Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 56
Текст из файла (страница 56)
6.7, заметим, что для построения матрицы жесткости необходимо знание трех основных матриц, а именно, матриц [Х[, [Е[ и [2'[. Согласно (6.77), матрица [Х[ содержит лишь коэффициенты уравнений для напряжений, поэтому имеем [ ! [)з ['3 ря рз )доо О О О ! х О О О О О 1 Ег1= (9.19) В рассматриваемом случае ([)у)= [ рт р [)зря[)з [т Матрица [1.1 задает распределение усилий на сторонах элемента, совместимых с полем напряжений в нем. Изображенное на рис. 9.14(а) напряженное состояние также задает значения граничных усилий Т,...
Т„,, и т. д, Например, Т„,,=1(рт+[3, у). Таким образом, можно выписать уравнение Т = [[.[ [[)у). (6. 61) где а коэффициенты для [1.1 задаются из (9.15). Для смещений на границе выбираются представления в виде линейных функций. Так, вдоль края 2 — 3 поле перемещений описывается функцией и =!! — — )и + — и. ух После того как функции указанного типа будут записаны для всех сторон, их можно объединить в виде 9. Плоско-напряженное состояние где ц=[ и, яо,,...о, [ [т, (9.21) а (и) и (9) определяются согласно (9.13Ь) и (9.13с). Образуем теперь, согласно данному в разд. 6.7 описанию гибридного метода, матрицу жесткости элемента [[[)=[с[т[Н[ 'я, где ]С-([]с]*[т]та~ (6.62) (3„— полная граница элемента) и [и]-[[[с]'[с]- ]с]с[ ц~.
[ то[ (6. 78) Оказывается, что матрица жесткости, полученная указанным выше способом, совпадает с изображенной на рис. 9.15 матрицей жесткости, выведенной с использованием поля перемещений (9.16). Поле перемещений (9.16) соответствует, разумеется, используемому выше полю напряжений. Однако существует одно различие, заключающееся в том, что полю перемещений в чисто жесткостной формулировке соответствуют нелинейном перемещения на краях, а для выписанной выше формулировки — только линейные смещения на краях. Это объясняется тем, что нелинейные компоненты смещения в чисто жесткостной формулировке (см. рис. 9.14(а)) направлены перпендикулярно действию сил, вызывающих указанные перемещения, и поэтому эти силы не производят работу. Тот факт, что в представленном примере матрицу жесткости можно построить с помощью обычных жесткостных формулировок, а не в результате гибридного анализа, не означает, что так можно поступить всегда в гибридных методах жесткости для плоско-напряженного состояния.
С использованием различных полей напряжений и перемещений можно построить практически безграничное число вариантов формулировок на базе гибридных методов жесткости. Гибридный метод жесткости полезен, по крайней мере, в двух случаях. Некоторые параметры перемещений, полученные указанным способом, лежат между верхней границей, определенной <равновесиой» формулировкой, и нижней границей, определенной «совместимой» формулировкой, если внутреннее поле напряжений соответствует первой, а перемещения на границе — последней [9.23[. Кроме того, можно ввести выражения, которые задают сингулярности в решениях для напряжений, как это случается в конструкциях у начала трещин [9.24[.
9.3. Г1рамоугольные элементы 299 ел.а. Сревненне чнсвенныа реэультетев На рис. 9.17 изображен график зависимости вычисленного значения смещения нонна балки илЕ1)Р от числа использованных при анализе степеней свободы для прямоугольных конечных элементов в задаче об изгибе нагруженной на свободном конце консольной балки (см.
п. 9.2А). Представлены результаты как для прямоуголь- 12 1О те й з 1ОО МО гОО Степана сттаааЬг 50 Рас. 9.17. Конечно-элементный анална консольной балки — прямоугольные эле- менты. ных элементов, построенных на базе перемец2ений, меняющихся по линейному закону вдоль границ элемента (матрица жесткости изображена на рис. 9.13), так и для элементов, основанных на поле перемещений (9.16) (матрица жесткости изображена на рис. 9.!5). Последние, как было показано, можно также интерпретировать как полученные на основе гибридных жесткостных формулировок или базирующихся на линейных перемещениях вдоль границы, отвечающих сдутым» модам, 9. Плоско-напряженное состоянна Результаты показывают, что использование формулировок на базе линейных смещений на границе (межэлементно совместимых) приводит к довольно медленной сходимости к эталонному решению То же самое справедливо и для треугольных элементов (см.
