Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Хотя физические условия, связанные с разрушением конструкции, включают аспекты нелинейной теории потери устойчивости наряду с вопросами неупругого деформирования, линейная теория устойчивости точно записывает условия разрушения, представляющие интерес при проектировании большого числа конструктивных элементов, особенно балок и пластин. Таким образом, линейная теория устойчивости упругих тел служит основой для постановки большого числа прикладных задач проектирования. Даже если для точного расчета величины разрушающих нагрузок необходимо учитывать нелинейные эффекты, адекватное качественное решение часто получается на базе линейной теории. Метод конечных элементов играет важную роль при решении задач линейной теории устойчивости, потому что с его помощью можно учесть нерегулярности нагружения и геометрии конструкции, которые не поддаются учету в классических методах.
При использовании классических методов для анализа конструкций, созданных из материаласанизотропнымисвойствами, встречаются те же трудности. Кроме того, концепции и конечно-элементные соотношения, соответствующие линейной теории, служат базой для построения нелинейной теории устойчивости. Как и в других разделах теории метода конечных элементов, изучение устойчивости упругих тел состоит из двух этапов: (1) формулироцки соотношений для элемента и (2) решения полной системы.
В гл. Ъ и 6 показано, что существует много путей построения конеч- 13. Анализ устойчивости упоугиз геч но-элементных соотношений и достаточное число способов реализации указанных операций. Ниже рассмотрим лишь принцип стационарности потенциальной энергии, в качестве предполагаемых полей рассматриваются поля перемещений, а соотншпения для элемента, отвечающие указанному подходу, имеют вид уравнений жесткости. Следовательно, изучение всей конструкции осуществляется с использованием уравнений жесткости посредством метода перемещений.
Высокая универсальность и гибкость вычислительных программ конечно-элементного анализа жесткости, написанных для анализа задач статики, позволяет применять эти программы с небольшими изменениями и для анализа линейной теории устойчивости упругих тел, Общая теория конечно-элементного анализа устойчивости упругих систем приводится в равд.
13.1. Далее следуют разделы, в которых излагаются вопросы, в основном касающиеся призматических и пластинчатых элементов. 13.1. Общая линейная теория анализа устойчивости Сначала рассмотрим призматический элемент постоянного сечения (рис. 13.1), который часто встречается в пространственных фермовых конструкциях и в качестве ребра жесткости в подкрепленных н Дй 8111 Р ргт1 Рмс 13.1. Призматический элемент.
пластинах и оболочках. Этот элемент позволяет проиллюстрировать формулировки жесткостных свойств конечного элемента в задачах линейной теории устойчивости и в то же время дает возможность вникнуть в ключевые аспекты, присущие всем конструктивным формам. Предполагается, что элемент работает только на растяжение и изгиб, деформацией сдвига пренебрегаем. Поэтому имеем следующее уравнение, связывающее деформацию и перемещения: 113.1) Здесь первый и второй члены — известные компоненты осевой и изгибной деформации соответственно, а третий член, который является 13.1.
Общая линейная теория анализа устойчиаости нелинейным по пт, представляет собой связанную деформацию изгиба и растяжения. Появление этого члена поясняется на рис,13,2, где изображен элементарный отрезок длины в деформированном состоянии. Длину Их после деформации можно представить в виде Тх = ~ 1 + ( — „Л т1 . Разлагая это выражение в ряд, имеем тТх = ~1+ —, ( — „) +... ~ т1х. Этот ряд обрезается после второго члена, который равен третьему члену из выражения (13.1) и характеризует вклад указанного эффекта в полную осевую деформацию. тгх Ненпгруженнпе ппетпаннае хи~ Де~рарнпрпйаннее еппптаннпе Рис. 13.2.
Вна смещения. Энергия деформации для элемента дается выражением 0'= 2 ') Ее*„т)(уо!) (13,2) ча1 и после подстановки выражения (13.1) в (13.2) (причем с((уо1)ея =т1Адх) получим (те Д ~~ и) 1 гз ("~) 1 (~) 2г (~~)(~'" ) СА — (Я) (ф) + ® (~) 1 Е 1А а . (13.3) Затем выполним интегрирование по толщине элемента, учитывая, что ~т(А=А, ~гт1А=О, ) гзЛА=!, (13.4) А А А 13. Анализ устойчивости упругиз тел 396 при г, отсчитываемом от срединной линии. Имеем следующее выра- жение: (те= ~ ~ [А ( ~ ) + т (=.е ) + А ( д ) ( ) + 4 ( ) ~ Еттх. (13.5) Е„= ЕА — „ (13.6) где величина Еи положительна при растяжении.
