Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Установим теперь, что функция и(г, 0), при приближении точкиМ(г, О) изнутри круга к точке М'(1, О,) на окружности, стремится именно к у(ао). Действительно, ввиду непрерывности фуНКцнн у(В) йа ПРОИЗВОЛЬНО ВЗятОМу о ~ 0 НайдЕтСя таКОЕ а ) О, Чта Прн (Π— 0,)(а будет о Если допустить возможность беспрепятственного п о ч л е н н о г о дифференцирования. С другой стороны, в силу того, что и(г, В) прн г-1 — 0 стремится к У(В) ра з в о мер но относительно В [74Ц, числоВ можно считать н столь малым, что прн 1г — 1( ( В будет ~ и (г, В) — У(В)1 ~ -2. при всех В. Итак, окончательяо при !г — 1) ( В и 10 — В,! ( В имеем: 1 и (г, В) — У(зя) ~ ( ' что и завершает доказательство. 743.
Суммирование рядов Фурье по методу Чеззро — Фейерз. Как известно [08Ц, частичная сумма в„(х) ряда Фурье (3) може~ быть .представлена интегралом Д и р и х л е 1~ 1 з1п и+ — ~(и — х) з„(х) = — У(и) йи. 2! 2 мп — (и — х) 2 В тзком случае среднее арифметическое первых п тзкнх сумм напишется в виде: чст ип [и+ 2 ) (и х) в„(х)= — у(и) лге йи а и а 2 ми — (и — х) 2 — к или после упрошення [ср. 418, 2)[: ч в„(х) = з -,Т (и) 1 Этот интеграл называют интегралом гйейера (1 Ре)бг) по имени ученого, впервые успешно применившего метод средних арифметических к обобшенному суммированию рядов Ф у р ь е.
Фейеру принадлежит также следуюшая теорема (см. теорему Шварца). Теорема. Пусть для функции у(х) в рассматриваемой точке х существуют пределы справа и слева У(х-~-О). Тогда а 11ш в„(х)= 11ш 2 — У(~) 1 я <о я со 2 ( ) ! мп — (и — х) 2 У(х+О)+У(х — О) 2 В частности, в точке непрерывности втот предел равен Т(х). Если же функции л(х) везде непрерывнаь, то сулсма о (х) стрелииисн к Л (х) равномерно относительно х. ь Сн. сноску на стрг603. 743) В З.
ПЕИМЕНЕННЕ МатОдОв Сгммиговаиня к яЯДам Еи ье 607 гл. хх. вялы еквьв !пгололжвннв! Докаватв льствш Подобно интегралу Дирихле и интегралу Пуассона, интеграл Фейера может быть представлен в виде: и 1 а!и — а в„(х) = — „)«г (х+ 1) +У(х — 1)) — йь (13) 2 2 Этот случай также подходит под общую схему и' 740, если положить, как и в 741, у(х+ г) + у(х — с) =й(!) а за ядро принять функцию и 1 2 мп — т ) Ф(с, п)=— пч . 1 ею 2 (ядро ф е й е р а). Легко убелиться в том, что это действительно положительное ядро, как оно было определено в п' 740 (вместо Х здесь натуральный параметр и; а=+со).
В самом деле, что Ф(1, п))0, непосредственно очевидно. Если в (13) взять ~= 1, то одновременно и г„=— 1, а также в„: — 1, так что (14) т. е. для ядра Фейера выполняется требование 2' и' 723, Что же касается требования 3; то легко получить оценку М(3, и)= зир Ф(с, п)~ — —, 1 ! ь пп )гр и», 2 откуда и слелует, что М(3, и) — 0 при и со. В таком случае, применяя лемму пч 740, получим предельное соотношение (12). Наконец, заключительное утверждение теоремы обосновывается как и в случае теоремы Шварца. На этот раз из доказанной теоремы явствует, что в точке х, где функция у(х) непрерывна или, в крайнем случае, имеет разрыв первоао рода, ряд фурье (3) суммируем по методу средних арифметических, причем «обобщенной суммой» ряда будет у.( ) „, у(я+о)+у(х — о) соответственно.
744) э г, пвименение методов сгммивовзния к вязям втэье 009 Опирзясь на тсорену Ф робен и у с а (431). иа этого утверждения, кзк слслствие, можно получить аналогичное утвержленне п" 741, относяцгсеся к суммированию по методу Пуассона — Абеля. Если функция /(х) эалзна лишь в промежутке ( — к, к).
то ио поводу нее можно повторить э а м е ч а и и е, сделанное в конце и 141. У44, Некоторые приложения обобшеииого сутитцровяпип рядов Фурье. Мы имеем здесь в виду привести некоторые слелствня иэ теоремы Фсйсрз (хотя лля той же цеди, иноЯ раэ — ценоЯ небольшого усложнения рассуждений, — могла бы служмть н теорема Н! варна) !!ервыс двз иэ инх иллюстрируют то любопытное обстоятельство. что обобщенное суммирование может послужить основанием лля утверждений, относящихся к суммированию в собственном смысле! 1'. Если ряд Фурзе (3) сходится а некоторой точке х, еде функция /(л) непрерывна или тьнеет обыкновеннзгй разрыв, то сумма ряда неодходтг.но равна /(х) и.ти /(к+О) +/(х — О) 2 соответственно.