рнс. 9.1!), Напротив, использование формулировок с несовместимымн модами приводит к очень точным решениям в этой задаче Результаты для наименьшего числа степеней свободы ((60 степеней свободы) получены при измельчении сетки лишь в направлении оси к, т. е. при одном элементе по толщине балки. Поэтому формулировки для плоско-напряженных задач общего вида можно использовать в представлении частных случаев изгиба, где обычно требуется выполнение гипотезы плоских сечений (плоские сечения до деформации остаются плоскими после нее).
Для задач изгиба балок не часто требуется строить элементы, отличающиеся от простейшего изгиб- ного элемента, однако в гл. !О будет показано, что концепция несовместимых мод, являющаяся альтернативной в смысле интегрирования энергии деформации элемента на грубых сетках, весьма полезна при использовании трехмерных элементов теории упругости для анализа пластин и оболочек. Литература 9,1. Оипьаш !( 5., Р!в1ег К 5 А Гш~ве Е1етпеп1 Арр!тсаноп о1 йе Нен|пяег— йе1мпег уапа1юпа! ТЬеогетп.— Ргос о1 йе 5есопб Соп!егепсе оп Ма1пх Ме(ьобв ш 51гис(ига! Месьаптсз, АРГОСА Тк 68-160, р 471 — 487.
9.2 Ребегвоп Р. 5отпе Ргорег1»ев о! 1лпеаг 51гатп Тгтапя!ев апб Ор1ипа! Гтпт!е Е!етпеп1 Мобе!в — 1п1. 1 Хиш. Мей Епд, 1973, 7, р 4!5 — 430 9 3. ВгеЬЬта С, Соппог 3 3 Гипбашепваи Ы Г!пце Е1ешеп1 Тесьшяиев — 1опбоп Ви((егвгог1Ьв РиЫтйетя, 1973. 9.4 Но1апб 1. ТЬе Гтпт1е Е1етепг Ме!Ьот! ш Р1апе 51геяв Апа1умв, СЬартег 2 о! »ТЬе Гтптве Е!етпеп1 Мейер |п 5(гезв Апа1умв», Но!апб апт1 Вен (ей).— ТгопбЬепп, Хогитау Тартг Ргевв, 1969 95.
ТосЬег 3 Ь, Наг!я В Я Нтхиег-Огбег Гшйе Е!ешеп1 !ог Р!апе 51гевя— Ргос А5СЕ, 3. Епх Месь 0п, Аих 1967, 93, Хо. ЕМ4, р. 149 — !74 9 б Но!апт! 1., Вегдап Р О 0»всиввтоп о!«Нтаьег-Огбег Гтптве Е1етпеп1!от Р1апе 5!гам».— Ргос. А5СЕ, 3 Епя МесЬ 0тш, Арг !968, 94, Хо ЕМ2, р 698— 702. 9 7. йга!х Я. Е., ГиИоп и. Е, Сугив Х. д, Ерртпи и Т. Ассигасу о! Гтптге Е!етпеп1 Арргохппа1юпв — ХА5А ТХ 0-6728, Маг 1970 9.8. Татя 1 С, Кегг !1. !. 5оше РгоЫешв ш 0твсге1е Е1ешеп1 йергевепва1юп о! АтгсгаИ 51гисвигев.— 1и Ма1пх Мейодв о1 51гис!ига( Апа!увм, В Ггаечв бе»геиЬеие (етЦ вЂ” Хетг уогЬ, Х У Тье Маем~Пап Со, !964, р. 282 — 284 9.9 Тигс1те О.
3, МсХе~се О. М. Оитбе1тпев !ог 5е!еснпк Гтпт(е Е1егиеп1 Огыя Вавеб оп ап Ор1тпиханоп ТЬеогу — !п1 3 Сотпр 51гис1, !974, 4 9.!О. МсХеюе О. М, Нипптве(1 5 Г М~хей0твр!асешеп! Гтшве-Е1ешеп1 Апа!умв иий Раг1»си1аг Арр(тса1юп (!втпя Р!апе 51гевв Тпапа!ев.— 3 51гаш Апа1умв, !972, 7, Хо 4, р 243 — 252 9.11 Тона Р Ехас1 5о!и(юпв о1 Сег(аш РгоЫегпв Ьу Гтш(е Е!ешеп! Ме!Ьой— А!АА 3, !969, 7, Хо 1, р !78 — 180 (Имеегса перевод Ракетная техн а космон — М.
Мир, 1969, № 1.! 9.12. Оиеп 3 Т, ВгаисЫт Н 3 Ои йе Са1сша1»оп о1 Сопмв1еп1 51гем 0м1пЬи. Задачи Вопя !п Г!иг(е Е(етеп! АрргохппаПопв.— !п1. Л. Мцш. Ме!Ь Епй., 1971, 3, р. 317 — 322. 9.13 Нгепп!Ьо!1 А Ргес!ыоп о( Ггппе Е!егпеп1 Мерйод !п Р(апе Ягезз.— РцЬ. (п(. Азаш Впбйе Ягцс! Епй., 1969, 29-11, р. 125 — 137 9.14 ТппозЬепйо Б.,Ооойег Л.Х.
