Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Не вдаваясь в подробности (ввиду полной аналогии с предыдущим), пркведем сразу схему вычислений, также предложенную Рунге. После опыта, который уже имеет читатель, эта схема ему будет понятна без пояснений. Вот она: ординаты Ув Уы Узь Узв Уы Уы Узз о Уз Уз Уа Ув Ув Ув Уз Ув Уы Уы Уы Узв Ум Узв Уо Узв и, и, и, и, и, и, из и, ив и, и„и„и„ оз оа аз ов ов ое аз ем ив азв озз суммы разности суммы Разности суммы разности Ро Рз Рь Рь Ре Рь Рв еуо рз 6з еуа Че Чв суммы Ро Рз Рв Рь Рв Рь Ре йз нз йв йв уо тз )а суммы разности суммы розносви т, в, т, и, и, Отметим, что с величинами и и г нет надобности проделывать сложения и вычитания.
суммое и, и, и, и, и, и, и, и„ин и„из и, и, разности оз оз оз аь ов оы озо ззв ов оь г г г г г г з, з, з, з, э разности эз зз эз а, э, 570 [729 ГЛ. Х!Х, РЯДЫ ФУРЬП Теперь через полученные указанным путем величины Ь, 1, и, и, 4 и г коэффициенты Ф у р ь е выразятся следующим образом: 240!а йа+ 7!!+ да+ Дз !20, = [да+Обоз+ О 6!24 (О, +,74)[+ [0866006+0707144+ + 0,3536 (Ов — уз) [, 120, = 14 + 0,8660!з + 0,51„ 120з =(в)а рв) + ОД07! (в)! — зуз вув) 12лв = (Ьа — Ьз) + 0,5 (Ьз — Ьз), 12втз = [в)4 + 05!)! + 06124 (в)з + в)в)[ [О 8660!7!+ 0707 !чз + + 0,3536 (в)з — ву„) [, (28) 120„= (а — 1„ 12Ь, = [Обг„+ г, + 06124 (г, + г,)[+ [07071г, + 08660г,— — 0,3536 (г, — г,)[, 12Ь, = 05т, + 08660тз+ и„ 12Ь,=(г,— гз)+0,7071 (г, + г,— г,), 12Ь, = 0,8660 (л, + л,), 12Ь, = [О 5г, + гв+ 0 6!24 (г, + та)[ — [07071гз+О 8660г,— — 0,3536 (г, — г,) [, 12Ь, =з', — ш„и т.
д. Дальнейшие коэффициенты по двадцати четырем ординатам получэются с все меньшей и меньшей точностью. Обращаем внимание читателя на одну подробность. Для получения коэффициентов О, и л, нужно о т д е л ь н о вычислить те выражения, ноторые поставлены в квадратные скобки, а затем сложить их (для нахождения О!) и в ы ч е с т ь (для нахождения л,). Аналогичное замечаниев относительно вычисления коэффициентов Ь, и Ь,. 729.
Примеры. 1) Возвращаясь к диаграмме касательных усилий, представленной на рис. 142, снимем с нее двадцать четыре ординаты и наново произведем гармонический анализ, пользуясь новой схемой: — 739 — 4150 — 300 3250 7000 7450 4500 2750 Π— И50 — ИОО -ттзо — 7400 — Щ50 250 2300 4ЫЮ 6300 7600 6400 3%0 650 — 2250 -4350 — 91 55ю 1!эю 14050 11900 9150 3%0 — 2000 — 7450 — 12%0 — 74!Ю -55О 9Ю Ю1Ю 650 — ЗЮΠ— ЩЮ -жО -Заза — жО -2350 — 7200 — 9300 — 50 5550 1!500 14250 ! 1900 — 7400 — 12050 — 7450 — 2000 3850 9150 — 14600 — 21850 — 7500 3550 15350 23400 11900 200 3250 7400 7550 7650 5100 1000 — 5оаО 950 2500 650 — 3300 — 2850 — 2950 — 3300 — 3850 — 3650 — 1850 — 3500 — 2350 — 1350 — 3000 — 3300 3850 2400 4250 6350 4300 511 з т.
