Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Это можно показать и другим способом. Действительно, заметим, что в том случае, когда напряжения вначале определяются с помощью поля функции напряжения (см. (4.4) и (6.76)), то это поле содержит параметры ([Ц, которые, однако, пропадают после дифференцирования по формулам (4.4). Усилия на границе элемента Т можно легко выразить в терминах (6!), вычисляя вдоль границы величины, входящие в (6,77). Эта процедура входит и во второй гибридный энергетический метод и поэтому из (6,61) имеем Т=[Е[([)!). Окончательно заметим еще раз, что независимо задаваемые граничные перемещении н связаны с узловыми перемещениями с помощью соотношений (6.17): ц= =[И(Ь), Используя выражения (6,77), (6.61) и (6.17) для а, Т и и, запишем (6.68с) в дискретном виде: 6.7.
Гибридный метод допустимых напражений 6д4 — 6д5] Подставляя полученное выражение в (6.68п), окончательно имеем и, = — "-,"~ [й1(л), где" си=я'м- щ (6.79) 6.76Ь Пример Иллюстрируя этот подход на примере балочного элемента, заметим, что роль «поля напряжений» здесь играет распределение изгибающего момента %, а (7 = — „', (О)()Чх, (уу]=,— ', р1'[К1(х .
Так как изгибающий момент в нашем случае меняется линейно, имеем йй=] 1 х ) ~'~=(К)Щ. (ра! В соответствии с представленным иа рис. 6.14 распределением находим Мт=()ы — Ма=рг+(],7., Рг=])„Р,= — (],. Следовательно, 0 1 Т=( Р,М,Р,М, )т 1 Π— 1 где н= ( ю„й,нт, Оа ) ((г'1 — единичная матрица). Р р +рть ю Следует отметить, что ранг матрицы жесткости (к] будет неполным, если число параметров (А) превышает число членов фг) более, чем на число степе. ней свободы, отвечаиициа движению тела как твердого целого.
Формула (б.79) предполагает, что на соотношение раамерностей векторов не наклааываются ограниченна. 7 Ра та«т 194 б. Вериеционные методы построения нонечныя элементов Подставляя выписанные соотношения в соответствующее выражение для П,, получим 1 6(. 3(.э) 1~1 — зе1137э й7. ~ 1Л=1 1' Легко проверить, что обычное выражение для матрицы жесткости элемента можно получить, используя приведенные в (6.79) матрицы 1Н1 и [71. 6.8. Энергетический метод рейсснера и аньтернатианые фуницио наны 6.В.1. Основные нолоэяенил В гибридных методах, основанных на концепции мультиполей в принципах минимума модифицированной потенциальной и дополнительной энергии, внутри элемента используется одно поле, а на границах элемента — другое независимое поле или два независимых поля.
Можно, однако, использовать вариационный принцип, которому внутренне присуще понятие мультиполей. При этом подходе соответствующие поля перемещений и напряжений одновременно задаются для всего элемента. Применение метода Галеркина из равд. 5.5 к вспомогательным уравнениям упругости, а не к комбинации дифференциальных уравнений (равновесия или совместности) приводит к выражениям с одновременным участием двух полей. Ниже эта же формулировка рассматривается с других позиций, а именно: строится функционал, в который входят два поля, и доказывается, что уравнения Эйлера для этого функционала представляют собой соответствующие вспомогательные уравнения теории упругости. Так как вспомогательные уравнения можно записать различными путями, существует несколько функционалов, в которые входят два поля.
Здесь рассматривается функционал Рейсснера (Пя) [6.!61, которому в методе конечных элементов уделяется особое внимание. Этот функционал можно выписать, исходя из выражения для потенциальной энергии. Исключая снова из рассмотрения начальные деформации и объемные силы, заметим, что по определению уе+У= ') п.ет! (чо!) (6.
80) те! П =,) и ет((чо!) — (т', (6.80 а) нли то1 где дополнительная энергия деформации уе задается первым интегралом, входящим в правую часть выражения (6.68а). Под- й.а, Эиартитичвский метод Рвйссиери 195 ставляя полученную формулу в выражение (6.40) для Пр, получим функционал Рейсснера Па. Пя =,) п0Ле((чо!) — У'+1', (6.81) м где через 0Л обозначены производные от перемещений в формулах (4.7) для деформаций. Видно, что если независимо выбраны как поле перемещений, так и соответствующее поле напряжений, то в поверхностный интеграл (т входят как заданные граничные усилия, так и заданные граничные перемещения, т.
е. 'г'= — ~ Т нд5 — ~ Т (и — п)т(5, Я„ где ~и„~= Ц ~лги (-)1-1! ~сгпчн]. (тм сзи ~и„~=Ц~сГ~сг ю и с1, (.ты (6.83а) ' (6.83Ь) ~т~-/ 1 ~тт .тм) )з, !з. (6.83с) (6.836) а 1У1, 101, !Т.! и (г! — соответственно матрицы связи между напряжениями и узловыми силами, деформациями и узловыми пере- 7$ где 5„— участок границы, на котором заданы перемещения и.
