Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Предположим, что функция р, кроме переменной У, зависит еще от одной переменной х (О =х~а): з'=в(г х) но при постоянном х удовлетворяет прежним условиям. Тогда, если 1) д'(У, х) равномерно ограничена при всех У и хг ~К(У, )~~~ и 2) стремление а(Г, х) к я(+О, х) осуществляегпся равномерно относительно х, то и интеграл а .У(Л, х)=$у(У, х)Ф(У, Л)е(1 о при Л вЂ” еа стремится к пределу я(+О, х) рави омерно относительно х. Действительно, в силу 2) число 3, о котором была речь в предшествующем рассуждении, можно выбрать н е з а в и с и м о от х. Далее, так как, в силу 1), / я(У, х) — я(+ О, х) / -" 2У., то неравенство (2) можно заменить таким: ! Уе ! = 2У.а М (д, Л), где справа уже нет никакой зависимости х.
Отсюда ясно, что для е значений Л„ достаточно близких к ы, неравенство ~,Уе! ( †, а с нвм и неравенство 1,У(Л, х) — я(+О, х)1(а, будет выполняться сразу для всех значений х, что требовалось доказать. 741, Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона — Абеля. Пусть У(х) снова означает функцию с периодом 2и, абсолютно интегрируемую в любом конечном промежутке. Рассмотрим ее ряд Фурье у(Х) 2а+ ~ а СОЗ тХ+Ьаа(нтя ее =! (741 гл. хх. авды егяьв <пгодолжение> Так как коэффициенты а, Ьм при т-ьоо стремятся к нулю (888), то они ограничены в их совокупности: (а, (, (Ь,„<(К (К=сопз1), так что ряд (4) мажорируется просто прогрессией 2К~',г и заве- о домо сходится. Чтобы облегчить исследование поведения его суммы У(г, ж) при г 1, представим ее в виде интегралз. Если заменить в (4) коэффициенты а, Ь их интегральными выражениями а = — ~ г" (и) соз ти а<и, 1 г <м-о, <, а ...> то получим сначала Х(г, х) = — „$ Х(и) <(и + — ~> г $ т (и) соз >и (и — х) <(и, — М иг=! -и а затем у(Г, х)= — ~ у (и) ~2-+ ~~' Г сов т(и — х)~ <<и.
Е и ! Переход этот мотивируется ссылкой на с лед с т в и е, установленное в и' 510: равномерно (относительно х) сходяшийся ряд в фигурных скобках, по умножении его членов на абсолютно интегрируемую функцию, можно интегрировать почленно. Так как сумма упомянутого ряда нам известна 1см., например, 741, 2)]: л 1 1 — г' + ~ г сов т(и х) а=! то окончательно приходим к такому выражению: я ! ! 1 — г' 2!с,'> ( ) 1 — 2гсоа(и — л)+г' (б) н при произвольном фиксированном х применим к нему метод обобщенного суммирования Пуассона — Абеля (418). С этой целью умножим члены этого ряда по порядку на гм(т=О, 1, 2, ... ), где 0(г(1, и составим ряд ! (г, ж) =-а+ ~> гм(ам соя ты+ Ь„,ьбп тх).
(4) !и ! 741) а х панмвнвнив методов сгммнговання к тяпам егвьв 603 Этот замечательный интеграл, называемый пнгпегралом Пу а с с о и а (5. О. Ро!эзоп), играет важную роль во многих вопросах анализа. Фактически и ряд (4) и интеграл (б), к которому этот ряд приводится, были рассмотрены П у а с с о н о м задолго до появления ден «обобщенного суммирования», но рассуждения автора не были .остаточно строгими. Точную теорию интеграла П у а с с о н а дал Шварц (Н. А. Зс(!тгага).
Теорема. Пусть для функиии У(х) в рассматриваемои точке х существуют пределы справа и слева у(х-+.О), Тогда 1 Г 1 — г' ! — о г-» 1 — 0 У(х+ 0) +У(х — О) 2 (6) Желая применить к этому интегралу лемму предыдущего и', мы положим у(х+ с) + у(х — с) =8(1) а в качестве ядра возьмем функцию Ф1,г=— !.ь 1 — 2г соь г+ г' (8) (ядро Пу а с с о на). Здесь роль параметра Л играет г, область его изменения есть промежуток [О, 1), а а=1. Покажем, что функция Ф удовлетворяет всем требованиям, предъявленным в предыдушем п' к положительному ядру.
Прежде всего Ф(1, г)ъ0 [см. требование 1'1. Действительно, при г «" 1 числитель дроби (8), очевидно, положителен; то же заключение легко сделать и о знаменателе, если представить его в аиде 1 — 2г соз1+ г'=(1 — г)'+4г з1п' —. 2' (9) ь Напомним, что мы предполагаем функцию у(х) имеющей период 2ж В частности, в точке непрерывности этот предел равен У(х). Если эке функиия у(х) везде непрерывна*, то у(г, х) стремится и у(х) равномерно относительно х.
Доказатвльство. Преобразуя интеграл Пуассона (5) так же, как мы в свое время преобразовали интеграл Ди р и х л е [681), получим: У(~ ) =2— [У( + 1) +У(~ — 1)), 2 ", (1 (У) (741 гл. тх. алды аааья 1паодолжвнив) Если, далее, положить в (7) Г"=1, то и )(г, х)=1, и мы получаем, что й1= 1, 1 1. 1 — г' ч ~ 1 — 2гсоат+га т. е. выполняется требование 2'. Наконец, при 6 =.1 ~ и (если а число 3 произвольно выбрано между О и л) будет з)п — ) а!и —, так что (см. (9)) 1 — 2г сов 1+ г" ~ 4г з1па —. Отсюда М(3, г)=анр Ф(1, г) «=— лг 51а',— 2 Очевидно, М(3, г) О при г 1 (и фиксированном 3); выполнено и требование 3'. В таком случае на основании упомянутой леммы имеем у(х+ Г) + у(х — г) у(х+ О)+у(х — О) Ф г ~ а с -го что и требовалось доказать.
