Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Х1Х. ВЯДЫ ЕХВЬВ где функция т(л), хотя и неизвестна в конечном виде, но задается разло- жением СО я 2 'Ь»Ч 2 сов лв ,(л) = — — ус аю ЛХ, я,й,> л«(я« — П л 3 с 11 коэффициенты которого будут уже порядка 01 — 1и очень быстро убывают. ~л«1 8 6. Интеграл Фурье 111, Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье. Мы хотим воспроизвести здесь в существенных чертах те ззмечательные по их прозрачности, хотя и лишенные строгости, соображения, которые привели Фу р ь е к его интегрзльной формуле".
Если функция С (х) задана в конечном промежутке ( — с, 1), то при определенных условиях, которые нас здесь не интересуют, ее можно предстзвить в этом промежутке тригонометрическим рядом: У(.)= —;+~ ., +Ь. 1 —,, »с=с где с с 1 Г сяяя 1 1" сяяи а = — ~ У(и) соз — с(и, Ь = — ~ у (и) з1п — с(и яс и -С слс -О, 1, я, .„1 С (т 1, т, ...> (см, 688]. Подставляя вместо коэффициентов ам и Ь их выражения, можно переписать ряд в виде у(х) = — $ У(п) с(сс+ ~) — $,у(сс) соз — (и — х)с(и. (1) — с -1 -С Пусть теперь функция с'(х) будет определена во всем бесконечном промежутке ( — со, +со). В этом случае, каково бы ни было х, соответствующее значение с (х) выразится разложением (1) при любом У))х~.
Переходя здесь к пределу при Е-»+со, попытаемся установить «предельнуЮ форму» этого разложения. Про первый член правой части равенства (1) естественно считать, что он стремится к нулю "*. Обращаясь же к бесконечному ряду, в Эта формула, независимо от Ф у р ь е, была получена и К о ш и. ея Это становится очевидным, например, если предположить, что нн- .1. со с«грал ~ у(и) «Си сходится. 711) $6. интвгялл Фгаьн жя мы можем рассматривать множители — под знаком косинуса как дискретные значения я 2я мя г1=1, гя=г~ "° ~ ги — 1~ некоей переменной г, непрерывно меняющейся от 0 до +со; при этом приращение огм = гм+1 г~» = очевидно, стремится к нулю при 1-~.
+ со. В этих обозначениях наш ряд перепишется так: — Ьг, ~ У(и) соа г (и — х) Ни, 1 ът т=! — с Он напоминает интегральную сумму для функции + (Π— ~(и) соа г(и — х)Ни 1 от г в промежутке 10, +оо1. Переходя к пределу при 1-ь+оо, вместо ряда получим интеграл; таким путем и приходим к интегральнои формуле Ф у р ь е: +ОЭ +ОР у(х)= — Нг ~ У(и) соя г(и — х)Нш 1 С Можно представить эту формулу„раскрывая выражение косинуса разности, и в виде 7"(х)= ~ [а(г) сов гх+Ь(г) а1п гх)Нх, где +Ы +СО а(г)= — ~ У(и) соз гаНи, Ь(г)= — ~ У(и) з1п гиНи.
1 1' 1 -Здесь ясно обнаруживается аналогия с тригонометрическим разложением: лишь параметр гл, пробегающий ряд натуральных значения, заменен здесь непрерывно изменяющимся параметром г, а бесконечный ряд — интегралом. Коэффициенты а(г) и Ь(г) также по своей структуре наиоминают коэффициенты Ф у р ь е. Конечно, все эти соображения имеют характер лишь наведения; денствительные условия справедливости формулы Ф у р ь е еще [712 ГЛ. Х!Х.
РЯДЫ ФУРЬЕ подлежат выяснению. Но и при проведении строгих рассуждений мы будем' следовать основным этапам рассуждений, связанных с рядами Фур ье. 712. Предварительные замечания. Относительно функции г(х) предположим теперь, что она абсолютно интегрируема в бесконечном промежутке ( — оо, +со). В этом предположении рассмотрим иьжеграл А +со г'(А)= — ~ бг ~ Р(и) созе(и — хь)би, 1 где А есть произвольное конечное положительное число, а хь — лю- бое фиксированное значение х. Этот интеграл представляет аналог частичной суммы ряда Фурье: из него интеграл Фурье +»» +со 1 — ~ с.
) НО *Ь вЂ” е аг (2) получается в пределе при А — +оо. Так как функция г"(х) и при любом конечном В)0 также абсолютно интегрируема в промежутке [ — В, В), то по теореме 1Чо и' 497 будем иметь: А В в А ')'У(и) созе(и — х)би= ) у(и)би~ созе(и — х)бе= з — в -в э в = ~,г(и) ' Ыи. (3) — в Но интеграл +с» ~ У1'и) соз г(и — хь) г(и мажорируется сходяпгнмся по предположению интегралом +со ~ [,г (и) [ Ии О» н, следовательно, сходится р а в н о и е р н о относительно л (как при и=+со, так и при и= — оо) для любого промежутка его значений.
Таким образом, интеграл ~ ~(и) соз г(и — хь) Ыи при — в  — +со стремится к своему пределу (4) равномерно. Поэтому, переходя в рзвенстве (3) к пределу прн  — +со, в интеграле 7131 527 за. интвгвлл ФуРЬВ слева предельный переход можно выполнить под знаком интегралаа [теорема ! п' 493) *. Отсюда для 7(А) получается выражение в виде интеграла +сю .7(А) = — ' 1 У( )"""'" «'~би напоминающего интеграл Д и р и х л е !681) и в действительности играющего такую же точно роль.
