Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 86
Текст из файла (страница 86)
708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье. Мы видели, что наличие у функции ряда непрерывных производных обеспечивает быстрое убывание коэффициентов Фурье и, как следствие, быструю сходимость ряда Ф у р ь е. Однако в математической практике чзсто встречаются случаи, когда разложению в ряд Фурье подлежит функция, которая в пределах от — в до я как бы «склеивается» нз нескольких функций, имеющих каждзя в своем промежутке определенное число производных. В точках «стыка», таким образом, создаются с к а ч к и как для самой функции, так и для ее последовательных производных. Эти разрывы понижают порядок малости коэффициентов Фурье, а вместе с этим, как легко понять, и порядок малости остатка ряда Фурье.
Обратимся к детальному исследованию этого вопроса. 1'. Пусть функция г(х) будет непрерывна в промежутке [ — в, я), исключая «точки стыка» в которых она имеет разрывы первого рода, т. е. претерпевает скачки Ь,',"=У(.„+0) У(6 — О) (р=1, 2, ..., л1). 5!О гл. х~х. вялы ви ьв отлична от нуля, ибо в этой точке появится разрыв при периодическом продолжении функции. Предположим, далее, что повсюду, исключая лишь указанные точки, сушествует конечная производная /" (х), скажем, абсолютно интегрируемая в промежутке [ — к, я1, Для выражения коэффициента а„ функции Г(х) мы снова перейдем к интегралу Стилтьеса и проинтегрируем по частям [см. равенство (7)]. Если выделить в последнем интеграле слагаемые, отвечвюшие скачкам функции у(х) [б79, (15)[, то получим а„ = — ~ у (х) созлхг(х= 1 Г 1 ъч 1 — — 3'" а!ил! — — ~ У'(х) я1п лхЫх ля а~~ я л пп в 1 — я или, короче, Вл л= л п Э (1О) где положено А„= — — У 6„" з1пл!, л Р' в 1 а через лл', как и раньше, обозначен коэффициент Фурье для функции ~'(х).
Аналогично можно установить, что (11) В„а„' л [ л л л п ~ (12) где В„= — „лг 8,',"'созл3,, ! ът я=а а а„' также означает коэффициент Фурье для т'(х). Наложим теперь на производную ~'(х) требование, чтобы она имела ограниченное изменение в промежутке [ — я, л). Так как ее коэффициенты Фурье при этом предположении имеют порядок 0[ — 1 [707[, то формулы (10) и (12) можно переписать и так: г! а 1л ) а„= — "+О( —,), (! 4) Вч+О~1) (15) К их числу должна быть присоединена и точка та= — к, если разность йаи = 7 ( — л + О) — 7 (л — О) $6.
Оцинка остатка где А„и В„имеют прежние значения. Тогда для разности У(х) — У(х) получится разложение вида 1 — «а+ ~1 а„сов пх+р„з!п лх, в 1 где а„, ~„=0( —,), ~ а„~, ~ ~„~ ( —, (К= соиз1). т. е. ст 1 Этот ряд, мажорируемый сходящимся рядом 2К у —., сходится по- ~~~ лм 1 всюду равномерно. Отсюда уже ясно, что разность У(х) — ~(х) представляет собой непрерывную функцию с периодом 2я и, следовательно, у(х) имеет те же скачки и в тех же точкзх, что и у(х1. ч Мы н здесь и впредь всегда подразумеваем, что У(1я)=у (У(Ер.+О)+У($я — О))э 1 равно яак тая что зсе точки разрыва оказываются регулярны ми (см. 684). Эти формулы с отчетливостью показывают, как наличие точек разрыва у функции, несмотря на существование производной во всех прочих точках, сразу понижает порядок малости коэффициентов Фурье.
Пусть теперь, наоборот, известно, что коэффициенты Фурье некоторои функции у(х) имеют вид (14) и (15), причем величины А, В„определяются формулзми (11) и (13), где (Ь„'") есть данный набор лг+1 чисел. Тогда функция У'(х) необходимо имеет разрывы первого рода именно в точках (0) и претерпевает в них скачки, соответственно равные 3'"(р.=1, 2, ..., лг); кроме того, для нее сушествуют пределы /( — я+О), у(я — 0)з, и их равность равна Ь',", В прочих же точках функции непрерывна.
Для того чтобы в этом убедиться, состзвим вспомогательную функцию 7(х), например, из линейных в ((, Е„„,) функций так, чтобы она в указанных точках претерпевала как раз указанные скачки. Для ее коэффициентов Фурье имеем аналогично (14) и (1б): 5!2 ГЛ. Х1Х. РЯДЫ ЕУРЬВ У'( — и+ О), У'(1 -+-О), У'(к — О) и, кроме того, что повсюду (исключая «точки стыкаъ) существует вторая производная 7" (х), которая к тому же в промежутке [ — в, я! имеет ограниченное изменение. Используя уже доказанное, можно утверждать, что тогда л'„а'„' л'„ если через А'„, В', обозначить аналогично (11) и (13) величины А„'= — — ~~ 3 "а1п лт, 1 Ъ~ ч,.
