Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Взяв произвольное натуральное число Ф, положим И = —.; тогда 2ИР ,я *,ф--1 т ! (здесь С, означает новую постоянную), а следовательно, и подавно л! Х Рщ мп 2дт(Сто! тя -щ лт щ)— 2 Иг Но для т) —, очевидно, тя, я 1 ип' —, ) ип' — =— 2Ф 4 2' и можно утверждать, что лт р~ (2Стдг "'. 1Ч ~~2 В частности, если выбрать И!=2" (2=1, 2, 3,,), имеем 2" р' 2С, 2- -. т-г" — ! Но по известному неравенству 1ЗЗ (ба) 2 гт т 2 +! ! ( ! 2! -П! л )'2С ° 2 щ ° 2 =г'Ст2 7301 $1. ОПИРАЦИИ ИАД РЯДАМИ ФЛРЬН Суммируя все подобные неравенства при э=1, 2, 3, ..., получим „(~ „) Ч~~~ Рм( )ГС! ~ ',2 <+со, м Э л=! ~У(х) т(х=О (а) нли (б) У(0) =У(я) =О. имеет место неравенство л л ~(у' (х))а агх ) ~(у(х))! а'х, (24) причем равенств о осуществляется в случае (а) лишь для функций вида у (х) = А ссм х, а в случае (б) — для функций вила у (х) = В з!и х.
Начнем со случая (а). В этом случае в разложении функции у(х) в промежутке [О, я) по косинусам отсутствует свободный член: у (х) ",~~~ ал о!а ях. л ! Так как при четном продолжении функции У(х) на промежуток ( — я, 0) выполняется условие у( — я) =у(я), то по правилу и' 732 у' (х) — 'у', пал мп ях, л ! Теперь согласно уравнению замкнутости, которое, как легко видеть, имеет место в промежутке (О, я) и для ряда по косинусам и для ряда по сйнусам, будет — ~ (у(х))т!тх= !) ит 2 Р л ! и одновременно ибо при л ) †, ряд справа сходится. Теорема доказана. 1 2 Полученный результат предельно точен: примером можно показзть, что 1 при л= — он уже не имеет места.
2 2'. Локазавельсвзо некошорых яеразенсша. Уравнение замкнутости применяется к доказательству ряда полезных неравенств. Начнем с неравенств, указанных впервые В. А. Стекловым и с успехом использованных им в математической физике. Пусть функция у(х) непрерывна в промежутке (О, я] и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную у" (х), интегрируемую с квадратом. Тогда> если выполняется о д н о нз двух условий !739 ГЛ. ХХ. РЯДЫ ФУРЬП (ПРОДОЛЖПНИП! Отсюда непосредственно и вытекает неравенство (24), причем ясно, что р а в е н с т в о может иметь место, лишь если а„=0 при п)2, т.
е. если у(х) =а, соах. В случае (б) аналогично рассмотрим для функции у'(х) ряд по синусам: у(х) ~ Ь„з]п пх. п ! При н е ч е т н о м продолжении функции у (х) на промежуток [ — и, О], именно в силу условия (б), сохранится непрерывность при х=О и выполнитсл требование у( — л) =у'(а), так что снова приложимо правило и' 732; У' (х) ~~) пЬл сгм пх.
Применение уравнения замкнутости и здесь сразу решает вопрос. Впоследствии Вирт нигер (%. Ф!гг!пдег) установил несколько более общее неравенство. Предположим, что функция у (х) непрерывна в промежутке ( — и, г] н имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную у' (х), интегрируемую с квадратом. Тогда, если выполнены условия у( — е)=у(з) и ) у(х)с'х=0, имеет место неравенство (Г'(Х)]адХ) ) (Г(Х)]'дХ, (25) причем р а не иста о осуществляется для функций вида у(х) =Ассах+ + В мих. Доказательство, как и выше, сводится к применению уравнения замкнутости к рядам у'(х) ~', алеем их+ Ь„з!ппх и 1 у' (х) ~ и (Ь„соз пх — а„мп пх), л ! Нерзвенства Стеклова получаютсл из (25), если, в частности, положить функцию у(х) (а) четной или (б) не четной, Ниже мы приводим пример установления более сложного неравенства. 3'.
Изоиеримеглричеекан задача: треб у ется среди в се возможных замкнутых паоских кривых, имеющих данную длину е., найти ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади. Известно, что решением является окружность; приведем чисто аналитическое доказательство этого факта, принадлежащее Г ура ицу (А. Нигж!та), причем ограничимся расснотренйем гладких кривых. 597 9 р, опизации илд видами олгьи Итак, пусть замкнутая гладкая кривая (Е) длины Е задана параметрически, причем в роли параметра фигурирует длина дуги з, отсчитываемая от некотох = х (з), у =у(з) (О ~ з ( Е).
2яз Переходя к параметру Г= —, изменяющемуся от О до 2в, перепишем зти уравнения в виде ф' (р) ~ тЬм соз тр — !лам мп тр, т ! ф'(р) ~ лыртсозяру — тем зштр. м=! Применяя здесь уравнение замкнутости, получим: — ~(ч'(Р)]'гРР= ~ т'(а,„+Ь ), "6 т ! — (ф'(рН грр= ~~) т (с +!р ).