Пусть теперь функция г(х) будет везде непрерывна Тогда она необходимо ограничена: (У(х)~ ~ К а вместе с этим и г(х+г)+у(х — г) ( 2 Кроме того, ввиду равномерной непрерывности функции У(х) выражение у(х+ г) + у(х — г) 2 стремится при 1 + О к своему пределу 7(х) р а в номе р но .относительно х.
Этим на основании дополнительного замечания предыдугцего и' оправдывается и заключительное утверждение теоремы. Итак, доказанная теорема учит, что в точке х, где 00уняция у(х) непрерывна или, в крайнем случае, имеет разрыв первоао рода, ряд Фу р ь е (3) суммаруем ло методу Пу и ссона — Абеля, причем собобщенной суммой» ряда оказывается У (х + О) + Г (х — О) смотря ло случаю. 742) 0 з. пэименпнив митодов скммнвозаиия к эддлм маньи 605 Злмичлнии.
Если функция ) (х) первоначально была задана лишь в промежутке [ — к, к), то, переходя обычным образом (687! к периодической функции, легко усмотрим, что для — к(х(н все остается по-старому, а для х =-+- к пределом интеграла Пуассона, или яобобщенной суммой» ряда, будет у( — я+О)+)(я — О) 742. Решение задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуассона, изученный в предыдущем и', может быть использован при решении так называемой задачи Дирихле для одного простого, но важного частного случая.
Напомним, что функция и=и(х, у) называется г а рм они ч ес к ой в некоторой области, если она в этой области непрерывна вместе со своими ди ди д'и д'и производными — — — — я удовлетворяет уравнению в частных дх' ду' дх" ду' производных (10) (ураэнснис Лапласа). Рассмотрим конечную область ())), ограниченную замкнутым контуром (5). Тогда задача Лир их л е для этой области формулируется следующим образом: на контуре (6) лроиззольно задана непрерывная У функция точки) требуется же найти такую нсярсрыантю а замкнутой области (!)) и гармоническую внутри нес функцию и=и(х, у), которая на кон- а туре совпадала бй с заданной функцией э.
Мы дадим решение этой задачи д для случая, когда область (0) есть круг, г) х описанный вокруг начала радиусом 1 (к это. му, очевидно, легко приводится и случай ~Р) произвольного круга). Итак, пусть на окружности (5) названного круга задана некоторая непрерывная функция точки. Если положение точки на окружности определять полярным уг- Рис. 145. лом 0 (рис. 145), то это равносильно заданию непрерывной (и, очевидно, имеющей период 2я) функции у(0). Нам удобно и внутри круга(0) перейти к полярным координатам г, О, заменив уравнение (10) соответственно преобразованным уравнением дэи 1 д'и 1 ди '~ + — д— + — д — =0 дг' г' д0' г д0 (! О») [см.
аю), 1)); нам предстоит, таким образом, найти непрерывную прн г(1 функцию и=и(г, О), которая при г~ 1 удовлетворяла бы уравнению (10»), а при г=1 совпадала бы с )(0), В порядке наведения начнем с простейших (не считая п о с т о я н н о й) решений уравнения (10*): гэсозпэ, г" ыпп0 (п=1, 2, 3, ...); * В п' 602, 7) было установлено, что своими контурными значениями гармоническая функция определяется о днов'н ач но. (742 гл.
хх. эяды егэьп <пэодолжйиипу найти их можно было бы по методу Фурье (70Ц. Нетрудно проверить непосредственно, что эти функции уравнению удовлетворяют. Умножив их на произвольные множители А„, В„и присоединив еще постоянный член Ат составим ряд и(г, В)=А!+ ~я~~ (АтсоэтВ+Втэк<та)!' т=! который форм а льна" также удовлетворяет уравнению (1О*). Наконец учитывая граничное условие: и(1, 0)=у(0), получим Ао+ ~ Ат соя я<0+Вмял юз=У(6), т=! откуда, как обычно, заключаем, что Ат А, Вт суть коэффициенты Ф у р ь е функции У(6)! от, Ао= 2 Ат=ат Вт — — Ьт. Окончательно приходим к такому, пока ф о р м а а ь н о м у, решению постав.
ленной задачи: и(г, В)= — '+ ~ гт(ат созюО+Ьтмпта). (11) т=! В этом ряде легко узнать ряд П у а с с о н а для функции у (О), который, если угодно, можно заменить и интегралом П у а с с о н а: 1 г 1 — г' (11*) Остается убедиться, что построенная функция в действительности удовлетворяет всем требованиям. Прежде всего, так как коэффициенты ат и Ьт ограничены в их совокупности, то нетрудно видеть, что есаирассматривать лишь значения г.-гт где го.с 1, но может быть взято сколь угодно близким к единице ряды, полученные из (11) почленным дифференцированием по г или по 0 (однажды наи дважды), все будут сходиться р а в но и е р н о как относительно г, так и относительно О.
В таком случае они и дадут посяедоватеаьные производные функции и(г, 6),и эта функция внутри круга,т. е. прн г~ 1,будет удовлетворять преобразованному уравнению Л а п л а с а, поскольку ему удовлетворяют по отдельности все члены ряда. Внутри круга функция и(г, 6) непрерывна по совокупности переменных <г, О); это вытекает иэ равномерной сходимости ряда (11)сразу по обеим переменным (при г( г, ( 1) по теореме 1 и' 431, которая легко распрострэняется и на случай фуйкций двух переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
