Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Представление функций формы в терминах полиномиальных рядов1 (а) билинейная интерполяция; ()7) биквадратная интерполяция; (с) полиномиаль ный базис для восьмиузлового прямоугольника; (б) полиномиальный базис с ли. нейным разложением по х и квадратичным разложением по у (шесть узлов). 244 а. Представление функций поведения элемента и его геометрии терполяции могут быть без труда определены согласно рис.
8.8(Ь). Это может быть выполнено и для представлений более высокого порядка при помощи соответствующих произведений. Из рассмотрения треугольника Паскаля становится очевидным, что двумерная лагранжева интерполяция содержит полную систему членов порядка л в полииол~иальном разложении и отдельные члены до порядка 2п. Линейная (первого порядка) интерполяция является полной относительно членов первого порядка (а,х, аэу) и неполной по отношению к членам второго порядка (так как члены с х' и у' 4 Рнс. 8.9. Неравномерная интерполяция вдоль направ- лений х и р. опущены, а имеется лишь член с произведением ху). Поскольку скорость сходимости определяется наивысшим порядком полного полинома (8.8), полное разложение в двумерном случае для прямоугольника применять неэффективно, Это одна из причин исключения определенных степеней свободы.
Наличие внутренних узлов, как, например, в биквадратном или других представлениях более высокого порядка, вообще говоря, создает неудобства при оперировании с данными, поэтому требуются функции, выраженные в терминах узлов, принадлежащих лишь сторонам и вершинам элементов. Простой способ дости>кения указанной цели иллюстрируется на рис. 8.9 и 8.8(т(). Изображенный на рис. 8.9 прямоугольный элемент содержит шесть узловых точек, расположенных так, чтобы в направлении х имелась возможность для линейной интерполяции, а в направлении у — для квадратичной, На рис.
8.8(т() изображены соответствующие члены полиномиального разложения. Очевидно, что в этом случае можно использовать лагранжеву интерполяцию и выразить поле перемещений непосредственно через функции формы. Используя схему из (8.18), получим линейные интерполяционные функции для ) Ь)4 ) и квадратичные интерполяционные функции для 1 Мч ) и, кроме того, матрицу Схема эрмитовой интерполяции распространяется на двумерный случай аналогично тому, как это делалось для лагранжевой интер- 8.4.
Прямоугольные элементы поляции. Соотношение (8.!8) н в этом случае рассматривается как основа подхода, однако здесь матрица И! должна содержать степени свободы, равные производным от трансляционных степеней Типичные еегеаена ЕаадОяат ао Ьсы Ьит, Ьсзт Рнс. 8.10. Бикубическав эрмитова полиномиальнаи интерполапин. свободы. Например, для пластины, изображенной на рис. 8.10, имеем (см.
рисунок, где обозначены соответствующие степени сво- боды) тогда ~ Мг ) =) Мтг М,г Ф,~Ф,~~, где Аг,г,..., А2, — эрмитовы функции формы в направлении х, определенные в самом конце п, 8.3.2. Аналогичным образом строится ) Х и1 а2х из У аа х г а5ху аа 1' ,г отт .3 аз хУ ..2 ашУ 3 ,и!1т У а12Х у и,зтг3 3, .2 г а,ет У а,эт."У 3 3 а16 т Рис. 8.11. Бикубическое полиномнальное разложение, Чтобы задать указанное выше соотношение для полиномиального разложения, необходимо лишь обратиться к рис. 8.11, согласно которому, как и предполагалось, исходя из матрицы И), в разло- ГД Дг, [и1 = Д, 1 Дг.
ДЬь Д$ Дггм Дчт Да Дч Дгп, Д$, Д$п, 3 246 В. Представление функций поведения влемеитв и его геометрии жение входит 15 членов. Данная функция формы изучается еще раз более подробно в равд. 12.2. В зависимости от задачи необходимо определить различное число узлов на каждой из четырех сторон или же иметь одинаковое число узлов на каждой стороне, но исключить внутренние узлы. сли можно в каждом из случаев выделить соответствующие члены полиномиального разложения, то легко построить преобразование от обобщенных параметров полиноыа (а) к узловым перемещениям (А), а затем с целью получения выражений в терминах последних разрешить эти соотношения (см.
