Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Миним м ногвнцивиьной внв гии 6.4.3. Примеры Интересно применить описанный выше подход для построения матрицы жесткости и других матриц для элементов, изученных в гл. 5. Для простоты при выборе подходящих полей перемещений в эле- Рнс. 6.6, менте используем выражения, которые записываются непосредственно в терминах узловых смещений элементов, а не обобщенных параметров.

Так, для рассмотренного в равд. 5.1 и 5.5 (см. рис. 6.6) стержневого элемента, согласно (5.3), имеем и=(1 — х/Е) иг+ +(хП.) иы поэтому ~(! .с) с ~ ! 1~ Подставляя указанные выражения в (6.12а) и (6.12е), получим матрицу жесткости [[с! и матрицу массы [гп[ элемента )[ [р[(! — ~) т[Аг*=рАс [ а если начальные деформации обусловлены термоупругнм расширением (еып=иь), нз (6.12Ь) имеем ' ! 1/Е! ( — 1! (Р'п~г) г1 ~ ~ ЕссТА г!х = АЕау г[ Кроме того, для распределенной вдоль стержня нагрузки д (1 фунт! дюйм) постоянной интенсивности имеем Х=д/А.

Из (6.12с) сле- дует, что [1 — х/Е „ь 1 174 6. Вериеционные методы построения конечных элементов Полученная матрица [И совпадает с матрицей, построенной с помощью прямого метода. Так как поле перемещений в элементе имеет простой вид, то пропорциональное задание узловых сил с помощью транспонирования матрицы, связывающей перемещения и деформации, и непосредственное задание сил в узлах приводят к идентичным результатам. Что касается термоупругих сил, то, как и следовало ожидать, компоненты вектора (гч"и) представляют силы, требуемые для компенсации перемещений элемента, вызванных приращением температуры Т. Кроме того, реализация распределенных нагрузок совпадает с той, которая получена в результате выполнения процедуры пропорционального распределения нагрузок по узлам. Рассмотрим треугольный элемент, изображенный на рис, 5.3. Согласно (5.21а), имеем ( 1ч ( = ( (хвув хув — хэу + хву) (хуэ — хву) (хву) )т ! х э а из (5.22) следует, что — у, у, 0 О 0 0 0 0 0 х, — х, — х, х, Матрица жесткости, полученная с использованием (Щ в выражении (6.12а) для виртуальной работы, совпадает с изображенной на рис.

5.4 из-за простого характера линейного поля, задаваемого с помощью ( й( ) . Построение матриц (гп) и (г'"и) оставляем читателю в качестве упражнения (см. задачи 6.4 и 6.7). Для плоского напряженного состояния распределенные нагрузки обычно прикладываются к краям конструкции, а не в виде нагрузок, распределенных по поверхности элемента.

Следовательно, для подсчета (г") имеет смысл рассмотреть вопросы, связанные с распределением нагрузок по поверхности всей конструкции. Целесообразно отложить обсуждение этих вопросов до гл. 9, где рассматриваются глобальные аспекты расчета задач плоского напряженного состояния. Как стержневой, так и треугольный элемент с линейным распределением перемещений дает неправильное представление об особенностях построения конечных элементов с использованием принципа минимума потенциальной энергии (или виртуальной работы). Это происходит из-за характера предполагаемых полей перемещений, которые соответствуют полям напряжений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия.

Например, для треугольного элемента оказывается, что дифференциальное уравнение равновесия дп„1дх+дт„„lду=О тождественно удовлетворяется, если в него подставить вйражение (5.7а) для напряжений 175 6.4. Минимум потеициапьиой энергии [а[=-[Е[ [[э[ (ст). Однако выбор кинематически допустимого поля перемещений обычно осушествляется без учета условий равновесия, и поэтому, вообще говоря, это поле не будет удовлетворять указанным условиям. Данное обстоятельство будет з дальнейшем проиллюстрировано при построении более сложных элементов.

4.4.4. Аппроксимация геометрических характеристик В равд. 3.4 было отмечено, что одним из преимуществ метода конечных элементов является возможность рассчитывать конструкции сложной геометрии. Следует, однако, отметить, что, как правило, реальную конфигурацию конструкции приходится при расчетах каким-либо образом аппроксимировать, а это служит дополнительным источником погрешностей. Хотя аппроксимации поведения (т. е.