пвиложенип 3850 2400 4250 4300 6350 — 14600 — 21850 — 7500 3550 11900 23400 15350 8150 8750 4250 — 150 — 3950 — 2700 1550 1850 3550 — 26500 — 45250 — 22850 а, = — 783, рэ— Отсюда по формулам (28): аэ —— 427, а, = 1685, а, = — 163, а, = — 304, Ь, = — 318, Ь, = — 398, ат = — 6426, Ь, = — 938, Ь, = 325. аа = 1175 Ьа = 1325, Итак, получается разложение: Т = 421 + 1685 соз т — 938 мп в — 6426 соз 27 + 1325 э!п 27— — 1115 соэ 37 — 87 мп 37 — 783 соз 47 — 318 нп 4в — 163 сге 57— — 398 з1п57 — 304соэбр+325 з!лбу+.. или, объединяя и округляя: Т = 430 + 1930 ип (в + 119') + 6560 ып (27 + 282') + + 1180 мп (3 р + 266 ) + 845 мп (47 + 248) + 430 а!и (5 р+ 202 ) .]- + 445 мп (6 р+ 317') + ...
о которой была речь в и' 727, 3), и, пользуясь указанной схемой, найти приближенные значения коэффицйентов а„аь аь а„а„а„а,, Ошаеш. а,=.0334;а, 0407;а, 0,104; а, . 0047; а,=.0028;а,=.ОО!9; а, 0,014, в то время йак верные знаки будут: а 0,333; а, . 0,405; а, 0,101; а, =0,045; а, 0,025; а,=0,016; а,=-0,011. Кроме приведенных схем лля приближенного вычисления коэффициентов тригонометрического разложенив функции, существуют и другие: для шестнадцати или тридцати двух ординат (обычны в морском деле при изучении девиации компасов), для тридцати шести ординат (употребительны в электротехнике) и т. >ь Придуманы также вырезные шаблоны, автоматически устанавливающие расположение вычислений, Во всех этих случает сущность приемов, с помощью которых достигаются упрощения при практическом вычисаейии коэффициентов Ф > р ь е, остается та же, что и выше.
730. Сопоставление приближенных н точных значений коэффициентов Фурье. Если функция у=У(х) задана з промежутке ]О, 2я] аналитически и дважды дифференцируема, то погрешности найденных выше приближенных формул длн коэффициентов Фурье могут быть установлены, как обычно ]730]. Мы зададимся здесь другой целью, именно, мы выведем соотношения, связывающие п р и б л н ж е н н о е значение данного коэффициента с точными значениями это~о же и других коэффициентов, Эти соотноптения не приводвт к оценкам для погрешностей, ио все же проливают свет на весь вопрос в целом и создают в нем надлежащую ориентацию.
Сравнивая это рззложение с разложением той же величины Т, произве- денным в п' 7ХР, !), видим, что в первых трех гармониках получается более или менее удовлетворительное совпадение, 2) Предлагается читателю вычислить двадцать четыре ординаты кривой у= —,(х — я), 1 т )739 572 ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬП итак, предположим, что для рассматриваемой фуинции у=у(к) в промежутке [О, 2к) имеет место рззложение Фу р ь е: У=А!+ ~', .4л сов лк+ ~ Вл з1плк.
л ! л=! Мы умышленно обозначаем здесь коэффициенты Фу р ь е большиии буквами, чтобы отличить их от пряближенных значений их, которые будут обозначаться 21я малинн буквами. Полагая в написанном равенстве к= — (! =О, 1, ..., Д вЂ” !), Л мы вычислим те частные значения функции уь которые фигурируют в формулах (23), (24) и (25), дающих приближенные значения коэффициентов: 2!ля ъ~ . 21ля У1= А + ) Ал сов — + 7 Вл мп— л=! л=1 Подставим эти величины в первую из этих формул; переставляя суммирования, найдем: со а — ! со а — ! а,= —,( дА, + ',~ Ал ',)' сов + ',)' В„',)' з!и"" ~. Л 1 1=0 л ! 1'=! Но, нак легко видеть, суммы л — ! соз —, равны О, за исключением того случая, когда л кратно Д и первая сумма получает значение д (вторая сумма и в этом случае равна О).