(5.3а) — (5.5а)). Внутренние узлы можно исключить, задавая полную интерполяционную функцию, выписывая энергию деформации для элемента и «конденсируяв нежелательные степени свободы с помощью процедуры, описанной в равд. 2.8. Альтернативным подходом служит непосредственное построение функций формы с помощью методики, обсуждаемой в разя. 8.7. о.5. Треугеньные элементы В случае треугольных элементов процедуры интерполяции тесно связаны с понятием треугольных координат. Зги координаты помогают не только построить функции формы, которые непосредственно относятся к узловым, а ие к обобщенным степеням свободы, но также с их помощью регулярным способом обозначить узловые точки элемента. Другие преимущества использования треугольных координат становятся очевидными только после детальных рассмотрений.
3 Рис. В.!2. Треугольные координаты. Регулярный способ обозначения узлов в треугольных координатах может быть задан, как указано на рис. 8.12. В этом случае грани элемента определяются противолежащей вершиной. Например, грани ! противолежнт вершина 1. Исследуем сначала способы идентификации узла внутри треугольника. Если, как указано на рис. 8.12, 747 авв Треугольные элементы провести из данного узла внутри треугольника отрезки к его вершинам, то исходный треугольник разделится на три треугольника с плошадями А„А, и А „где нижние индексы соответствуют прилежашим граням.
Треугольные координаты Е,в(1=1, 2, 3) суть по определению отношение плошадей А, ко всей площади А, т. е. /.в=Аз/А /,з=А з/А, Ел=Аз/А (8.19) Кроме того, сумма указанных площадей А, равна А: А,+А,+А,= =А. Разделив обе части соотношения на А, получим /-в+1-в+1.з=1 (8.20) Очевидно, что, согласно п. 8.3.1, эти координаты являются естественными координатами треугольной области, Теперь треугольные координаты можно использовать для определения прямоугольных координат х и у изображенной на рис.
8.12 точки. Имеелв х=1вхв+1 вхв+1 вхз, у=/.тут+/.вув+/.зув, (8 21) уравнений: ! 1 1 1,, хв х, х, /.в Ув Ув Ув /в Обращая матрицу, получим Ц= — (Ь, +Ь, х+Ь, у) (1=1, 2, 3), (8.22) где Ь, =Ут„— У,+„Ьм=хз+,— х, „ Ь, = х,+; увез — х;+, у,+и ! (8.23) индекс 1 пробегает значения 1, 2, 3, и А = /з(хзрв+хвув+хвув — хзут — хзув — хтуз) Здесь А, согласно обозначению,— площадь треугольника. (8.24) Справедливость этого утверждения можно легко проверить. Действительно, предположим, что точку перемешают внутри треугольника до тех пор, пока она не совпадет с точкой !. Тогда А,=А, А,=А,=0 и /.4=1, /.з=1.в=0.
Следовательно, если х соответствует точке 1, то х=х,. Очевидно, что треугольные координаты полностью совпадают с функциями формы для простого треугольного элемента с тремя узлами. Геометрические характеристики элемента заданы с помощью координат вершин х и у. Чтобы выразить 1.„ Ев и /.в через эти данные, объединим (8.20) и (8.21) в следующую систему из трех ада 8. Представление инций поведения элемента и его геометрии Если сторона, соединяющая точки 1 н 2, расположена вдоль оси х и точка 1 помещена в начале координат (хт=ут=у,=О), то получим 1 (., = — (хвуэ — хув — хэу+ хэу), 1 (., = — (ху, — х,у), ха рэ Эти члены совпадают с функциями формы М„У„Ж„заданными посредством (5.21а) для идентично расположенного треугольного элемента постоянной деформации. Для того чтобы построить функции формы для элементов высокого порядка в треугольных координатах Л1, необходимо вначале определить способ задания и обозначения узлов указанных элементов, Эти рассуждения проиллюстрированы на рис.
