Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В последнем подходе Р,= 1000 фунтов, Р,=М,=О, Р,"=О, Рв= 1000 фунтов. С другой стороны, используя выписанные выше уравнения для первой итерации в случае Е= !2 дюймов и прямоугольного поперечного сечения 1Х! дюйм', получим Р»в=995.7. Отличие приведенного выше решения от решения, в котором не учитывается взаимодействие осевых и изгибных деформаций, в этом случае невелико (примерно 0 5%).
Однако для более детального изучевия был проведен ряд расчетов для изображенной на рис. 13.12 конструкции с теми же характеристиками поперечного сечения и при различных значениях «пологости» или углового параметра тр. В табл. !3 1 приведены результаты, характеризаующие увеличение точности (в процентах) в определении величин Р„=Ел, обусловленное учетом взаимодействия осевого и поперечного деформирования 13.4. Эпементы дпя пластин 413 Таблица 13.1 >>в~иб бев учета осевых сив Р =1Р>У> в>ПЕ Ивгмб о учет осевых сив >а в Рвввичие в и р !градусы> 45 30 !5 5 702.2 980.0 !75!.0 3008.0 707,0 ! 01Х>. О !932.0 5737,0 0.8 2.0 8.9 47,5 по сравнению с упрощенным подходом. Очевидно, что взаимодействие изгибного и осевого деформирования 1!ожет, вообще говоря, существенно влиять на потерю устойчивости упругих тел.
Влиянием прогибов на распределение осевых нагрузок обычно пренебрегают в так называемом классическом подходе к линейному анализу устойчивости. В этом случае вначале проводится анализ осевой нагрузки конструкции до изгиба. Далее строится непосредственно геометрическая матрица жесткости Однако трудно, а подчас невозможно использовать специальным обра юм высоко автоматизированные процедуры имеющихся в наличии вычислительных программ конечно-элементного анализа. Примеры построения матриц для задач конечно-элемегпного анализа устойчивости сгержневых систем можно найти в ПЗ.б, 13.6).
1 ЗА. Элементы для пластин Набор элементов для изгиба пластин достаточно широк нз-за разнообразия геометрических форм и полей перемещений, и для большей части жесткостные соотношения анализа упругой устойчивости слишком сложны, чтобы их приводить здесь. Построение подобных соотношений в явном виде для треугольных элементов особенно сложно.
Поэтому ограничимся рассмотрением двух прямоугольных элементов. Читателю рекомендуется обратиться к работам 113.7— 13,12), где описаны подробности формулировки других изгибных пластинчатых элементов. Двумя основными функциями перемещений для прямоугольного элемента являются двенадцатичленная (12 32) и шестнадцатичленная полнномиальные функции, полученные при помо>ци полиномнальной эрмитовской интерпретации (12 31). Основное теоретическое соотношение для геометрических матриц жесткости элементов пластин задается выражением (13.21) (см, также комментарии к этой формуле).
Подстановка двенадцатичленного полинома в эти уравне- 414 13. Анализ стойчивости упругих тел о з о. и ц Й и с Й„. йР ,с ю д „сс но О Ф о. и но и о о Ь оо о и и6 а сс о сс а с «\ с о о и о и о и а3 с И и но хо е аи с- о Ю и пес о по о о е .он ет*' и °, ей 5 з' и *ос о со и,с 1 и и, и Н 1 415 13.4.
Элементы для пластин ГГ Ъ к к М о о 3 О. к к к О т т 13. Аиаииз устойнивости уиругик твв 416 о О и' о и о Ю й о т 417 1Э.4. Элементы Лпл пластин ния и выполнение интегрирования приводят к матрицам [[т [, си [[г [ и [[та [, представленным в табл. 13.2. Подробнее о формулировке этих матриц см. [!3.13[. Соответствующие матрицы для шестнадцатнчленной формулировки можно найти в [13.14).
