Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Более того, оказывается, что не существует «представительного» поперечного сечения элемента. Трудно, а подчас и невозможно сформулировать точную матрицу жесткости для элемента с переменным поперечным сечением. С другой стороны, можно использовать принцип минимума потенциальной энергии при формулировке приближенного суживающегося элемента, задавая при этом геометрические характеристики, точно (как это сделано в равд.
6.4 и 7.2) нли близко аппроксимируя форму суживающегося элемента и выбирая то представление перемещений, которое использовалось для элемента с постоянным поперечным сечением. При применении этого подхода, сохраняющего непрерывность геометрических характеристик в узлах, получаются решения высокой точности, представленные на рис. 13.6 пунктирной линией. Пожалуй, наиболее важным заключением, вытекающим из проведенных рассмотрений, является то, что следует уделять большее внимание представлению геометрических характеристик по сравнению с выбором предполагаемых функций перемещений.
13.3.3. Изгнбно-крутнлвнвв лотерв устойчивости Если призматический конструктивный элемент является частью пространственной стержневой системы, он, вообще говоря, подвергается изгибу в двух плоскостях, крученяю вокруг своей оси и действию осевых нагрузок. Взаимодействие этих компонент порождает более сложные моды упругой потери устойчивости, нежели простые моды выпучнвания, описанные в предыдущих разделах.
Обобщение на этот случай осуществляется стандартйымп методамп, не выходящими за рамки проведенных рассмотрений, и детально описывается в П3.4!. Чтобы проиллюстрировать используемые при этом операции, рассмотрим один из аспектов общего случая — условие изгибно-крутильной формы потери устойчивости. Призматический элемент, используемый при рассмотрениях, изображен на рис. !3.7.
Предполагается, что для определения состояния элемента при изгибе и осевом деформпровании в плоскости у — г до наступления выпучпвания проводится независимый анализ. Таким образом, известны относительные амплитуды моментов на концах М„ и М„, перерезывающие силы в граничных точках Р.е Е, и осевая нагрузка Рз.
Рассматриваемая форма потери устойчивости включает кручение вокруг осн у и изгиб в плоскости х — у. Чтобы учесть депланацию, необходимо включить в качестве меры смещения производную от угла закрутки 0„ по координате у, которую обозначим через 0;,. Таким образом, для каждого конца элемента в качестве степеней свободы принимаются 0„, 0„', и и 13. Аиепиз стойчиеости упругих теп и'(=г/иЯу) с соответствующими силовыми параметрами, обозначенными через М„, М„„, Ех и М,. При выписайных условиях для изгибно-крутильной формы потери устойчивости в (13.4) показано, что соответствующее выражение для потенциальной энергии имеет вид 1 ГГ Ра/л Пр —— — ) ~ Е/, (и")х+ 6/ (О„')'+ ЕГ (О„)' — — А (О„')' — Еа (и')'+ +(Ее д+ Е, (Š— у)+ 31„— М„) О„и" ~с(у— 2 — ~ (М„,О„+М„„,О;+Е,,дт+М...'), (13.31) т=3 где штрихами обозначены производные по осевой координате у, 6 — модуль сднига, / — жесткость кручения по Сен-Венану, /р — полярный момент инерции, à — константа депланации, а велйчины Л, /, определены ранее; М„, =̄— М„.
Мхе~ «г„г а', кт ~2 '"и е 'те г «Ьгаг, . Рис. 13.7. Призматический элемент лля анализа изгнано.крутильной формы потери устойчивости Каждая из величин, характеризующих перемещения и и Ое, должна удовлетворять двум граничным условиям в каждом узле. Первое условие накладывается на сами переменные ио Оа., а второе — на их первые производные ич О„'. Этот тип условий встречался при простом изгибе. Поэтому в данном случае можно использовать представление функций в том же виде, как и для простого изгиба. Имеем и =( (и ~(л,), (13.32) О,=-( й(>(Л, ), (13.33) 407 ° з =З -)е мо 1З,З. Призмвтический злемеит о о х о о о о Ь о х М и зд 13. Анализ устойчивости упругих тел где ( й) ! — вектор функций формы из (5.14а) н (Лв! = — ! и,и и,'и', (Л„)= ! 8, В„Е;В; )т, (!3.34) (13,33) Подставив зти выражения в (13.31) и проведя интегрирование с применением принципа стационарностн потенциальной энергии, 6 Чосоо олег хозгода Рис.
1З.З. Характеристики скодимости метода: изгибная (1), крутнльная 12) н поперечная )З) формы потери устойчивости. где в данном случае (р) = Е р„, м, м„м„, р„,м„м, м„„, ) '. Основная Псу! н геометрическая матрицы жесткости для зтого случая изображены на рис. 13.8. Чтобы проиллюстрировать точность формулировки, рассмотрим задачу о поперечной неустойчивости свободно опертой балки, концы которой не могут проворачиваться (рис. 13.9) при действии на т, е. дифференцирования по каждой степени свободы в узле, приходим к уравнению жесткости того же вида, что н в предыдущих разделах данной главы: (Г)=Пй,)+(йаП(Ь), 13.3. Призматический элемент нее в этих точках одинаковых моментов Мз = — М„,=М„. Все остальные узловые параметры перемещений (и„и„й„, О, ) равны нулю.