ТЬеагу о1 Е1авЬсцу,2пб еб.— Хеяя Уогй, Х Ул Мсбгам-НП( Воой Со., р. 167 — 171, 1951 [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж Теория упругости.— М Наука, 1979, 560 с ) 9.!5 Ноо1еу ((. Г., Н!ЬЬег! Р Р. Воапб!пй Р(апе Ягезз Бо(ц1юпя Ьу Ггп!1е Е(ешеп(з.— Ргос АЗСЕ, Л. Ягцс1. Рп., ГеЬ. 1966, 92, Ыо.
8Т. 1, р 39 — 48. 9.16 Сатчрег О П. Чапа1юпа! Ргосебпгея апб Соптегнепсе о( Гшйе Е1егпеп1 Ме1Ьобв — (и; Ышпег!са! апб Сошрп(ег Ме1Ьобв !п Ягис(пга1 Месйап1сз, ЯЛ Гептея, е( а( (ейв.) — Ыет» Уогй, Н.У.; Асадеш1с Ргезя, 1973, р. 1 — 12. 9 !7 ОаПаййег ((. Н., РЬаПа А. К. Р(гес1 Г1ех!Ьйг(у-Г(пг(е Е!егпеп1 Е!аз1ор1аа. 1!с Апа!ув1я.— Ргос. о1 Г!гв( (п1егпа1 Соп! оп Ягцс1пга( Месйап~сз |и ((еас(ог Тесйпо1ойу, ВегПи, бер1 1971, 6, Раг1 М. 9.18 Ггаецв де УеаЬейе В.
()ррег аиб Ьотчег Воппбз (и Ма!Нх Ягпс(цга! Апа!ума.— 1и: Мв1пх Мерпобв а( 81гпс(цга! Апа(умв, В. Ггаег)в бе ЧепЬейе (ед.).— Нечг Уогй, Ы Ул ТЬе МасМ1Пап Со., 1964, р. 166 — 201. 9.19. Ве1у!ясЫсо Т., Нодйе Р. О. Р!апе Ягевв Ыгп!1 Апа(ув(в Ьу Г1ш(е Е(етеп(в.— Ргос А3СЕ, Л. Епй. МесЬ. Р|ч., Рес ! 970, 96, Хо ЕМб, р.
931 — 44.6 9.20 Тшпег М. Л., О1опйЬ ((. %, МагПп Н. С„Торр 1.. Л 5!П1пшз аиб Рейес(юп Апа!уюз о1 Сагир!ех 3(гцс(пгев.— Л. Аего бс1., Бер1 1956, 23, Ыо. 23, 9, р 805 — 824 9.21. (Ч1(яоп Е, 1, е1 а1. (псошра(гЫе Ргвр1асешеп( Мобе1в.— 1и: Ышпепса( апд Сашрп(ег Ме(йобв !п Ягос(пга( Месйапгсв, 5. Л. Гептез, е1 а1. (едв.) — Ыетя Уогй, Н У.
Асабеш(с Ргезв, 1973, р 43 — 57. 9 22. Р~ап Т Н. Н. РептаПоп о( Е!егпеп1 Б!~Плавя Ма(ггсез Ьу Аявшпеб Ягезз Р!в1пЬц1!опв.— А(АА Л., 1964, 2, р 1333 — 1335 [Имеется перевод Ракетная техн и космон.— М . Мир, !964.! 9 23 Р!ап Т. Н. Н„Топй Р~п Ваяв о1 Г1п1(е Е(ептеп! Мерйобя 1ог БоПб Сап(!- пца — 1и! Л. Хшп. Мерю Епй., 1969, 1, Ыо. 1, р. 3 — 28. 9 24. Тоий Р., Р1ап Т. Н. Н., зачту 5 Л. А НуЬгПРЕ1ешеп1 Арргоасй 1о Стас(г РгоЫегпя !п Р(апе Е(аяНсйу.— 1п1 Л.
Ышп. Мейп Епй., !973, 7, Ыо 3, р 297 — 308. Задачи 9.1. Используя гибридный метод жесткости, постройте матрицу жесткости для треугольного элемента с постоянным значением напряжений (см. рис. 5.4). 9.2. Постройте смешанную матрицу сил и перемещений для плоско-напряженного треугольного элемента с постоянным значением напряжений в элементе, используя вариационный принцип Рейсснера. Полученную матрицу преобразуйте в матрицу жесткости элемента аналогично тому, нак это делалось для балочного элемента из равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
