует умножить на 1„и вычесть из произведения 1„на столбец, умноженный на о;. Полученный вектор-столбец, соответствующий иь заменяет вектор-столбец, соответствующий иь Эта операция проиллюстрирована на рис.

3.16. Аналогичная операция, отвечающая (3.38) и заменяющая от иа ог, также представлена на рнс. 3.16. Силовые равенства (строки) в глобальных уравнениях жесткости преобразуются на базе аналогичных рассуждений. Так, согласно обычному преобразованию координат, имеем ~, =1„~, +1„~„, (3.39) ~„, = — 1„~, +1,~„. (3.40) 3.5. Специальные операции !О! Согласно этим уравнениям, новая строка, стоящая иа месте г"„ «|г строится путем умножения на 1„строки, соответству|ощей Р,„ и умножения на |в строки, соответствующей г',, и последующего Рнс.

3.!6. Модифицированная |лобальная матрица жесткости (а1 Исходная гло. бальная матрица жесткости; (Ь) модифицированная глобальная матрица жесткости. Строкадля г«',.' получена суммированием умноженной на 1„строки для Р„ и умноженной на | строки лля г ар строка для си," получена с) ммированием умноженной на — !в строки для г«1 и умвожевной на |„строки для г чг; столбец лля и| получен суммированием умноженного на |„столбца для и| и умноженного на 1„ столбца для оп столбец аля и" получен суммированием умноженного на — 1„ столбца для и| и умножение| о нв 1„столбца для о|.

Характеристики

Список файлов книги