Отсюда сразу получается ос= А!+ Ал+ А,ь+ А,з+ ... (29) Подставляв выражения для ут в формулу (24) и снова переставляя суммирования, получим последовательно: 2 1 ъз,2юл %т 'кт 2жл . 2ля а = — ~А у соз1 — + у А ~~ соз1 — соз1 — + !=О 1=-О со Л вЂ” ! + ~~) Вл ~~) соз1 — мп1 — ~= л=! а — 1 со Л вЂ” 1 = — ~2А, ~~) соз1 — + ~~ Ал[ ~~ солт + 1-Э л=! 1=о + ~)', 12(л,щ) 1+ ИВ„[Х а,12(л+ш) + 1=0 л=! 1 1 л — ! +~ мп1— 1 1 573 $ т.
пРилОжения И здесь также отличными от нуля (и при этом — равными )з) будут лишь те с у и м ы н о с и н у с о в, у которых множитель л -ь щ оказывается кратным Ф, т. е. для значений л вида рй -о-щ (р — целое). Если для определенности считать 2ш ( Д, то пРидем к тзкомУ РЯЛУ длЯ ащ: аж= Ащ+ А„щ+ А„щ+ А„щ+ ... (30) Совершенно аналогична получается, что бы=„— 8, +И„„— В„„+... (31) Это и есть те формулы, которые мы хотели установить. Мы усматриваем из них, что, скажем, ащ отличается от Ащ суммой некоторых козффициентов А с боль щи мй йо мерз ми, если только й веяика, а ш, наоборот, не слишком велико.
Становится ясным, что важную роль в вопросе о точности приближений играет б ы с т р о т а убывания коэффициентов ф у р ь е, которая, как мы знаем [706 — 700), в свою очередь, связана с дифференциальными свайст ванн ункции, продолженной иа весь промежуток ( — оо, +ос). то обстоятельство хорошо иллюстрируется примерами 2) и 3) п' 727: обращаем внимание читателя иа угловые точки грзфика во втором нз них1 Полагая й = 12, мы будем иметь в частности (ограннчнваясь для примера коэффициентами при косинусах): а, = А, + А„+ ...„а, = А, + А„+ ..., лз=Аз+Азо+, аз=Аз+Аз+" и наряду' с этим а, = А, + Л, + ..., а, = 2А, + ...(!), и т.
д. Отсюда видно, что за пределами первых двух-трех гармоник нельзв ждать сколько-нибудь удовлетворительной точности. Результаты сразу улучшаются при переходе к 0=2зй по=Аз+Лзо+, а,=А,+Азз+..., по=Аз+Лот+..., и т. д, Здесь, вообще говоря, можно ждать хорошей точности для первых сеии- восьми гармоник. ГЛАВА ДВАДПАТАЯ РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение) в 9 1. Операции над рядами Фурье. Полнота н вамкмутость 731. Почлениое интегрирование ряда Фурье. Предположим функцию у(х), как обычно, абсолютно интегрируемой в промежутке [ — н, к).
Пусть ее ряд Фурье будет т'(х) 2а+~,'1, а„сових+б„в!плх. л=! Введем в рассмотрение для — к(х~я функцию (2) г" (н) — г'( — н)= ~ у(х) с!х — нов=О. В таком случае, по теореме п' 686, эта функция во всем промежутке разлагается в ряд Ф у р ь е! Г'(Х)= 2 + ат Ая Соз ЛХ+Вя51ПЛХ Ада я ! (4) (который к тому же, согласно 699, равномерно сходится к ней).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
