Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Нэчальное условие в этом случае приводит к разложению Х. ях ал сгм (2п — 1) —" =У(х) — и, 2! 1 не стандартного вида (ср. задачу 25) и' 690). Легко, однако, поназать, что при соблюдении обычных требований относительно функцииу(х) это разложение в действительности имеет место при 20 як 4 1 ил = — У (х) саз (2л — 1) — дк — — и, ° л — ! 2! я ' 2п — 1' 7231 % т. Нэиложпния Итак, окончательно — аох 4 и=по+~',ало соаЛ„х 1 при только что указанных значениях каэффипиентов; то, что это †действительно решение, проверяется, как и в случае (а). В частности, если У(х) =О, имеем разложение: 4ио%1 1 — аол„'г и=ио о р„ е " созЛ„х. = о — я,У„2п 1 По этой формуле, при и,*=300 и а'=0,139*, и были вычислены значения и для различных с й х, и йо ним построены приведенные иа рис.
140 графики распределения температур в стержне в различные моменты времени. год и(х, О) =У(х) ГэерАс 4 г г 4 О Рис. 140. * Имеется в виду ч у г у н случая Р = 0,0072 —;, о = 0,13 — й = 0,00013 Кал Кал кг ° 'С' ' ело ° "С сея' так что а'=0,139. 723. Случай бесконечного стержня. Решим теперь ту же задачу о распространении тепла для случая стержня, бесконечного в обе стороны, скажем, располаженнага вдоль оси х (илй дая всего пространства, если толька во всех точках каждой перпендикуяярнай к аси х плоскости температура одна и та же). Дифференпиальвое урзвнеиие остаетсл тем же; н ачальное условие на этот раз должна выполняться во всем промежутке ( — оо, + аа), а предельных условий, естественна никаких нет.
Как н в прежних случаях получается частное решение уравнения в виде и=(а созЛх+ Ь мп Лх) е но здесь нет оснований из всех положительных значений параметра Л выбирать какие-либо. Поэтому, считая и постоянные а и Ь зависящими от Л: а=а(Л), Ь=Ь(Л), ный стержень длиной 5 слй для этого гп. х~х. гиды огвьк естественно для получения общего решения вместо суммы прибегнуть к интегралу: и = ~ [а (Л) соз Лх+ Ь (Л) з[п Лх] е а ~ тоЛ. (18) Для того чтобы вто — пока фа р и аль нос — решение удовлетворяло начальному условию, функции а(Л) и Ь(Л) должны быть подобраны так, чтобы для всех х было 1 [а (Л) соз Лх+ Ь (Л) мп Лх] с0, = г (х), Ь Предположим теперь, что функция у (х) удовлетворяет условиям приложнмостн формулы Ф у р ь е, которую напишем в виде 1 со ( +О» +СО »С С=-[[ .1»С*С о *С- 1 сс*> * *) с Отсюда асио, что функции о(Л), Ь(Л) можно определить формулами: 1 +о» +СО а (Л) = — $ У'(г) соз Лг стас Ь (Л) = — )г У'(г) з1п Лг стг.
В таком случае решение (18) примет вид: О» +СО и= — ]г а~а сстЛ ] У(г)созЛ(г — х) ° с(г. о — СО Если функция у(х) абсолютно интегрируема в промежутке [ — со, +»о], то [521, теорема 5] здесь можно переставить интегрирования по Л н по г: +СО СО и= — ] у (г) стг ~ е а ~ ~ соз Л (г — х) с(Л. Внутренний интеграл непосредственно вычисляется согласно 6) (а) п' 519; он оказывается равным асс я гам Таким образом, окончательно решение задачи представляется в виде простого интеграла: +со 1х — х)» и== 1 у(г) е а стг. (19) 2а ]/»СГ д Дифференцированием по 1 и по х (дважды) под знаком интеграла легко убедитьса, что зто — действ и тельно решение. Рассмотрим еще случай сполубесконечного», т.
е. бесконечного в одну сторону стержня» например лежащего вдоль положительной части оси х 7241 $7. ПРИЛОЖВИИЯ (или, если угодно, полупространства х)0). Пусть на конце х=О поддерживается температура О. Для етого случая может быть использовано прежнее решение (19), если только продолжить функцию у(х) (здесь заданную лишь для значений х между 0 и + (о) на отрицательные значения х так, чтобы было +ха ) У(л)е а ( ах=О, Ввиду четности показательного множителя, очевидно, достаточно продолжить функцию у(х) н е ч е т н ы и образом. Тогда решение новой задачи запишетсг так: о» [ (х — х(а (х+ х(а 1 ! 2ауяг~ Если потребовать, чтобы при х=О было и=и„то, вводя новую неизвестную функцию о=и — па, легко получит(с аа (х — х)а (а+х(а Р и и [ ' [у(х) и) ~е а" а (а ( 2о )г ят !)т Отметим частный случай, когда при этом у(х)=0; решение примет зигс татг( п=иа ! — = ( е д! У-.
Для па=300 и а'=О 139 а по этой формуле прн различных х и 1 были вычисленй значения и, и йо нпм построены графики распределения темпера. туры в стержне в различныс моменты времени. Эти графики, изображенные на рис. 141, интересно сопоставить с графиками на рис. !40. 724. Видоизменение предельных условий. Вернемся к задзче о распро страненнн тепла в конечном стержне, рассмотренной в 722, но видоизменил предельные условия. Именно, предполасав по-прежнему, что на конце х=( поддерживается температура О, будем считать, что на конце х=1имеет местс свободное излучение в окружающую среду температуры О. Количество тепла подводимого за промежуток времени дг к атому концу, будет [см.