8.13. Стороны о о Геена Грань Веашана о Вершан о (а) СЬ) Вед ..б (с) о Рис. 8.13. Нумерапня узлов сетки для треугольных координат. (а) Сетка в напран- лении 1; (Ь) сетка в направлении 2; (с) сетка в направлении 3; (д) обозначение ти- пичного узла ранг. обозначаются по противолежащей вершине, например сторона 1 лежит против вершины 1. Нормаль к стороне определяет соответствующее направление. Штриховые линии на рис. 8.13(а) делят расстояние между стороной 1 и узлом 1 на и равных сегментов в направлении 1. Каждая линия пронумерована цифрами от О до и, причем линия с номером О совпадает со стороной 1.
(Эти узлы не нумеру- ад. Треугольные элементы ются целыми числами от 1 до т+1, см. рис. 8.3(а), так как предыдущая нумерация более удобна. Аналогичный сдвиг при нумерации был проведен в одномерном случае на рис. 8.3(Ь).) На рисунке типичная линия разбиения обозначена символом р. Указанное разбиение приводит к появлению (т+1) узлов на сторонах 2 и 3 и, очевидно, создает предпосылки для построения поля перемеще- ооз ого озо гоо зоо Рнс.
8.14. Треугольники высокого порядка (а) Полный квадратичный полипом (щ=2); (Ь) полный кубический полипом (лт=з); (с) полный полипом четвертого порядка (т=л); (б) полный полипом пятого порядка (т=б). 1, 2, 3 — вершины, соответствующие треугольным координатам Вы (.„ьэ ний, основанного на полиномиальном представлении т-го порядка. Аналогичные построения можно провести для направлений 2 и 3, как показано на рис. 8.13(Ь) и (с), где типичные линии обозначены соответственно через д и г, На рис. 8.13(б) показан способ идентификации некоторого узла. Узел задается тремя цифрами р, д и г в соответствии с обозначением типичных линий в трех направлениях. Заметим, что сумма трех чисел (р+д+г) равна т.
Указанный способ идентификации точек иллюстрируется на рис. 8.14 для четырех видов разбиения треугольного элемента. Следует заметить, что узлы в вершинах также помечены цифрами 1, 2 и 3, соответствующими треугольным координатам. При задании функции перемещений в треугольном элементе для узловых перемещений принимается та же нумерация, что и для соответствующих узлов, т. е. ру. В соответствии с установившейся традицией разыскиваем функции перемещений для элемента в 250 а. Представление функций поведения элемента и его геометрии виде 1!з (гл+1! (/к+ а! (8.25) Так, при па=1 функция перемещений дается формулой я = %!аз л таз+ йгатаЛатз+ уаа!Лаз!, (8.25а) а для па=2, согласно рис. 8.14(а), га= гу ааагаааа+Мъацт!а+ ° + д!ааФ!а! (8.25 5) !'у'!((,,)= Ц ~ ' .~ ) для !'>11 =1 для 1=0 (8.
11) при а=р, д или г соответственно. В качестве примера рассмотрим построение функции формы Ф„,. Имеем т=р=2, д=г=О, поэтому 1),=На((.а)=1, М,= =Ма(5з)=1 и йт (Г ) (Зьт ~+~) к (агт а+~1 Г (2Г 1) а ! СЛЕдаВатЕЛЬНО, Маза=1.1(21.,— 1). НЕПОСрЕдетВЕННО уетаиаВЛИВается, что Маза=1.а(21.з — 1), Мааз=( з(Жз 1) Л1а11=41 зйз, У!!а= =41,,Ез И Фта,=41,11,! ИМЕЮтея СЛуЧаИ, КОГда жЕЛатЕЛЬНО ОПЕрнровать с обобщенныл!и, а не с узловыми степенями свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
