Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Кинематические условия записываются только через кинематические переменные (перемещення или деформации). Для единственности решения необходимо связать статические и кинематические переменные. Это осуществляется с помощью введения определяющих соотношений. Выведем сначала дифференциальные уравнения равновесия, так как подход, использующий при построении конечно-элементной модели метод жесткостей (или метод перемещений), одновременно может служить подходом, позволяющим получить приближенное решение этих уравнений.
Для простоты исключим из рассмотрения объемные силы и начальные деформации (Х=)т=О, (е1нп)=0), Вывод искомых уравнений заключается в построении соотношений, связывающих напряжения с перемещениями, с последующей подстановкой этих соотношений в дифференциальные уравнения равновесия. Например, подставляя соотношения, связывающие деформации с перемещениями, в уравнение состояния для о„, получим Е ди рЕ й~ о = — — + —,—.
(4. 16) 1 — рвдх 1 — ряду ' Лналогичные операции нужно провести также для о„и т,„. Далее, подставляя полученные соотношения в дифференциальные уравнения равновесия (уравнения (4.2а) и (4,2Ь)), имеем Если можно найти отвечающие кинематическим граничным условиям непрерывные однозначные поля перемещений, которые удовлетворяют вышеприведенным соотношениям и соответствующим граничным условиям, то будет найдено искомое точное решение. Это и есть теорема единстеенности. 120 4.
Основные соотноивенив теории упругости Рассмотрим, например, квадратичные поля перемещений в пло. ском случае и =а, +авх+аву+авхв+.а,ув-+а,ху, о = а, + авх+ а,у+ а„х' -1- а„у' -1- а„ху, где а„а„..., а„— константы. После подстановки в (4.17) получим 2Е ( 1 — р 1 Е 1 — в 1ав+ 2 ав ~ +2 — а„=0, — ав,+а„)1+ а„=0. Очевидно, представленное поле перемещений не отвечает точному решению задачи упругости при произвольном выборе констант ан Однако при а,=а,в=0 решение можно представить в виде ука- эанного поля, если а= — — а и а = — — а. (1+и) (1+и) в 4 вв тт 4 в' В зто соотношение входят три неизвестные величины (о„, о, т„„~, С помощью определенной в равд. 4.1 выражениями (4.6) вруякт(йи Эри Ф преобразуем это уравнение таким образом, чтобы в него входила только одна неизвестная величина.
Подставляя указанные выражения в (4.18), приходим к уравнению двФ двФ д'Ф дхв дх' дат дув — +2 — + — =0 или у в е в()) — ~() в гр — 0 (4.19) где дв д' ув + дхв дув (4,20) Эти условия все же не дают гарантии того, что данные поля перемещений являются соответствующим решением задачи. Для и и о должны быть выполнены граничные условия на перемещения, а поле напряжений, выраженное через и и о (полученное путем дифференцирования этих компонент, согласно связи деформаций с перемещениями и подстановки в зависимость напряжений), должно удовлетворять граничным условиям для напряжений. Перейдем к формулировке определяющих соотношений, соответствующих условию совместности.
Основным дифференциальным уравнением совместности для плоского случая является уравнение (4.8). Подставляя в него определяющие выражения для деформаций через напряжения, согласно (4.11), получим дв т„ д, ( „— )во„)+ х, (о„— )во„)=2(!+)в)д — "". (4.18) 121 4.6. Заннючнтапьныа замечания Оператор уз — лапласиан или еармонический оператор, а уравнение (4.!9) — бигармоничесное уравнение. Рассуждения, касающиеся условий выбора полей перемещений, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, в той же мере применимы и в данном случае. Функция напряжений по определению удовлетворяет уравнениям равновесия.
Однако выражения, выбранные в качестве функции напряжений, вполне могут не удовлетворять уравнению (4.!9), которое задает условие совместности. В этом случае выбранные выражения будут лишь приближением к точному решению задачи. Точное же решение должно удовлетворять как граничным условиям, так и уравнению (4. )9). 4.6. Заключительные замечания Представленная в разд. 4.5 теорема единственности в теории упругости формально утверждает, что если вместе с объемными силами заданы либо поверхностные сильк либо перемещения на поверхности тела, тол теле существует только одно поле напряжений, или перемещений.
Решение, удовлетворяющее всем условиям равновесия и совместности внутри тела и на его границе, единственно. Для того чтобы эти условия выполнялись, зависимость деформаций от напряжений должна соответствовать линейно-упругому телу; условия равновесия записываются без учета деформаций, и проводимые рассмотрения ограничиваются рамками теории малых деформаций. В гл. !3, например, изучаются вопросы упругой неустойчивости, которая характеризуется наличием смежных и, следовательно, неединственных форм равновесия.