т ! Так как ЕЯ (р ()] +(ф ()] ( г) чяз ' (26) то отсюда Ез=2яз ~) та(а +Ь +с, + г(ам). (27) т ! С другой стороны, площадь Р фигуры, ограниченной рассматриваемой кривой, по известной формуле (529 (9)] выразится так: 2я тя Р = ~ х гру = х — у грр = ч (р) ф' (г) !рр з. (28) рТ! з Если предположить (что мы вправе сделать), что при изменении параметра Р от О до 2я кривая описывается в по ло жйте ль но м направлении. х=р«), у=ф(Р) (О«2~2я); особо отметим выполнение условий р(0) р р(2з) и ф(О) =ф (2з). В силу 732, ясно, что из рядов Фурье, в которые разлагаются функции р (г) и ф (г): р(г)= — '+ ~: а ссвтр+Ь„,зрптр, т ! ф (Г) = — ' + ~ гт соз юг + 4„з!и та, ш 1 ряды Фу рь е для их производных получаются почленным дифференцирова- нием: 598 1739 гл. хх. энды егвье (пэодолжение) Воспользовавшись на этот раэ обобщенным уравнением замннутости, представим выражение для площади в виде Р=я эу' т(а„,!7„,— Ьтст).
т=! (29) В таком случае, вычитая нз равенства (27) равенство (29), умноженное на 4я, получим: ).в — 4вР=2яс ~ ~) тс(а' + Ь' +сс +!!' )— — Е ь ! с„ — ~„,,!)- и=! =2вс~ ~> (там — Н,„)'+ «~ (тст-)-Ь,„) ° + (~ -! т ! то есть Р( —, 4я ' Знак равенства имеет место — и одновременно площадь Р получает н а иболь шее иэ возможных для иее значений — лишь в том случае, если все слагаемые — нули, т. е, если с)м = вша Ьа — тст Ьм — !тт — О !т-!, з, з, ...! ( =з,з, ...! Это равносильно соотношениям с)! = а„с! = — Ьп ат = Ьт = ст —— с(,„= О для т ~ 2. Но тогда 2'+'+ 1 1 у= 2 сс — Ь! соВт+а, апт, откуда 1 3 (х — — ас~ + (у — — сс) = а', + Ьо и наша кривая есть не что иное, как окру ж ность! Этим и доказано энстремальное свойство круга, и, так как все слагаемые суммы в фигурных скобках неотрицательны, в с е г д а будет выполняться «изопериметрическое неравенство» Еэ — 4яРтзо, 7401 а в.
пгименение методов скммиоовлния к вядлм флвье 599 Заметим, впрочем, что если воспользоваться неравенством (25)*, то изоперимстрическое неравенство можно установить, уже не прибегая к у [Га в нению за и кнут ости. Действительно, мы можем, нс умаляя общности, предположить; что центр тяжести кривой лежит иа оси у, т. е. что ) т(с)лс=о.
(зо) Тогда из (26) и (28) имеем И вЂ” — 2Г= [ям+ ф') ЛС вЂ” 2 тф'ссг= [т — ф'[э ЛС+ [йм — чэ[ с(С)0 — именно в силу неравенства (25), с учетом условия (30). При этом р а ве- нст о может осуществиться, лишь если т (с) =А сов с+ В з1пс и ф'(с) =т(с), откуда ф (С) = А л1п С вЂ” В соэ С + С, и т. д, ф 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье 740.
Основная лемма, Для того чтобы в дальнейшем изложении избежать повторений, мы предпошлем ему некоторые общие соображения, составляющие существо ряда последующих доказательств. Рассмотрим интеграл общего вида (а)0) О ,У(Л)=$К(С)Ф(С, Л)КС, о содержащий параметр л. Областью изменения параметра пусть будет некоторое множество А= Я, имеющее точку сгущения и, конечную или нет.
Относительно функции Ф(С, 2) предположим, что она определена для значений С в [О, а] и значений л из Л, и при постоянном л интегрируема по С в собственном смысле. Кроме того, наложим иа функцию Ф(С, )) следующие три требования: 1'. Ф(С, Х)= О. 2'. Каково бы ни было ). из А, о ~Ф(С, Л) и=) ° о н, наконеп„ ч Которое, очевидно, имеет место и при замене промежутка [ — л,я[ промежутком [О, 2к]. ** Достаточно было бы предположитэч что л ))ш $ Ф (С, Л) ЛС вЂ” ), "о но мы в этом обобщении ие заинтересованы, ГЛ.
ХХ. ВЯДЫ фКВЬВ 1ПВОДОЛЖЕНИИ1 3'. При любом 3, 0(д(а, величина г11(д, Л)= црФ(1, Л) при Л вЂ” м стремится к нулю. Функцию Ф, удовлетворяющую этим условиям, для краткости будем называть положительным ядром. Лемма. Если Ф (1, Л) еств положительное ядро, а я(8)— произеолвная, абсолютно интеграруемая функция, для которой существует предел в(+0), то Вш У(Л) = е( -+ О). л- Д о к л з в т и л ь с т в о.
Ввиду 2; а д(+о)=~й(+о)Ф(~, л)а; о вычитая это равенство почленно из (1), получим~ в ,ЦЛ) — я(+ О) = ~ (в (~) — я(+ О)) Ф ® Л) а. о Задавшись произвольным числом в ) О, возьмем теперь Ь (О (Ь (а) так, чтобы при 0(г =3 было и разобьем предшествующий интеграл на сумму двух интегралов1 а в в 1=1+1= +' о о в и притом независимо от Л.
С другой стороны, а ~У,~~~~я(1) — я(+-О)~Ф((, Л)а~ И -с М(д, Л) ~~д(1) — Д-~-О) ~И. о (2) Для первого из них, принимая во внимание 1' и 2; сразу получаем оценку; ~,У, ~ ~ $ / д (1) — у (+ 0)) Ф (Е, Л) М ( — $ Ф (Е, Л) й ( —, о о еа1е % а ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СуММИРОВАНИя К РядАМ ЕРРЬВ В силу 3;,У, — О, так что для значений Л, достаточно близких к н, будет ),Уя) ( †', а вместе с этим и /,У(Л) — д(+ О) / (а, что и требовалось доказать. К сказанному сделаем еще такое дополнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
