Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 103
Текст из файла (страница 103)
747) а з. единственность т»игонометвичзского влзложания 619 Существование этого интеграла легко проверить, ибо [ ( — ) ] =2 з(п г(созг — — ) —,=0( —,) при г-» оо. Таким образом, метод обобщенного суммирования Р н м а н а оказывается регулярным. Этот факт применительно к тригонометрическим рядам н формулирует Первая теорема Рамами Если тригонометрический ряд (4) з точке х сходится к сумме 8, то Функция Р(х), полученная из него формалиным почленным интегрироватгем деагкды, имеет е этой точке обобщенную вторую производную, равную 8: РГ'! (х) = 8.
Заметим, что для случая ряда Фурье выражение а1 Р(х) 4И» легко преобразуется к виду интеграла изученного в п' 740 типа и притом с «положительным ядром». Таким путем для риманова метода суммирования может быть установлена теорема, совершенно анзлогичная теорене Шварца [741[ и теореме Фейера [743), на чем мы останавливаться, однако, не будем: для нас метод Р и м а н а важен как мощное орудие исследования тригонометрических рядов общего видав. На этом пути нужна будет и 1)торам теорема Римана. Если коэф!рициенты а„, Ь„ряда (4) стремится к нулю, то незазиго ио от сходимости р я д а заполняется условие (2): аб г (х) 1гш = О.
и а Положим при любом фиксированном х и» вЂ”вЂ” 2, и„=а„соа пх-[-Ь„з1П пх. Тогда вопрос приводится к доказательству соотношения (8 и и л «»» л 1 По условию теоремы и„-э.О, т. е. для произвольно заданног! з >О найдется такой номер И, что при п)И будет [и„[(а. Пред " Сам Рн и а в вовсе ие занимался обобщенным суммированием радо! Ои развил свою теорию для решения поставленной им задачи — дать полну! характеристику функций, разлагающихся з тригонометрический ряд обжег вида.
Мы не имеем возможности излагать здесь зги исследования Р и м а н, 620 (748 гл. хх. гяды огаьв <пгодолжвнив> ставим теперь интересуюшее нас выражение в виде суммы двух выра- жений: с,=~ .-<-~[~ ° з.=~ а. л < 3 л и Легко показать, что множитель при з ограничен независимо от Ь. Мы видели, например, что СО л 1 [494, 4)1. Следовательно, з<< 2 Что же касается выражения 8„то оно, очевидно, стремятся к нулю вместе с й и становится при достаточно малом Ь по абсолютной величине меньшим, чем з.
Отсюда в совокупности н вытекает утверж. ление (8). 748. Лемма о коэффициентах сходяшегося ряда. Доказываемое ниже предложение, полезное в дальнейшем, представляет и самостоятельный интерес. Лемма Кантора (О. Сап1ог). Если тригонометрический ряд (4) 2 + ~~[ а соз т»+Ь з<п т» и сходится„ло крайней мере, для значений х е некотором лромезкутке (з<)=[з, ~], то коеффициерты а Ь,„ряда необходимо стремятся к нулю лри т-+сю. Представим общий член ряда в виде а соз тх+Ь„з<п т»=р, з<п т(х — ам), где р = р< а~+ Ь'„. Требуется доказать, что р„-ь О. Допустим противное; тогда для бесконечного множества аначений т будет выполняться неравенство рм =-и й.
(9) где ч есть некоторое постоянное положительное число. Мы индуктивно построим последовательность вложенных один в другой промежутков ((Ы„)» и цозрастающих значков (т„» («=1, 2, 3, ...) таких, что Ь [ Ри з[п т„(х — аи„)[~ 2 длЯ Х ив (с[„). (10) В качестве т, возьмем первый нз номеров т, удовлетворяющих, кроме неравенства. (9), еще неравенству* «и1 >к.
При изменении х в промежутке (а) функция Ь[п т,(х — а„,) хоть однажды примет значение -1-1, а тогда по'непрерывности найдется и такой содержащийся в (а) промежуток (а1), во всех точках которого 1 эта.фуикция по абсолютной величине будет > — и, следовательно, во внимание к (9), ь [р з[п т1(х — а )[ > — для х из (й,). Если (а ь) и т, уже определены, то совершенно аналогично тому, как это сделано только что, определяется значок т„ и строится содержашийся в (а 1) промежуток (с[„) так, что выполняется (10).