Интересно сравнить результаты, полученные с помощью этих альтернативных формулировок для критической нагрузки защемленной квадратной пластины при однороднолт сжатии, используя, как показано на рис. !2,5, единственный элемент внутри квадранта. Все узловые перемещения, за исключением пт„равны нулю, поэтому поведение пластины описывается единственным уравнением. Используя базисный коэффициент жесткости из табл. 12.1 и геометрический коэффициент жесткости из табл. 13.2 [при к,=уа=а), для двенадцатичленной формулировки имеем —, [120 [1+ 1) — 24 [0.3) + 84] =,2ВО [а„, или а„ Использчя геометрические коэффициенты жесткости, приведенные в [13.14[ для шестнадцатичленной формулировки, получим и„ "тт =26.5Р/ат[, в то время как аналитическое решение [13.!5] равно 24.8Р/атй Таким образом, оба решения относительно точны для этой исключительно грубой сетки.
На рис. 13.13 представлены графики, характеризующие ошибку в процентах как функцию от параметров разбиения при подсчете на основе указанных альтернативных формулировок критической нагрузки равномерно нагруженной свободно опертой квадратной пластины. Как двенадцатичленное, так и шестнадцатичлениое представление приводит к точным решениям, которые сходятся к правильному результату. Для шестнадцатичленной формулировки характер сходимости соответствует стремлению к результату сверху. Дополнительные вычислительные затраты, обусловленные существованием дополнительных степеней свободы в каждом узле, лишь частично окупаются точностью решения, полученного на базе межэлементно согласованной шестнадцатиэлементной формулировки. Последнее утверждение подтверждается результатамп, представленными на рнс. 13.13, которые получены с помощью процедуры конденсации, описанной в равд. 13.2.
В результате процедуры конденсации исключаются все степени свободы, за исключением поперечных смещений в узлах птт, прн этом достигается та же точность, что и для двенадцатнчленной полиномиальной модели с тремя степенями свободы в каждом узле. Приведенный пример выявляет одно из наиболее важных преимуществ использования метода конечных элементов при анализе устойчивости пластин. Так как силы в плоскости постоянны, нет необходимости проводигь анализ для нахождения их распределе- 13 Анализ устойчивости упругих тел 413 )гееаеуеныа" е таз)гаага 2 М 1 'ч Ъ вЂ” 1 9 а ета)1 иве Рис 13 13 Сравнение численных результатов при анализе потери устойчивости пластин — прямоугольные элемевты ! — согласованная (16 степеней свободы) формулировка со схемой редукции, е — согласованная (16 степеней свободы) формулировка без схемы редукции, 3 — двенадцатичленный полнном ния внутри пластины Однако если силы н плоскости не однородны либо отвечают сосредоточенныч нагрузкам или геометрия пластины имеет особенности (например, пластина с подкрепленными вырезами или специальной формы в плане), проблема в сушности трудноразрешима с помотцью классических аналитических методов С другой стороны, метод конечных злечентов легко учитывает зти случаи благодари тому, что сильг в срединной поверхности легко находятся из конечно-элементного анализа плоско-напряженного состояния, как описано в гл 9.
419 Звдвчн Литература !3 1 1 тев1еу й К Ма1ггх Мерйобв о! Ягос(цга! Апа1ущв СЬар(ег !Π— Ох1огб. Епд!апб Регйашоп Ргевв, 1965 13 2 \Чапй С Т АРРПеб Е!аз(|с!17 — Нетт Уогй, Ы У Мсбгатч Н|П Воо1«Со, 1954 133 баПаййег й, 1 ее В Ма(г|х Оупаш|с апб!пв(аЬ~!|1у Апа1ущв и|ГЬ Ыоп цпбопп Е)егпеп1в — 1п1 3 Нпш Ме(Ь Епй, 1970, 2, Ыо 2, Р 265 — 276 13 4 Вагвоош й, байафег й Г|п|1е ЬПегпеп1 Лпа!умз о1Тогщопа! апб Ьа(ега! ЯаЬ!!П! РгоЫегпз — !п1 3 Кнш Ме1Ь Епд, !970 2, Ыо 3, р 335 — 352 !35 НаПбогввоп О, (Чапй С К ЯаЬ|!|(у Лпа!уз|в о! Ргашеттогйв Ьу Ма1пх Ме(Ьобв — Ргос ЛЯСЕ,3 Ягцс1 Пгт,бн!у!968,94,Хо 3Т7 р !745 — 1760 13 6 Наг!в В 3 Ма1щх Гогпш1а(шп о! 51гцс1нга! ЯаЬ|!Пу РгоЫе|пв — Ргос Л5СЕ 3 Ягнс(.