((ействительно, именно такова по теореме Фейера будет <обоб. щеннзя суммаь ряда, полученная по метолу средних арифметических. Ввиду же регулярностм этого метола [426), поскольку рял имеет сумму в обычном смысле, эта сумма должна совпадать с чобобщенной стммой», 2'. Из теор«ны Фе й тра как слелстапе может быть получена теорема Ди риз з с — Ж орвана осходимоктн рада Фу рье лая функции с ограни- ченным изменением (706) Если /(х) есть фтикцня с ограниченным иэмеисинем ао всем иромежттке [- я, я), то а любой точке х дзя иее существтют пределы /(х + 0), и и4аб- щснноЯ суммоЯ> рада Ф у р ь е бутт /(х -(- 0) + / (х — О) —. С другой сто. роны, известно (7071, что дая функция с ограиичсинмм изменением коэффиг 1) нищ|ты Ф у р ь е в„, Ь„буз) т иорядкз О ! —, а тослз по теореме Х з р з и (я/' (422! отсюзз следует, что ряд (3) сходится а обмчнвм смысле н притом к той же с мме.
тнн, впрочем, ис покрывается еще теорема Дя рп х ае — Ж орлана, которая я формулировке и' 606 имеет, тзк сказать, чаокзаьныйт зарзктср. Ограниченность нэмюмиия тзм требуется лищь ио отношению к ироиавозьно навоЯ окрестностя рзсснатривзсмоЯ точки. Но мм пален (4Ю(, что именно значения, приинмзсмые функцися в этой окрестности, п опредезяют поведение ряда Ф ) рь е н величину его суммы з данной точке.
Поэтому, ничего не меняя ио существу, мм ногаи бы изменить значения функцшт зне уявмяит той окрест- ности тзк, чтобы получилась функция с огранпчепнмм изменением зо всем промежутке ( — °, я1. з к этой ф)нкции уже применимо сказанное выше. 3', ксзи функция /(х) непрерывна а промежутке ( — я, я! и к том) ке улоазетяоряет условию /( — я) /( ), 20 г,м.о* ь .ггт 610 [744 гл. хх.
энды взвыл 1пвододжинин1 то она может быть распространена на всю числовую ось, как периодическэя (с периодом 2я) и повсюду непрерывная функция, В таком случае последовательность фейеровских сумм (а„(х) ] сходится к у(х) рави о мерно для всех х в промежутке [ — н, э]. Так как каждая такая сумма есть тр иг он он е т р и ч е с к н й м н о г о ч л е н, то отсюда очевидным образом получается теорема В е й е р ш т р а с с а об аппроксимации периодической непрерывной функции [734]. 4'. Из теоремы Ф е й е р а непосредственно может быть получено утверждение о полноте тригонометрической системы в классе не- и р е р ив н ы х функций [ср.
733]. В самом деле, если непрерывная в промежутке [ — я, н] функция у(х) оказывается ортогональной ко всем функциям тригонометрической системы, так что равны нулю все ее коэффициенты Фурье, то с„(х)=0, В то же время, по крайней мере в открытом промежутке ( — н, я), в„(х) — у(х) при и — сю; следовательно,у(х) Овнутрипромежутка, а по непрерывности — и на концах его. Присовокупим еще следующие замечания, хотя и не связанные с теоремой Ф ей ер а, но относящиеся к фейеровским суммам. 5. Если функция у(х) оказывается ограниченной и нри изменении в нромежутке [ — я, я] содержится между т и М„то между теми же границами содержатся и все феперовские суммы с„(х). Это сразу получается из оценки интеграла (13) с учетом (14): н мп — 1 ~ 1 [ у(к+Г)+у(х — Г)]У 2 ия ) 2 1 2 нп — г/ ( (й — "г~ М.— ' [~~ дг=М.
ь 2 ° ', а1п — г о Для частичных сумм ряда Ф у рь е з„(х) подобное утверждение уже не имеет места: здесь сказывается тот факт, что чадра Д и р и хлев («+4 1 ап — г 2 в отаичие от чадра Фейс р а*, меняет знак. По отношению к этим суммам нельзя ручаться даже за существование о б щ их для них всех границ. Однако если коэффициенты а„, Ь„функции у(х) будут порядка 111 0[ — ), то и частичные суммы з„(х) все же оказываются равномерно ограниченными, Именно, если при всех а=1, 2, 3, ...
имеем и [а„] ( А, и] Ь„[(В, то можно утверждать, что т — (А + В) ~ з„(х) ~ М + (А + В), 745[ э г. пэимеивиив методов свммиэовлиия к видам авььн 611 Лсйстзительно, применяя к настоящему случаю соображения и' 422,. получим: в В (аэ сов ах -[- Бь мп ах) в„(х) = в, (х) + и+1 Но [а(аьсоэах+Ьэмпах) [~А+В, з то время как по доказанному м ( в„„(х) ( М. Отсюда и вытекает требуемое утверждение, Если, например, рассмотреть разложение [690, 2)] и — х Ът в1п нх = Ыт — (0<Х < 2в), и 1 я в то здесь ю= — —, М= —, А=О, В=1.
Поэтому можно утверждать, что 2' 2' частичные суммы этого ряда по абсолютной величине равномерно ограничены числом — + 1 [ср. 702[. 2 Из доказанного утверждения можно сделать и более общее заключение: частичные суммы ряда Фурье функции с ограниченным изменением будугл все равномерно ограничены [ср. 737[. Это следует нз того, что дчя названной функции коэффициенты Ф у р ь е а„, Ь заведомо будут порядка 0 ( — ) [707[.
746. Почлеиное дифференцирование рядов Фурье. Если ряд Фурье (3) функции У(х) продифференцировать почленно, то полученный ряд ~ ~т(Ь соз тх — а з1п тх), (16) вообще говоря, -будет расходящимся, даже если в рассматриваемой точке х для функции у(х) существует конечная производная у'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