Варьируя выражение (6.81) и интегрируя его по частям, можно показать, что уравнения Эйлера для функционала П„представляют собой уравнения равновесия (4.3) и дифференциальные соотношения, связывающие напряжения с перемещениями, т. е, уравнения, получаемые подстановкой соотношений между деформациями и перемещениями (4.7) в уравнения состояния (4.15). Обратное утверждение было доказано в равд. 5.5 методом взвешенных невязок. Дискретизнруя выписанные соотношения, чтобы использовать их при анализе методом конечных элементов, рассмотрим ниже только те поля, которые выражаются в терминах физических степеней свободы.
Так, записывая в дискретной форме выражения для и, е, Т и н и учитывая (6.71), (5.6с), (6,56) и (6.17), находим, что Па = (. Рг ! Фт.1 И) —,' Фтт1 (Рг! — ! б Л (Р)+ ! Рг Л Ю (6.81а) 6. Вариационные методы построения конечных «яамеитоа мещеннями, граничными усилиями и узловыми силами, граничными перемещениями и узловыми перемещениями. Варьируя выражение для Пя в виде (6.81а) как по (ГД, так и по (Ь), получим следующую смешанную матрицу связи между силами и перемещениями: (6.84) Матрица этого же вида была ранее выписана в равд, 2.3, н анало- гичное представление встречалось уже в (5.47).
б.ай. пример Для примера рассмотрим еще раз простой изгибаемый элемент, который изображен на рис. 6.15. Применяя указанный подход к элементу, полностью окруженному элементами того же типа, рт, ют ~2' 2 1 м„в, 4 м„в, с предполагаем, что выбранное поле перемещений позволяет удовлетворить соответствующим условиям непрерывности на границе элемента. Поэтому в (6.82) разность а — и равна нулю в подынтегральном выражении для интеграла по поверхности 3„, откуда следует, что поверхностные интегралы в (ав„) и (Ь)г равны нулю для дискретной формы записи функционала (см. (6.83а) и (6.830)). Для балочного элемента поле напряжений и есть момент Я, поле первмеитриий Ь вЂ” поперечные перемещения та, а поле дат(торятаиий — кривизна ит".
В нашем случае интеграл по поверхности За представляет собой сумму дискретных величин рттит+ртитт+ +М,О,+М,О,. Поэтому функционал Рейсснера можно записать как г чпт Пя = ') %та йх — — — йх — (г,тит+р,ит,+М,От+М,Оя). Е Выражение для кривизны было определено ранее. Из (5.16) имеем в" = ~ )ч" ) (Ь ), где ( Р(" ) —, ~3(2$ — !): — 3(2$ — !) ' — Е(3$ — 2) ' — Е(3$ — 1) ), (Ь)=-$ ыр,ти,О,О, )т и а х/Е. б.а. Энергетнческнй метод Рейсснере Поле моментов описывается линейной функцией".
19У %=[(1 $)$ [ М . Подставляя указанное выражение в Пя, получим и„= — г",',~* ~[(' ~) ~с — ц гас(~ [+ -[- [ М,М, ) ! ~[ й[" ~с[х[Л) — Ртигт — Р,иг,— М,О,— М,8,. г !(1 — й)! Проводя указанное интегрирование и варьируя Пя по М„М „ иг„1в„й, и О„имеем М, М, игт Иге 81 О, "Д 11,: 12 Мт~ М,) где ЬЕ! 1 2 ' с ттт Г ! —.! 8 Е Выписанная система уравнений может быть непосредственно использована при построении глобальной системы уравнений, включающих в качестве неизвестных как обе силовые характеристики (М,, М,), так и перемещения (те„р м Оь От).
В этом частном случае можно с помощью уравнения для элемента получить известную матрицу жесткости для этого элемента. С этой целью решаем вначале уравнения, записанные в верхней части полной системы: 1М [= — Ф! 'Ф„1[4), и подставляем полученные выражения в уравнения, записанные в нижней части Рт Р, -[и„Г[а„)-'[а„)[Л[= М М, Можно проверить, что [[с[=- — [!1„[ [Итт! т[йте[ — матрица жест- кости для балочного элемента. 19а 6. Вариечионные методы пост ниа ионечнем еаамеитое В работах 16А, 6.8, 6.17 — 6.!91 и др.
описаны более общие варнационные принципы, из которых вытекают принципы стационарности потенциальной и дополнительной энергии и функционала Рейсснера. Так, к одной из альтернативных формулировок можно прийти, если выразить из (6.80) величину Уе, подставить ее в (6.68) при одновременном учете граничных условий в виде (6.82).
Альтернативные формулировки элементов, вкладываемые в указанные более общие виды функционалов, в той или иной степени использовались в равд, 6.6 и 6.7. 6.9. Некоторые заключительные замечания В этой главе показано, что существует целый ряд независимых подходов к построению уравнений податливости, жесткости, а также смешанных уравнений для элемента. Эти альтернативные подходы вытекают в основном из принципов стационарности потенциальной и дополнительной энергии и смешанных энергетических принципов. Внутри каждого подхода также существуют различные формулировки, обусловленные предположениями о характере полей в совокупности со смягчением (релаксацией) определенных условий для основных типов энергетических принципов.
Хотя метод, основанный на принципе стационарности погпгнпиальной энергии (метод виртуальных перемещений), является преобладающим подходом при формулировке соотношений между силами и перемещениями для элемента, он все же не самый удобный. Во многих случаях на практике трудно выбрать поле внутри элемента, которое бы отвечало всем условиям согласованности при переходе через границу, которые вытекают из характера соединения соседних элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
