Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Эти вопросы интенсивно изучались в связи с задачами изгиба пластин, где нормальное смещение цг должно удовлетворять дифференциальному уравнению того же вида, что и функция Ф. Выбор представлений для поля данного типа осуществляется в гл. !2. Сводка решений прикладных задач для плоского напряженного состояния приводится в 19.!71.

В постановках задач о плоском напряженном состоянии с использованием понятия дополнительной энергии в качестве неизвестных в узлах могут приниматься также напряжения и другие силовые параметры. Некоторые авторы 1см., например, 19.!81) выбирали схемы этого типа для численной проверки верхней границы решения. При этом величины напряжений в треугольных элементах принимаются постоянными, а уравнения для элемента записываются с помощью матрицы жесткости, так что вся конструкция может быть рассчитана методом перемещений. Применение этой аналитической схемы наталкивается на трудности, обусловленные кинематической неустойчивостью 1см.

равд. 3.3). В случае плоского напряженного состояния подход, основанный на дополнительной энергии, оказывается полезным также для задач неупругого анализа. В расчетах поведение материала определяется в форме зависимости деформаций от напряжений, т. е. е=)Е! 'о, Поэтому для формулировок с потенциальной энергией требуется обращать это выражение, что может привести к трудностям при расчете задач с учетом временнйх зависимостей. При анализе предельных состояний 19.!91 использовались преимущества подхода на базе дополнительной энергии.

Гибридный метод напряжений при построении элементов требует знания модифицированных форм функционала дополнительной энергии. «Граничные» свойства здесь уже неприменимы, однако в то же время можно гарантировать, что решение будет находиться между границами, определяемыми решениями, полученными с помощью обычных энергетических принципов. Более того, используя данный подход, удобно представить сингулярности в напряжениях. Указанные вопросы обсуждаются далее в равд. 9.3.3, где на примере прямоугольных элементов иллюстрируется гибридный метод напряжений для плоского напряженного состояния.

10 Х, збау Э, Плоско-напряженное состояние Наконец, заметим, что для плоского напряженного состояния формулировки на основе функционала энергии Рейсснера обладают теми же преимуществами и недостатками, что и формулировки на основе дополнительной работы. В )9.1) даются примеры применения подхода с использованием функционала энергии Рейсснера для треугольных элементов. 9.3. Прямоугольные элементы Э.ЗЛ.

Представления перемещений Даже для прямоугольного элемента простейшего вида, имеющего узлы лишь в четырех угловых точках (рис. 9.! 2), можно сформулировать несколько альтернативных видов матриц жесткости. Число независимых параметров в представлении основного деформиро- тя глм пз д~ф Рнс. йдй. Прямоугольный плоско-напряженный элемент.

Типичные узловые силы н перемещения. ванного состояния равно полному числу обобщенных координат, аа исключением числа координат, отвечающих движению тела как твердого целого. В данном случае имеется восемь обобщенных координат (перемещения и и о в четырех вершинах прямоугольника) и три моды движения тела как твердого целого. Поэтому полное число параметров, используемых для задания деформированного состояния, равно пяти.

За вычетом трех параметров, предназначенных для удовлетворения условиям постоянства деформаций, имеется возможность выбора двух дополнительных параметров. В этом разделе рассзютрим два способа их задания. Выписывая подробно первую матрицу жесткости для прямоугольного элемента, выберем поля перемещений и и и, которые изменяются линейно вдоль сторон элемента. Условие межэлементной непрерывности перемещений будет выполнено, если можно полностью представить такими элементами плоскую конструкцию или если данный элемент соединяется с СЯТ-треугольными элеменгамн. В равд.

8.4 было показано, что выбираемые поля перемеще- 9.3, Прлмоуэольныо элементы ний и= [ [! ) (и) и о= [ Й ((ч) задаются двухточечной интерполяционной функцией Лагранжа, где $=х/х„э[=у/уэ, ! И (=! (! — Е!(1 — ~)1~(1 „~:Е.[!(1 Р„(, (9.!за) (и) = [ и, и, иэ и, (', (9.13Ь) (ч)= [ о,о,о,о, ) (9.!Зс) Используя уравнения, связывающие перемещения и деформации, получим матрицу 101 из (9.6) п. 9.2.1, коэффициенты которой равны ди! ! д — „! = — „,[.— (1 — [)!(1 — Ч)!Ч.:— ЧЗ вЂ” г[=-~ — (1 — $) — $ $,:;(1 — в) ).

д[Ч! ! ду ![э (9.!4) где (и) и (ч) в правой части с[ютношеиий (9.б) задаются с помощью (9.13!э, с). Имея !Р) и зная для конкретного типа материала (изотропного, ортотропного н т. д.) матрицу (Е!, получим из выражения (9.7) матрицу жесткости в виде [э[ (![о! [э[[о! ~эл~. (л Для изотропного материала окончательный вид матрицы жесткости в рассматриваемом случае приводится на рис. 9.!3.

