Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

циям и, следовательно, напряжениям, так что граничные условия в напряжениях могут быть заданы непосредственно, Недостатком является то обстоятельство, что для плоского напряженного состояния силовые характеристики в узлах, отвечающие степеням свободы в виде производных от перемещений, не наделены ясным физическим смыслом. 9.2.2. Воиросы выбора треугольной сетии Треугольный элемент завоевал популярность благодаря простоте задания постоянного значения деформации внутри элемента, а также в виду удобства описания геометрических характеристик сложных конструкций.

В то же время для сложных конструкций возникают определенные трудности при выборе подходящей сетки разбиения нз имеющегося разнообразия вариантов, В связи с выбором набора треугольных элементов следует прежде всего отметить отсутствие «геолтетрической пзотропиим Чтобы проиллюстрировать это утверждение, рассмотрим задачу анализа напряженного и деформированного состояния бруса, изображенного на рнс. 9.4. Наборы элементов, представленные соответственно на Рис. 9,4. Возишнныс варианты разбнсния зли рассматриваемзн залгии.

рис. 9.4(а) и ()з), хотя н содержат равное количество элементов одинаковой формы, приводят к различным численным решениям для перемещений и напряжений, Эти различия могут быть малы для густых сеток разбиения, используемых при практических расчетах, однако было бы желательно использовать все имеющиеся возможности, приводящие к исключению или уменьшению этих расхождений. Для настоящего случая изображенная на рис. 9.4(с) схема с очевидностью решает проблему. Однако для мног ~х реальных кон- 275 9.2. Треугольные плоско-напряженные элементы струкцнй получить решение не так просто н при расчетах след) ет учитывать некоторое несовершенство указанных разбиений.

Как видно нз предыдущего примера, геометрическую нзотропяю можно сохранить, если конструкция имеет прямоугольные очертання нлн содержит много прямоугольных областей. Преобладание на практике конструкций прямоугольного очертания приводит к использованию «элементов-кнрпнчнков>, когда проектнровщнк прнменяет прямоугольные элементы, состоящие в действнтельностн нз нескольких треугольных элементов. На рнс. 9.5 изображены два таких элемента, в каждом нз которых сохраняется геометрическая нзотропня.

1 2 1 2 (а) (Ы Рис. 9.5. Способы объединения треугольников при построении прямоугольника. Изображенный на рнс. 9.5(а) прямоугольный элемент построен нз четырех треугольных. Два треугольника, у которых толщина в два раза меньше толщины реальной пластины, соприкасаются вдоль диагонали, соеднняющей точки 1 н 3. На ннх лежит пара треугольников той же толщины, соприкасающихся вдоль диагонали, соединяющей точки 2 н 4. Можно также рассмотреть четыре треугольника, расположенных так, как показано на рнс, 9,5(Ь), с центральной точкой 5, которая исключается нз результирующей матрицы жесткости для прямоугольного элемента с помощью процесса конденсации, описанного в разд.

2.5. Одним нз неудобств рассмотренных выше схем является трудность интерпретации вычисленных напряженнй подходящим для процесса проектирования образом. Прн проектировании прямоугольных панелей требуется задание постоянных нлн линейных полей напряжений в элементе. Однако прн реалнзацнн схемы согласно рнс. 9.5(Ь) поле напряжений внутри прямоугольника опнсывается четырыгя различными значениями каждой компоненты напряжений.

Обычно для всего прямоугольннка этн значения усредняют. Проблема заключается в том, что четыре дискретных значения могут различаться существенно, вызывая сомнение в точносгн полученных средних величин. Теоретические исследования (9.7) скорости сходимостн численных решений к точным решениям определяющих днфференцналь- 27б 9. Плоско-нелрянсенное состояние ных уравнений (4.17) проводились для различных типов треугольных элементов. Изучавшиеся схемы изображены на рис. 9.6. Оказалась, что наибольшую скорость сходимости обеспечивает схема А. Однако для этой схемы расположения элементов возникает проблема обеспечения геометрической изотропии. Сетка равносторонних треугольников (схема Р) обеспечивает такую же скорость сходимости, как и схема Л. Более слабая сходимость выявлена для схем В и С. При использовании этих схем возникали ошибки, зависящие от рассматриваемого направления, которые можно скомпенсировать, комбинируя различные схемы, что обычно и делается при анализе.

Сетке А Сетта В Сетке С Сетка 27 Рис. 9,6. Рассматриваемые в 19.71 сетки. Другой практический вопрос, связанный с геометрией расположения элементов, основанных на допустимых полях перемещений, возникает при рассмотрении напряженного состояния на свободных краях.

Как ясно из рис, 5.3, напряжения в элементе с постоянным напряжением внутри него «выходят» за грани элемента. Поэтому свободное от напряжений состояние на границе конструкции является полностью приближенным, и шаг разбиения сетки в направлении нормали к такой границе должен быть достаточно мал, чтобы обеспечить малость напряжений на границе и переход к ббльшим значениям интенсивности указанных напряжений внутри конструкции.