Епт, Вес 1965, 91 5[о 3Т6, Р 14! — !58 13 7 байадЬег й, беПа1!у й, МаПе(1 й, Раб)ой 3 А Омсге1е Р!ешеп1 Ргосебцге !огТЫп5Ьей !пв1аЬ«Ь(у Апа(увы — А1ЛЛ 3, бап 1967, 5, Ыо 1, р !38— 144 !3 8 Апбегзоп й. б, 1гопв В М, 2|епй|еч||сгб С Ч|Ьга1|опз апб ЯаЬ|(иу о1 Р!а1ев ()в!ай Г|пйе Е1ешеп1в — 1п1 3 боЬбз апб Ягцс1, Ос( 1968, 4, р 1031 — Р335 139 Агйупв 3 Н, е1 а! 3оп|е Хеъ Е!еп|еп1» !ог Гпе Ма1пх Ошр!асе|пеп1 Ме Ьйоб — Ргос о1 1Ье2пб А|с Гогсе Соп!егепсе оп Ма1пх Мебхобв |и Ягнс(цга1 МесЬап|св, Оау1оп, ОЬ|о, Ос1 1968 13 10 КаЬа|!аА Р, Ггае||вбеЧецЬейеВ 3|аЬ~!|1уЛпа!умвЬу Г|пие Е!егпеп1«вЂ” АГРО3 Тй 70 35, Маг !970 13 1! Чов й б Чапп Ч» Р А Г|пйе Е!егпеп1Тепвог АрргоасЬ 1о Р1а1е Вцсщшй апб Ро»1Ьпсщ|па — (н1 3 Кнгп Ме|Ь Епй, 1973 5 Хо 3, р 35! — 366 13 12 С!оойЬ й (Ч, Ге!|рра С А А йеЬпеб Онабг|!а1ега( Е!егпеп1 !ог Лпа!увщ о! Р1а1е Вепгйпй — Ргос о! 2пб Соп( оп Ма1г|х Ме|йобв |и Ягос1 МесЬ— АРРОЬ Тй 68 160 Ос1 1968 13 13.
Ргхеш|еп|есй| 3 Б О|зсге1е Е!ешеп1Мерйобв1огЯаЬ|1иу Лпа!ущв о1Сошр!ех Ягцс1пгев — Аего 3, Пес !968, 72, р 1077 — 1086 !3 !4 Рбйо А (вайвоп б А Г|пие Е)ешеп1 Мербоб 1ог (Ье Р!ав1ш ВпсйЬпй Лпа1ущв о1Р1а1ез — А!ЛА 3 Ос( 1969, 7, Хо 1О, р !950 — !957 !315 ТпповЬепйо Б, беге 3 ТЬеогу о1 Е1ав1|с 51аЬ~!Пу,2пб еб — Ыетч Уогй, Ы Ч Мсбга|ч Н|П Воой Со. 196! Задачи 13 1. Докажите, прнменяя варнацнонные процедуры, опнсанаые в гл 6, что уран.
венке (13 1!) является ) равнением Эйлера для функционала, задаваемого выражепнем (13 !0) (Г=О ) 13 2. Выпишите уравнение Эйлера длн функционала (13 31), отвечающего нзгнбно-крутнльночу деформнрованню 13 3 Решение определяющего днфферепцнального уравнения изгиба прн действнн осевой нагрузки Р„ (13 !1) имеет внд (см рнс 13 !) и| -( сов ы (ь — х) + (сов и(. — соа ых)+ ыь ч|п ы(.
[1 (хгь)! — 1 ! ыб в1п ыб — 2 (1 — сов иб)в вг+ +[ [в,+! [е,+[ [е„ где в»=Р»/Е! Пр|«л~еннте эту функцию перемещеннй прн определении коэффнцнента жесткости, связывающего в| н Р, 13.4. Если матраца жесткости для балочно-стержневого элемента формулнруется с использованием «точной» функции перемещений, го коэффициент жест- 420 13. Анализ устойчивости упругих тел кости, связывающий Е», н 0« (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