Эти формы выявляются при учете влияния деформации на условия равновесия. Знание теоремы единственности важно исследователю, использующему метод конечных элементов. Если бы конечно-элементная модель отвечала всем условиям равновесия н совместности, то точное решение было бы найдено и никакое дальнейшее измельчение сетки не привело бы к улучшению ответа. Однако все исследователи, конечно, допускают, что для процедуры численного решения, на какой бы основе она ни строилась — представление в рядах, конечно-разностная, конечно-элементная — измельчение сетки приводит к улучшеншо решения. Это обстоятельство ясно показывает, что для любого доступного численного метода полученное с его помощью точное решение не будет удовлетворять либо всем, либо какому-то основному условию. Метод конечных элементов не обладает по сравнению с другими численными методами особыми недостатками, так как для него не выполняется лишь одно из условий равновесия или совместности.
Действительно, будет показано, что при некоторых конечно- !гг 4. Основные соотношения теории упругости элементных подходах все неприятности можно свести только к одной: к отсутствию выполнения условий равновесия, в то время как все условия непрерывности для перемещений окажутся выполненными. Для этих подходов можно доказать, что получаемые численные решения обладают таким свойством, как монотонная сходимость, и характеризуются тем, что некоторые параметры ре!пения, например энергия деформации или коэффициенты влияния, находятся по одну сторону от точных значений. Знание этих предельных значений может оказать неоценимую услугу при оценке точности решения.
Литература 4.1. Тппозьеп1го Я,, Ооой!ег 3, ТЬеогу о1 Е1азцсиу, 2пб еб.— Хеяч Уогк, Х. Ул МсОгачч-Н!П Воо[г Со,, 1951. [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория >пругости.— Мл Наука, 1979, 560 с.] 4.2. >Чапа С. Т. Арр!!еб Е[азнспу.— Хечг уог1г, Х. Ул Мсбгаяч-Н1!1 Воо[г Со., 1953. 4.3. Обеп 3. Т. Месиап!сз о[ Е!юис 51гпс!пгея,— Хечч Уог[г, Х. Ул МсОгавг-Н[П Воок Со., 1967, 4.4. >го[!егга Е., Оа!пез 3. Адчапсед 8!геня!и о1 Ма1еиаЬ.— Епа!еччоог[ СШЬ, Х.
3« Ргеп[!се-На!1, 1пс., 1971. 4.5. 5ойо1пгйон 1. 5. Ма[йеша!!са[ ТЬеогу о1 Е[аяцсиу, гпб ед.— Хе>ч Уог[г, Х. Уя МсОга>ч-Н!11 Воо1г Со., 1956. 4.6. Огееп А., сегпа йг. Тиеогенса! Е[азцсну, 2пд ед.— Хечг Уог[г, Х. Ул О«1огб 1.1пыегзцу Ргезз, 1968. 4.7. Новожилов В. В.
Теория упругости.— Лл Судпромгиз, !958. 4.8 Апопупюпя. 51гпс[пга! Оез!яп Оигбе 1ог Абчапсеб Сошром1е Арр1>санопз. гпб еб., 11. 5. А1г ровсе Л>а1ег[а1я Ьаьога1огу, йтг!851 Рацегзоп АРВ, Оиио, 1969. Задачи 4.!. Удовлетворяют ли следующие распределения напряжений условиям равновесия [объемные силы равны нулю)? Схематически укажите напряженное состоя- у,э Рнс. Р4.1. ние иа границе, согласующееся с ятями фуикциямн, для элемента, изображенного на рнс.
Р4.1. о,=а,+а,«, а„=аз+азу, ч = аз — азу — аз«. «в 12З Задачи Рнс. Р4.2. угольной системе координат. Выпишите определяющие дифференциальные уравнения равновесия с учетом тепловой деформации. ди и 1 ди 1 ди ди и з»= —, да 1 дт,з о,— ое 1 дое дт,з 2т,о дд д» 4.3. Сформулируйте линейные дифференциальные уравнения равновесия для трехмерной задачи теории упругости, учитывая сначала зависимость напряжения от трех координат, а затем исключив члены более высокого порядка малости. 4А. Используйте приведенную ниже функцию перемещений для построения матрицы жесткости, соответствующей изображенному на рис.
Р4.4 элементу в форме у,и 1 Рис. Р4.4. х,и 2 параллелограмма. Проверьте, удовлетворяет ли эта функция: (а) условиям равновесии внутри злемента, (Ь) условиям равновесия на границе элемента, (с) уочхм виям непрерывности между элементами. ха и =а,к+азу+аз (ху — у у»+аы Уз и=азх+азу+ах ~ху — — у +аз. хч Уз 4.4. Постройте матрицу связи напряжений с дефори [Е) для плоской дефорх»аяии оРтошРопноза матеРиала. В итоге она Должна свЯзывать а='С а ах т„и [ т се='Ь екгит„э 1т.
В этом слУчаеткк=тих=ох=б. УпРУгиемодУли сУть Е„, Ег„ 6 . Коэффициент Пуассона, отвечающйй деформации, направленной вдоль кэ. оси и, вызванной напряжением в направлении оси х, равен Р„„и т. д. 4.6. Проверке, выполняются ли лля элемента, изображенного нв рис. Р4.1, и длн приводимого ниже воля перемещений уравнения равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