перемещений) уделяется больше внимания, вопросы, связанные с аппроксимацией геометрии конструкций, имеют такое же, а подчас и более важное значение. В настоящее время известно, что вариациоиный подход дает возможность более точно аппроксимировать геометрию конструкции. При обсуждении указанного круга вопросов полезно делать различие между трехмерными конструкциями, пластинами и призматическими теламн. В случае трехмерных конструкций, как правило, имеют дело с криволинейными поверхностями, а для пластин и призматических элементов основными параметрами являются вариации толшин и площади. Некоторые основные рассмотрения аппроксимации последних приводятся в данной главе.

Вопросы аппроксимации геометрии трехмерных тел обсуждаются в последующих главах. Стержневой элемент с переменным поперечным сечением, изображенный на рис. 6.7, иллюстрирует основные факторы аппроксимации геометрии конусообразных призматических элементов и А (к) Рнс. З.т. Стержневой элемент с сужающимся переченным поперечным сечением.

пластин переменной толщины. Обычно при расчетах профилированные элементы аппроксимируются ступенчатым образом с использованием элементов постоянной толщины. Это — хорошая аппрок. симация, если берется достаточно большое количество элементов, однако вычисления показывают, что возникающая при такой ап- 176 6.

Вериеиионные методы построение конечнык элементое 0 = 2 ) ( — „) (А (х)|стх. Функция перемещения (5,5), использовавшаяся ранее для элемента пск.тояиного сечения, в нашем случае ие является точной, так как она приводит к условию постоянства деформаций, которое уже не выполняется вдоль оси элемента. Однако эта аппроксимация удобна и будет здесь использована, Для данного примера предположим, что А(х) (см. рис.

6.7) изменяется между точками ! и 2 линейно. Поэтому запишем где А, и А, — площади поперечного сечения в точках 1 и 2. Для указанных аппроксимаций перемещений и геометрических характе- ристик получим выражение для энергии деформации После интегрирования получим с7= ~ и,ит 1 [Ц 27. — ! где Путем сравнения можно построить следующую «точную» матрицу жесткости стержневого элемента с линейным изменением тол- щины проксимации ошибка может превосходить ошибку от аппроксимации полей перемещений.

Альтернативой ступенчатому представлению служит простая аппронсимация величины А (х) во всем конструктивном элементе либо на сегментах, разбивающих этот конструктивный элемент. Указанная аппроксимация необходима в силу следующего обстоятельства. Если требуется найти явный внд матрицы жесткости элемента, то, как легко видеть, никаким единым представлением А (х) нельзя задать точно все возможные формы конструкции.

Учитывая сказанное, запишем энергию деформации элемента в виде ь 6.4. Минимум иогвнцивиьной энвргии 177 Из сравнения представленных матриц жесткости видно, что для построения точной матрицы требуется вычислить значение логарифмической функции, Процедура построения профилированных балочных, пластинчатых и оболочечных элементов на основе простой аппроксимации их геометрии аналогична описанной выше процедуре для профнлированного стержневого элемента. Можно аппроксимировать геометрн. ческне характеристики, основываясь на функциях, аппроксимирующих перемещения для элементов постоянной толщины.

Этот подход называется изопараметричсским представлением, т. е. в этом случае одни и те же (изо-) параметры используются для аппроксимации перемещений и геометрии. Степень непрерывности полей перемещений при переходе от одного элемента к другому, заложенная в функциях формы, переносится и на геометрическое представление. Так, в рассматриваемом выше примере функция (площадь) непрерывна при переходе от одного элемента к другому.

Общая теория изопараметрического представления будет изложена в равд. 8.8. В практике проектирования не прижились даже столь простые способы аппроксимации профилированных стержневых и пластин. чатых элементов. Проектировщики предпочитают использовать сту. пенчатую аппроксимацию элементами постоянной толщины. Вообще говоря, имеющиеся в настоящее время вычислительные возможности позволяют достаточно точно аппроксимировать очертания подобного рода конструкций, используя большое число элементов. Поэтому подходы, использующие изопараметрическне представле. ния, еще не получили широкого распространения при расчетах профилированных элементов. Однако это не так в случае трехмерных тел, когда расчеты даже на относительно грубой сетке конечных элементов требуют очень больших вычислительных затрат. Альтернативой использования профилированных элементов является непосредственное численное интегрирование и подсчет интеграла энергии деформации.

При этом во всех точках численного интегрирования должны быть затабулированы значения геометрических характеристик, входящих в подынтегральное выражение, и, естественно, этот подход применим также для интегралов, возникающих в описанных выше процедурах (изопараметрическое представление). Действительно, получаемое, согласно изложенному в равд. 8.8 подходу, использующему изопараметрическое представление, подынтегральное выражение в интеграле энергии де формации обычно бывает слишком сложным и поэтому для его ин. тегрирования требуется привлекать численные методы.

Характеристики

Список файлов книги