Интересно изучить основные свойства этой формулировки. Выбранное поле перемещений всюду (внутри элемента и прн переходе через границы элементов) непрерывно. Что можно сказать об условиях равновесия? Подставляя выражения для и и о, получим следующие остаточные члены: для уравнения равновесия в направлении оси х: Е „, „,„„, [оэ — оэ+оэ-оэ1 [Оь для уравнения равновесия в направлении оси у. Е Видно, что если перемещения задают равномерное расширение (и,=и„и,=и,, о,=о,, о,=о,), выписанные выражения обращаются в нуль и имеет место равновесие. Тем самым иевязки в выполнении условий равновесия пропорциональны сдвиговым деформациям. Сдвиговые напряжения меняются линейно внутри элемента.

Нормальные напряжения постоянны вдоль направлений их действия, но меняются по линейному закону вдоль перпендикулярных направлений. Представленный на рис. 9.12 элемент является базисным элементом в семействе лагранжевь[х плоско-напряженных прямоуголь- 292 Р. Плоско-нал юкенное состолнне \с х х З 43 о. е х н х 3 х х х о $ х о х о х и 3 х о т х В й О о х Д о. х Я-В-=, й н т- т- $ зц т т". ат 9. Плоско-ниллиженное сестренке и и и и". и и г". и О й 3 о И о 6 о Я Ы Я о о о й З М 295 9.3.

Прямоугольные элементы новесия (4.2) выражения (9.15), убеждаемся, что это — равновесное поле напряжений. Чтобы построить матрицу жесткости, рассмотрим функции перемещений и и о, соответствующие соотношениям (9.!5). Это можно сделать, выражая деформации через напряжения с помощью уравнений состояния в виде е=!Е! "тп и затем интегрируя уравнения, связывающие деформации и перемещения. Таким образом, получаем и = (1 — й) (! — т)) и, + $ (1 — т() и, + $ г!и, + (1 — $) т1и, + + ()т (ь Р)+~ ( ~ т) )1 (пт пэ+пэ пя) (9 16) и = (1 — ь) (1 — т1) пт -1- ь (1 — т!) и, + ьт(оэ + (1 — $) т1п, + + — ~' — ' Я вЂ” Р)+(т" — '(т) — т1э)~ (и, — ия+ г,— и,). На рис.

9.14(Ь) показано поле смещения в элементе для единичного значения и, н при подавленных остальных степенях свободы, Заметим, что перемещение и линейно, а перемещение о меняется по квадратичному закону вдоль сторон, лежащих в перпендикулярном направлении. Так как для определения компоненты смещения на каждой стороне имеется лишь два угловых смещения, приходим к выводу, что поле перемещений этого элемента не удовлетворяет требованиям, обеспечивающим межэлементную непрерывность перемещений. Используя функции перемещений (9.16), соотношения между деформациями и перемещениями (4.7) и формулы для жесткости элемента (9.7), получим матрицу жесткости элемента, представленную на рис.

9.15. 9.3.2. Несовместные моды !9.2т! Как показано на рис. 9.1! из п. 9.2.4, основанные на линейных полях перемещений лтатрицы жесткости треугольного элемента не обеспечивают достаточной точности при анализе изгиба балки. Поэтому можно ожидать, что матрицы жесткости прямоугольного элемента также не обеспечивают удовлетворительной точности при решении этой задачи. В п. 9.3.4 этот факт будет выявлен в результате численного эксперимента.

Причину появления невязок можно выяснить, изучая простой прямоугольный элемент в состоянии чистого изгиба (рис. 9.16 (а)). В этом случае точные распределения смещений (рис. 9.16 (Ь)) даются формулами и=Стху, п=ЧтСт(а' — х'), (9.17а, Ь) где С, и а — константы. Подставляя данные выражения в соотношение, связывающее сдвиговые деформации и перемещения у„„= = ди/ду+до/дх, можно проверить, чго условие равенства нулю сдви- 9,3.

Прямоугольные элементы 297 смещению рассматриваемого типа. Те же смещения получаются из (9.16) и очевидно, что они имеют вид «дутых» мод, введенных в проводившихся рассмотрениях. 9.2.2. атормулнроакн на база гнбрндното метода налрлгкенна [9.22! В случае плоского напряженного состояния прямоугольные элементы позволяют пояснить применение гибридного метода напряжений, имеющего более самостоятельное значение, нежели приведенный в равд. 6,7 пример. Для плоского напряженного состояния полем напряжений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия, является поле, определяемое с помощью (9.15) и изображенное на рис. 9.14(Ь). Используя обозначения из разд.

Характеристики

Список файлов книги