Поэтому выраже- ние (13.5) приводится к виду (/'= 2 Я~ЕА ~ ~) +Е! ( ~ з ) +Рх(д ) ] с(х. (13.7) Таким образом, выражение для энергии деформации приводится к форме, в которой энергии осевой и изгибной деформации не связаны друг с другом, т. е.
це ц )це (13.8) где (у') = а ЕУ ~ „а ) + Р„ай с(х. т (13.9) (13,10) Здесь энергия У, относится к осевым деформациям, реализованным перед наступлением выпучивания. Можно теперь сосредоточить внимание на случае изгибной деформации, предполагая, что решение для осевой силы находится независимо, согласно принципу минимума потенциальной энергии. Используя концепции гл. б, можно выписать уравнение Эйлера для функционала (13.!О) в виде Пем йттв Е),~ха ~» ихт (13. 11) Это хорошо известное уравнение, описывающее выпучивание балки.
Далее, чтобы преобразовать выписанные выражения в соотношения линейной теории устойчивости, опустим член более высокого порядка (А/4)(с(1айх)е и заметим, что при предположении о возможности независимого анализа напряженного состояния до наступления выпучивания осевая сила Ез связана с осевой деформацией линейным соотношением 39З 13. Анепиз устойчивости упругих тел ди д'в ! /дв1з в = — — г — -4-— дх дх' + г 1 дх / до д'в ! / гез 1з е = — — г — + —, у ду дуз 2 1, ду ) ди до Озв сйз дв у = — + — — 2г — + — —. "и ду дх дхдо дх а~! ' (13. 18) Проводя выкладки, полностью аналогичные приведенным выше, по- лучим расширенный функционал энергии изгибных деформаций для нзотропных пластин /' = З 3 ~( дхз + д з ) + 2р д з д з + 2 !1 — !А) (д д ) ~ т'А+ А + о ) ох/ ( д ) ггА+ ~ ') оу/ ( ! ) т!А + А А + 3 к~у( ( дх ) ( д ) с(А, (13.19) где 1 — толщина пластины, а о„1, о„1 и т„„1 — интенсивности усилий в срединной плоскости (мембранйые усйлия), т.
е. силы на единицу длины. х,и Рис. 1З.З. Напряжении, действующие в срединной плоскости пластины при из- гибе Функциональное представление поперечных смещений можно опять записать в виде ш= ( М ) (Ь/), При подстановке функции перемещений в (13.19) получим А1 (М+ —, Р<з.1 Ю+ +,'" (йг 1(б/)+,'" [йг )(б/)т (13.29) При изгибе тонких пластин соотношения связи между перемещениями и деформациями, соответствующие (13.1), имеют внд (рис. 1З.З) 13.2. Глобальная формули овна где 1'к)1 — обычная матрица изгибной жесткости и (13.21) (13. 22) Для (й 1 и (йв 1 справедливы выражения, аналогичные (!3.21).
в вяд Если ввести [й Д=~(М „1+(й, 1+1й 11, (13.23) то (13.20) примет тот же вид, что и (13.13). Интересно отметить, что члены, описывающие эффекты потери устойчивости, имеют геометрическую природу и не зависят от свойств материала. Следовательно, способ учета этих эффектов одинаков как для изотропных, так и для ортотропных пластин; т, е. В 1 не зависит от степени анизотропии пластин.
13.2. Глобальная формулировка Потенциальная энергия для системы получается простым суммированием потенциальных энергий отдельных элементов. Поэтому глобальная потенциальная энергия имеет тот же вид, что и энергия элементов, т. е, р =Х~р= (. Ку ( (Др)+ 2 [КвД(Др)+Р, (13.24) 1 лу 1 (ду) где в данном случае (К,!=Ей,), (Кв)=(Хйв). (13,24а, Ь) Здесь суммирование производится по всем элементам системы. Векторы (Д~) и (Р) суть перемещения и приложенные нагрузки соответственно.
Заметим, что (Р) соответствует нагрузкам, связанным с изгибом. Здесь опущены нижние индексы Г', так как они уже использовались для обозначения сил, связанных со свободно перемещающимися узлами. Здесь необходимо подчеркнуть, что в задаче имеются силы (Р,), связанные с деформированием в осевом направ. ленин, которые, однако, не входят в (Р). Считаем, что нагрузки консервативны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