Применяя эти условия к уравнениям жесткости, представленным на рис. 13.8, получим 2Е!з — М Е ст =О, Е М (~~ и( + ~ЕТ ) откуда имеем 3 -/ Г4, ЕГ !ат М„= — У (Е),)(а/) ( 3 ' б — „1 В этом случае точное решение равно Если крутильная жесткость по Сен-Венану мала по сравнению с депланационной мсесткостью (т. е. И((ЕГ), ошибка достигает примерно 20%; если справедливо обратное, то для прямоугольного сечения ошибка приблизительно равна !0%. На рис. 13.9 представлены данные по сходнмости решений в случае крутильной и поперечной форм потери устойчивости, получен- ' ные с помощью выписанных формулировок, Для сравнения приведены результаты для ранее рассмотренного случая изгибной формы потери устойчивости, Во всех трех случаях при двухэлементной идеализации ошибка составляет менее 1%.
1З.З.З. Устойчивость стержневых систем Анализ устойчивости стержневых систем представляет собой более сложную задачу, нежели одномерный (например, для балки) анализ устойчивости, так как распределение осевых нагрузок, вообще говоря, зависит от связанного изгнбного и осевого деформирований конструкции. Поэтому задача устойчивости не может быть сформулирована независимо от анализа осевого дефорчирования конструкции, что делает проблему нелинейной. Пропллюстрируем это утверждение на простол1 примере. На рис.
!3.!О изображен узел 1 с силами (и перемещениями), прикладываемыми к элементу и отнесенными к локальной (для элемента) системе координат. Эти величины помечены штрихами. Для каждого элемента поэтому в линейном анализе устойчивости имеем 410 13 Анализ устойчивости упругих тел где делается различие между матрицами ()с,) и ()4,1, характеризую.
шими осевое и изгибное деформирования, а штрихи обозначают, ч о эти матрицы относятся к осям, связанным с элементом После перехода к глобальным (без штрихов) координатам и и гп соотношение между матрицами запишется в следующем виде Г, = ' уу -1- ' 1,' ту (1337) Видно, что описание осевого и изгибного поведения является связанным, и члены, отвечающие линейной теории устойчивости, уже не отмечаются нижним индексом Это условие сохраняется после того, как все элементы объединяются при построении уравнений Ю,а 'плг и (Ь) Рис. 13.10 Стержневой элемент — узловые силы (а) Локальные коор- динаты, (Ь) глобальные координаты для всей конструкции Таким образом, коэффициенты геометрической матрицы жесткости зависят от изгибного поведения конструкции н не могут быть определены независимо.
(Ь) Рис 1а 11. ПримеР простой рамы длв анализа потери устойчивости (а) рама, (Ь) конечно злеиентное представление Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, рассмотрим раму, изображенную на рис 13 11(а) На рис 13!1(Ь) показана конечно- элементная идеализация этой рамы Только точка 2 может перемещаться, поэтому уравнение жесткости необходимо выписать лишь 133 Привмвтичесиий ввемеит 411 для этой точки.
С учетом базисных уравнений жесткости для по- перечного и продольного нагружения искомые выражения примут вид Е! Е! 5 ЕА ЕА 12 — ш — 6 — О+ — — ' ш — — 'О, П Е1 5 Е~ Ет Г~ 2 12 6 7 2 16 АЕ в АŠ— Р = — и, 2 т 5 2 Е7 Е1 Ет — 6 —, ш, + 4 — Π— 2ат+ — ЕРА О РА М,А = Заметим, что оси элементов соответствуют глобальным осям коор- динат, поэтому штрихи, отличающие координатные системы, писать не нужно. После объединения элементов результирующие соотно- шения между силами и перемещениями запишутся в форме — 12 — (Симметрично) АЕ Е( 52 О'! — +12 —, Е1 — б— 8— — б 2 ЕА 6 Š— — (Симметрично) 5 Ет 6 ЕА Ев !О 1О (РА ) РВ) нли в суммарном виде с Р„ =[1(Л1 .) )-[К,)1 Изучение этих уравнений показывает, что силы Р," и Р,", которые входят в матрицу (К 1, являются функциями от перемещений и„ шт и О Поэтому непосредственное решение этой системы невозможно, и необходимо применить итерационную процедуру, описываемую ниже.
13 Анапиз устойчивости упругиа теп 412 Сначала необходимо положить нулю члены матрицы (К«1 и найти перемещения. Имеем ве( (т (Ч') Ет бЕ( (Симметрично) (Р» ! ,!г) 0Е( (Чг)т (». где Ч' =(АЕЛ.+12ЕИ а), Это решение для и„п(, и 0 можно подставить в уравнение для элементов и получить решение для Р," и Р„" на первой итерации Последние можно использовать в матрице (К«1 и получить улучшенное решение для и„ц(т и О. Итерации повторяются до тех пор, пока ие будет получено сходящееся решение. Р =1000 фу»лтаа Рис. 13.12. Рассчитываемая рама— изменяемый угол в заделке Поучительно сравнить решение, полученное на первой итерации при применении данного подхода, с решением, полученным при независимом определении осевых нагрузок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