При этом легко осуществить и требование т„>т Возьмем теперь точку х„ содержащуюся во всех (г[„) (а такая точка, хотя одна, всегда найдется). В ней неравенство (10) будет иметь место при всех «, а' тогда, ввиду нарушения необходимого условия сходимости, ряд (4) при х=х, расходится — вопреки пред- положению. Этим лемма и доказана.
749. Единственность тригонометрического разложения. Мы подошли, наконец, к одному нз фундаментальных вопросов, которые являются целью настоящего параграфа. Если фун яцика(х) в промежутке ( — и, к] разлагается в некий тригонометрич е с к н й р я д (4)„т о б у д е т . л и э т о р а з л о ж е н и е е д и н с тв е н н ы м Р Вопрос этот тем более законен, что выражение коэффициентов ряда формулами Эйлера — Фурье, как-мы помним (678], не имело логически безупречной мотивации.
Следующая тгопе дает на него утвердительный ответ. Теорема Гамме — Кам«зара. Если два тригояометричесхих ряда — '+ ~~а а сов тх+б,„з[п тх (4) и ! СО 2 + ~~а а~ соз тх+ Ц 31п тх (11) пв ! з Через Е мы обозначаем да пну промежутка (Е) =[я, Щ 749) ь а. единственность тяигономвтгичзского влзложвния 621 б22 [749 гл.
хх. »яды ч»вьн (п»одолжвпив) сходятся к одной и той же сумме У"(х) во всех точках промежутка [ — я, к[ (даже за возможным исключением конечного числа «точек неизвестностиь'х„х„..., хь), то эта ряды тнождественны, т. е. Ь =1~. (л-), т, а, ...) а =а, (а 0,1,2...4 Почленно вычитая ряды (4) и (11), сведем доказываемую теорему к теореме об единственности тригонометрического разложения нулю Если тригонометрический ряд (4) сходится к нулю в промежутке [ — я, я) (исключан разве лить конечное число «точек неизвестности»), то все его коэффициенты должны бать нулями: а =О, Докажем это последнее утверждение. По лемме предыдущего и коэффициенты аы и Ь стремятся к нулю; в частности, отсюда Ьытекает, что они ограничены в совокупности.
Рассмотрим риманову функцию Е(х) [см. (6)[, при наших предположениях непрерывную. За выключением «точек неизвестности» ее обобщенная вторая производная (ст")(х) повсюду равна нулю по первой теореме Римана [747[. По второй же теореме Римана [7471 * даже в «точках неизвестности» выполняется облегченное условие (2)г Тогда на основании обобщенной теоремы Шварца [746] можно заключить, что функция Е(х) линейна: ОР а,х' %)а, сов их+ Ьыв)пюх = сх+ 4 л~( и' 1 Важно подчеркнуть, что это равенство на деле имеет место на всей числовой оси, ибо сказанное о промежутке [ — я, к1 справедливо и для любого конечного промежутка. Переписав полученное равенство в виде а,х' „, 1~)а сов юх+Ь Мпюх — — сх=а+ 4 =а-)- юв 1 из периодичности функции, стоящей в правой части равенства, сразу заключаем, что а«=с=О.
Итак, имеем разложение нуля: О ~ %вас(мюх+Ь.в~люк юв 1 «Она здесь применима именно потому, что ковффициенты аа и Ьа «травятся а нулю! 750[ а з. вдинстввнность тгнгономвтгнчвского влзложзння 623' но на этот раз — в равномерно сходящийся ряд! В таком случае [678) коэффициенты его с необходимостью выражаются формулами Эйлера — Фурье, и мы приходим к требуемому заключению: ам = Ь„, = О.
3 а м в ч ь н и в. Можно было бы следующим образом избежать. ссылки на лемму Кантора. Пусть х — любая точка, отличная от «точек неизвестностиз, так ч>о ряд. (4) при этом значении х сходится, и его общий член, разумеется, стремится к нулю: а,„соа тх+Ь„з1п тх-ьО.