Элементарным преобразованием его легко привести к виду +03 У(А) = $ г'(ка+') с — (у(ма+ )+у(ка — Н вЂ” ~д ( ) Для дальнейшего изложения нам понадобится следующее очевидное дополнение к основной лемме и' 681: Если функция и(!) абсолютно иктегрируеми а бесконечном промежутке (а, +со), то +СО Пш ~ и(!) з!и рЫ1=0 е-+~~, (равно как н +Ой Нш ) и(!) совр!б1=0). +ю я йоказательство можно скопировать с доказательства самой леммы и' 681 (для случая, когда функция У(х) имеет особую точку). 713. достаточные признаки.
Умножив обе части равенства 1= — — сЫ (А)0) — — 9 (!) с ! Г а!пАГ (6) я Ср,теорему !!Г и' 508, где полинтеграаьную функцию мы предполагали не пр.ер ыа пой. Здесь мы такого предположения не делаем. на постоянное число ~ — предполагаемое значение интеграла (2), вычтем результат почленно из равенства (5). Мы получим ОЭ ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬВ если, как и в пь 683, положить для краткости ~р (!) =У(хь+ () +У(хь — () — 28ь.
И здесь мы ограничимся случаями, когда (а) функция г (х) в точке х, непрерывна, либо (б) имеет в этой точке с обеих сторон разве лишь разрывы первого рода. При этом мы полагаем: в случае (а) Юь — — У(хь), в случае (б) 8=У( ь+ )+У( ' 0 2 В этом предположении имеем теперь Признан Дини. Интеграл Фурье функции г(х) в точке хь сходится и имеет значение Ю„есл!г нри некотором а > О сходится интеграл ! р(г)!„ С Представим интеграл (6) в виде суммы интегралов: Первый из них при А — +со стремится к нулю — в силу основной леммы пь 682. Что же касается второго, то, подставляя вместо у(!) его выражение, разобьем этот интеграл в свою очередь на два слагаемых: 'т У(кь+Г)+У(Хь — Г) ~( ~С 2 6. т а(ПАГ (( я г с Ввиду предположенной абсолютной интегрируемости функции г будет абсолютно интегрируемой и функция у(х, + С) + 5(х, — Г) а тогда первое слагаемое при А — +со стремится к нулю уже в силу того дополнения к основной лемме, которое сделано в конце предыдушего п'.
Наконец, стремление к нул!о интеграла а(п Аг ~ а!и е непосредственно очевидно по самому определению несобственного интеграла. 7141 $ Е, ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Отсюда, как и в п' 684, могут быть получены более простые частные признаки. Упомянем для примера, что достаточным является существование для функции у(х) в точке хе конечной производной или, по крайней мере, конечных односторонних производных.
К интегралу Фурье приложйм также и Признак Дирахле — Жордана. Интеграл Фу р е е функции 1(х) в точке хо сходится и имеет значение 8о, если в некотором пРомежУтке [хо — Ь, хе+ Й) с центРом в атой точке 16Уккция у(х) имеет ограниченное изменение. Если интеграл У(А) = — [У (хо+ 1) +У(хо — 1)1 — сЫ представить в виде суммы интегралов И'И то про второй из них ны только что установили, что он при А — оо стремится к нулю, Первый же стремится к — на этот раз на основании леммы п' 68б. Действительно, функция Яке+1)+У(хо — 1) в промежутке [О, Ь) значений 1 имеет ограни« ченное изменение и, следовательно, представляется в виде равности двух возрастающих функций, к каждой из которых в отдельности лемма приложима.
714. Видоизменение основного предположения. В основе наших расс жлений до сих пор лежало предположение, сделанное в начаяе и' 712, что упкция у(х) абсолютна иптегрирусма ео всем бесконечном арамежутке от — со да -)-оз. Затем уже, налагая дополнительно различные условия на поведение функции з непосредственной окрестности интересующей нас точки х„мы н получим те нли иные достаточные признаки представимости функции а втой точке интегралом Ф у р ь е.
На практике, однако, указанное выше основное предположение иной раз представляется стеснительным, и мы сохраним лишь допущение, что 1'. Фуякция у(х) абсолютна иптегрируема е каждом конечном промежутке, а условие на бесконечности заменим следующим: 2'. Для ) х)~Н функция у(х) макатакпае и притом 1ип У(х) = О. П) Точнее говоря, она монотонна для х ) Н и для х ( — Н по отдельвости. бЗО ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ Вспомним, что в рассуждениях п' 712 существенную роль играла равномерная относительно г сходимость прил=+со и при и= — со интеграла(4) +СО ~ у(и)созг(и — х,)ах Так как для г~а)0 2 2 'анг(и — х~) а1и ~ — ( —, ут то по признаку 2' п' 515 мы и сейчас можем заключить о равномернойотно- сительно г сходимости зтого интеграла, но, как видим, на зтот раз лишь лля значений а ~а,где а — любое, но фиксированное п о по жи т ель нос число.
Это вынуждает нас ввести з рассмотрение вместо У(А) интеграл А +ог г(А, я)= — ~иг ~ у(и)созг(и — х,)ди (А)а~о), 1 Г из которого интеграл Ф у р ь е получается прн двойном предельном переходез при А — +оэ и а О. Для интеграла Х(А, и) уже можно получить совершенно так же„как зто сдеаано з п' 7!2, выражение у(А, а) = — ]У(хе+ т)+у(хг — т)] — йу— 1 Р апАт — ]у(ха+ т) +у(ха — с)] — ит, (8) 1 зй) оз так что Докажем прежде всего, что Вш (у(х.+т)+у(х, Г)] — из=О. з(п ат я о г г З (10) Представим наш интеграл в виде г(А л) ог= ~ 'р(г) ит 1 Р ипАт з чг — — ' (у(х,+т)+у(х,— З)] — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