722[: дп(1, 1) дх а количество излучаемого тепла по закону Ньютона [ср, 359, 3)) равно ((аи(1, г) дг, где А есть акозффициент внешней теплопроводностимСледовательно, на конце х=1 должно выпоаняться такое условие. — А ' =Им(1, 1). ди(1, 1) дх а Что отвечзет стержню из чугуна; см. сноску на стр.
537. Гл. х!х. Ряды пульп Если рассмотреть теперь частное решевие — вида и=ХТ, то получим, как и в и' 722: 7. ~е атлм Х=Асозйх+В ми Лх. Предельное условие на конце х= О даст А =О; предельное же условие на конце х = 1 приведет к ражу венству — йЛсоз)1=й миЩ или тйй1= — = Лй 1г й1 [см. 679, 4)[. Общее решение полу- чается в виде: СО и '~~~Ь е — а Ляг л,пЛ В 1 ~ ~ел аш У(х)' (26) ! Рис.
141, его можно рассматривать как об обще ни ый ряд Фурье функции У(») в промежутке [О, 1[ и, пользуясь ортогональностью функций Е„х а!п— [679, 4)], обычным образом определить козффициенты вл: ф ф |лл л" Таким образом, для Л получается ряд значений Ел Лов где Е„(п = 1, 2, 3, ...) суть положительные корни трансцендентного уравнения й 12 Е= — -„— Е й1 слодивм с (16), однако (и зто валюго подчеркнуть) ч и с л а Л„з д е с ь имеют гораздо более сложную природу. Начальное условие приводит к разложению: лат у(х) аш — Пх Еи» 1 с ,Елх мп' — ох 561 Вт. пэиложнния Мы оставим открытым вопрос об условиях, которые надлежало бы нала- жить на функцию у(х), чтобы обеспечить равенство (20), и ограничнмса ф о р и а л ь н ы м решением поставленной задачи.
726, Распространение тепла в круглой пластине. Мы рассмотрим тепловую задачу еще для одного случая — круглой пластины радиуса )т с центрои в нзчале координат. Предположим пластину настоаько тонкой, что по высоте ее температура нс мснвется, а верхнюю и нижнюю ее поверхности будем считать изолировзнными. Больше того, мы ограничимся изучением случая, когда температура и будет зависеть только от полярного радиуса-вектора г (но не от полярного угла В); для этого достаточно предположить, что таковы же на ч а л ьн ые и п ре де ль п ы е данные. [Можно было бы и здесь вместо пластины с изолированными поверхностями рассматривать круговой цилиндр, бесконечный вниз и вверх.) Взяв общее дифференциальное уравнение тсплопроводности: ди — = а'дп дт [672, 3'[, мы прежде всего, ввиду независимости и от л, перепишем его в виде Переходя на плоскости ху к полярным координатам, мм должны заменить выражение в скобках следующим: д'п 1 дтп 1 ди — + — — + —— дг' г' дз' г дг [см.
222, 1[. Наконец, учитывая, что и не зависит от В, приходим к такому уравнению: ди , идти 1 ди т + ). дг = ''тдг' г дг )' (21) Пусть начальное распределение температуры будет задано в виде п(г, 0)=ч(г) (О~г~)1), а предельное условие сводится к и()1, г)=0. Прибегнем и здесь к методу Фурье. Станем искать частное решение уравнения (21) в виде и=)2(г) Т(т) то~да длв определения этих функций получатся уравнении Т+атЛтТ=О и )Т'+ — )Т+Лт )В=О. 1 г Нз первого из них Т=Се . Второе же, если положить г= — — л н — атхж 1 )1 ~ — л ) в У (л) перейдет в уравнение Б е с с е л я: г1 '(Л У'+ — У+ У=О.
1 ГЛ. Х!Х. РЯДН ФУРЬН Отождествим же У с функцией Бе осела с нулевым значком, т, е, поло- жим гЕ(г) =У«(Лг). Предельное условие дает Уа(Л«т) =0. Мы уже упоминали в 679, 6), что функция У«(х) имеет бесчисленное множество положительных корней Е„(я= 1,2, 3,...); таким образом, для Л возможен ряд значений Л„= — "- <я-!.т,з,...> Ел в= уЕ Им отвечают частные решения вида и„=с„е в "в 1«(Л„г), из которых, как обычна, составляется общее решение: и=~ , 'Слл в «~Уз(ЛлГ). ! Остается определить коэффициенты с„, Неиспользованное еще начальное условие дает в атом случае ~) слУ«( — ")=ч(г) (О г~)Е). Мы уже видели в 679, 6), что система функций (уз(Еях)) ортогональна в обобщенном смысле — с «весома ха в промежутке (О, )]; оче- I Евг 11 видно, система ~У«! — 11будет ортогональной в промежутке (О, )т] с «ве- '! УЕ )! сом« г.
Обычным образам определяв козффициенты етого обобщенного р л да Фурье, найдем $ ( ~Евг) о сл гl]ф) лг И здесь мы удовольствуемся полученным ф о р и а л ь н ы м решением. Читатель видит, что последние два примера уже выходят за пределы обыкновенных рядов Фурье. Мы привели их, желая создать у читателя правильную ориентацию в вопросе о приложении рядов Фурье в математической физике.
Они там играют важную роль, но, конечна, далеко не исчерпывают потребностей математической физики: достаточно небольшого изменения условий задачи, чтобы оказалось необходимым прибегнуть к разложениям уже другого рода. Это обстоятельство нисколько не умаляет значения рядов Фурье и развитой для них теории, потому что ряды Фурье навсегда останутся простейшим и важнейшим йримером «ортогонального разложениям по образцу его строятся все другие подобные разложения, теория которых теснейшии образом переплетается с теорией рядов Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