(12) Подставляя в ряд (4) вместо х значения х+В и х — В и почленно складывая, придем к разложению ав+ ~', (а сов тх+Ь з1п тх)сов тВ, м=! которое сходится к нулю при всех значениях В, кроме разве лишь конечного числа их (если речь идет о любом конечном промежутке изменения В). Но по отношению к этому тригонометрическому ряду с переменной В мы уже знаем, что его коэффициенты стремятся к нулк>, и к нему (без всякой ссылки на лемму Ка.нтора!) применимы изложенные выше рассуждения, так что ас — — О и а„соз тх + Ь„з1п тх = О. !ы=>, а, з, ...> (13). Ь„соа тх — а з>п тх=01 (14) из (13) и (14), наконец, вытекает, что а =Ь =О.
760. Заключительные теоремы о рядах Фурье. Итак, если для какой-либо функции у(х) в промежутке [ — к, я] возможно разложение в тригонометрический ряд, то только одним способом. К а к о в же этот единственный способу Обяззтельно ли это будет ряд Фурье функции у(х)*г,. Нзм известны тзкне — даже непрерывные — функции, которые не разлагаются в ряд Ф ур ь е [708[, но до сих пор мы оставляли открытым вопрос, не может ли подобная функция быть разложена в тригонометрический ряд с другими коэффициентами, отличными от коэффициентов Ф у р ь е. в Конечно, в прсдпоаоясс пни, что функция у (х) а б с о а ю т и о и н т с г' р ир у с и а, ибо, говоря о ряде Ф у р ь с, мы всегда здесь имеем в виду (как и выше) именно ряд Фу рьс абсолютно интегрируемой фуякпии.
Равенства эти имеют место не только для точек х, отличных от «точек неизвестностив, но, в Силу непрерывности функций косинус и синус, просто везде. Дифференцируя по х, получим еще и ра- венства гл. хх. вялы вгвьв ~пводолженив> Все эти вопросы тем более естественны, что мы, с другой стороны, легко можем построить тригонометрический ряд, повсюду сходящийся (следовательно, одНозначно определяющий некоторую функцию) и в то же время заведомо не могущий быть рядом Фурье.
Таков, например, ряд О) а 2 Этот ряд даже равномерно, сходится в любом замкнутом проме- жутке, не содержащем точек вида 2Ьи (А=О,.+ 1, '+ 2, ...) [430], и определяет там непрерывную функцию; но и в точках вида 2йк он также сходится, очевидно, к нулю. В то же время этот ряд вообще не является рядом Фурье, ибо здесь нарушено необходимое для этого условие, установленное в конце и' 731 [см. там заме- ОО ч анне]: ряд ~ — расходится! [367,6)]. 1 2 Поставленные вопросы получают окончательное разрешение з тео- реме настоящего и' н в ее обобщении, которое мы изложим в сле- дующем и'. Предпошлем одно замечание, принадлежащее Лебегу (Н. Ьеоев3пе).
Лемма. Если непрерывная в промежутке [а, Ь] функция Р(х) имеет повсюду внутри етого промежутка обобщенную вторую производную ЕГ)(х), содержаисуюся между границами т и М: гп -гл'ц(х) =М, аьр(х,) то и любое отношение вида 4„, заключено между теми же границаМи, в предположении, конечно, что промежуток [хв — 2Ь, ха+ 2Ь] целиком содержится в [а. Ь]. Рассмотрим функцию а,ьу(х,) (х — х,)' а "ат(хь) 'Р (х) =У(хв) + (х ха) 4Ь + 2 4Л1 которая представляет собой целый многочлен второй степени. Непосредственной проверкой убеждаемся, что он принимает те же значения, что и У'(х), в трех точках: ха — 2Й, х„ ха + 2Й, так что в этих точках разность обращается в нуль. Функция Л(х) непрерывна в промежутке [ха — 2Ь, х,+2Ь] и имеет в.нутри него обобщенную вторую производную: 4И ЦУ (хв) 7ЯЦ з а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