Продолжая обсуждение вопросов применения рассмотренных выше схем для решения прикладных задач, необходимо заметить, что следует стремиться избегать вытянутых элементов. При удли- 277 эан 1реугольные плоско-напряженные элементы ненни жесткость треугольного элемента с постоянным значением деформации не стремится к жесткости стержневого элемента, и можно показать !9.8), что точность решения падает с увеличением удлинения элемента !отношения максимальных линейных размеров в двух направлениях), Следует стремиться использовать равносторонние элементы. В гл. 6 и 7 показано, что решение, доставляющее минимум потенциальной энергии, построенное на базе конечного числа степеней свободы, дает нижнюю границу точного значения энергии деформации. Поэтому для заданного числа степеней свободы требует- еемлгетеее. Рнс.

9.7. Конечно-элементное предстанление четвертой части диска, нагружен- ноге вдоль рллиуса. Используются олнавременно элементы высокого и низкого порядков с переходнымн элементами между ними Гиз )9.!О)) 11ерепечатывается с разрешения Сопле!! о1 !Ье !пз!Нппоп о1 Месйагйса! Епя)пеег«нз журнала Лош. па! о1 З!га!п Апа!уз!з. Замечание, Сетка состоит кз 21 СЗТ.элелгента, 14 ЫТ-элементов и 5 переходных элементов !заштрихованы).

ся так разместить узлы, чтобы достичь максимального значения энергии деформации. Теоретически возможно разместить узлы указанным образом в связи с общей процедурой анализа, при этом координаты х и у узловых точек рассматриваются как степени свободы и участвуют в определении экстремума функционала [9.9). Этот процесс должен, разумеется, осуществляться итерацнонньш образом и оказывается чрезмерно дорогостоящим при решении реальных задач. 278 9.

Плесна-напряженное состояние Исходя из практических условий, инженер должен оценить области с большим градиентом деформации и в этих областях, если используются обычные элементы, применять очень мелкие сетки, отвечающие простым элементам, либо применять элементы более высокого порядка. Если используется последний подход, необходимо построить переходные элементы от элементов высокого порядка в областях с резкими перепадами деформаций к более простым элементам в областях, где распределение деформаций по существу однородно или не столь важно для решения задачи.

Чтобы выполнить это, полезно использовать элементы высокого порядка с меньшим числом узловых точек на краях, соприкасаюшихся с более простым элементом !9.10!. Эта ситуация иллюстрируется на рис. 9.7 для классической задачи расчета кругового диска, на который действуют две диаметрально противоположные сосредоточенные силы. В разд. 8.7 показано, как построить поля перемещений в элементах с разным числом узлов на соответствующих сторонах. В точке приложения сосредоточенной силы или в вершине трещины, где напряжение в материале теоретически бесконечно ~сингулярность напряжений), а также в непосредственной близости от этих точек желательно учесть сингулярность при построении элементов В конце п.

9.3.3 мы снова вернемся к указанным построениям. эдаэ. Интерпретацна попей напреженнй Так как построения конечных элементов на базе перемещений проводятся при помощи принципа минимума потенциальной энергии, причем уравнения равновесия удовлетворяются лишь в среднем по элементу и в общем поточечные условия не выполняются ни внутри элемента, ни вдоль линий раздела элементов, следует пред.

положить, что возникнут трудности при интерпретации вычисленных напряжений. Прежде чем перечислить эти трудности, важно выяснить детали расчета напряжений в том случае, когда имеются начальные деформации, распределенные нагрузки и силы инерции. Напомним, что, согласно соотношению (5.7а) из равд. 5.1, поле напряжений в элементе о можно вычислить, зная вектор перемещений в элементе (А ) с помощью соотношений о=!Е! !О! (Ь)=13! (Л). Если имеется начальная деформация еы", то закон, связывающий деформации и напряжения, имеет вид о=!Е!е — !Е)вь", н, так как г=!!»! (Л), в этом случае получим о=!Е! !1У! Р) — !Е!а'Я"=!5!(4) — !Е)ве".

!5.751 Введение членов, учитываюших распределение нагрузки, выполняется не так просто. В равд. 6.1 было показано, что если имеется распределенная нагрузка Т, то понятие «энергетически эквивалентной» или «соответствуюшей» нагрузки приводит к следую- 229 9.2. Треугольные плоско-напряженные элементы щему виду уравнений жесткости для элемента (исключая другие ти- пы специальных сил): (6,16а) где (6.121) Тогда при указанных условиях не изменяется вид закона, связывающего напряжения и деформации а=(Е)е, и соотношение е=1Р] (2) ) также не меняется, поэтолту выражение а= — 18) (Л) можно использовать при подсчете напряжений, вызванных распределенными нагрузками. Рассмотрим наложенные вопросы для изображенного на рис.

Характеристики

Список файлов книги