в Р=! (и=1, 2, 3, ...), т В.'= — „' 2', 3ии созж„, (16) (! 7) где 3„" =У'(!,-~-0) — У(1,— 0) (!.=1, 2, ..., „), Ь,ч'=7" ( — 1Г+ 0) — У'(к — 0). Подставляя же эти выражения для а'„и Ь'„в формулы (10) и (12), окончательно получим для рассматриваемого случая: л в'„ а„= — ' — — „+ О Я, в„= — „"+ „—,"+ о ~ — „,). в„л'„ (19) И здесь также можно доказать в н е к от о р о м с м ы с л е обратное утверждение.
Пусть коэффициенты Фурье некоторой функции г(х) имеют вид (18) н (19), причем величины А„, В„, А„', В„' определяются формулами (11), (13), (!6), (17) при данном наборе чисел (Ь'"», (3Р"), Тогда про функцию У(х) можно утверждать, что она непрерывна и имеет непрерывную производную~" (х) повсюду в ( — ю я), исключая точки $Р, где и функция и ее производная претерпевают скачки, соответственно равные 3,'„и и 3"'! кроме того, т ( — и + О) — г (и — О) = Ь,'" У'( — и + О) — ~ (и — О) = Ьч'.
2'. Теперь предположим сверх сказанного, что первая производная 7'(х) имеет предельные значения 768) % З. ОЦЕНКА ОСТАТКА Доказательство, как н выше, осушествляется с помощью построения вспомогательной функции 7(х), которую на этот раз можно составить из квадратичных функций так, чтобы она и ее производная имели именно указанные скачки в указанных же точках. Легко усмотреть, что разность |(х) — 7(х) будет разлагаться в ряд Фу р ь е с коэф- !1! фициеитзми порядка О ~ †~, Тогдз не только этот ряд, но и ряд, полученный из него почленным дифференцированием, с коэффициентами /1! порядка О! — ь!, будут сходиться равномерно и, следовательно, равность г'(х) — 7(х) будет периодична (с периодом 2з) н непрерывна вместе со своей производной.
Отсюда и вытекает требуемое утверждение. 3'. В обшем случае пусть ~ у; ..., У~А '! непрерывны в ( — и, я), исключая точки 1 (1ь=О, 1, ..., и), где все эти функции претерпевзют скачки, соответственно равные о„, о„, ..., оо (1А=О, 1, ... > и). Кроме того, предположим, что повсюду (исключая «точки стыкаь) сушествует производная у1~! и имеет в промежутке ( — я, и1 ограниченное изменение. Введем обозначения: ль о ! !!.-О1, .... А — 1; л-1, О, З, ...! В1„" = — ~~> ою соя л(„.
Тогда имеют место формулы (соответственно, при л нечетном и л четном); : А!А +-( — 1)У „, + О ( „1ь, ); А-! В!А — !) +( — 1) ' '„. +О~ — „,'„), А А!А +( 1)т л +О( 1 ) Ал Вл и = —" — —"— л л' (20) А'„' В'„" В„А„' =. +.
(2!) В" А„"' л' л' Ясли же известно, что имеют место подобные формулы, то отсюда, ь обратно, можно (как и выше) сделать заключение о точках разрыва н величине скачков самой функции и ее~а — 1 производных. 17 Г, м. Филтллгольл, т. П! 514 ГЛ. Х1Х. РЯДИ ФУРЬВ 709. Случай функции, заданной в промежутке 10, я1. Как мы знаем, если функция г (х) задана лишь от 0 до я, то при соблюдении надлежа1цих условий ее можно разлагать в этом промежутке как в ряд по косинусам т (Х)= 2 + ~Ч'~П»СОВ ЛХ (0«~Х~и) 1 (22) так и в ряд по синусам О) у(х) = )~ ~Ь„з1п лх (0(х(я) (23) 16891.
Такого рода разложения чаще всего встречаются на практике. Результаты предыдущего и могут быть приложены и к рассматриваемому случаю, если представить себе функцию г(х) продолженной и на промежуток ( — я, 0) (а) четным образом — для получения ряда по косинусам илн (б) нечетным образом — для получения ряда по синусам. Пусть точками промежутка (О, я), где функцияу(х) и ее производные до (А — 1)-й включительно имеют скачки, будут 0((1 ((а( ". ((,д <.-я, а сами величины скачков попрежнему обозначены через В случае продолжения функции четным образом скачки в точках 1 воспроизводятся н в точках — („, но с обратными знакамй, при продолжении же функции нечетным образом скачки воспроизводятся в точках — 1„с сохранением знаков. Далее, для четной функции ~(+ 0) — У'( — 0) = О, У( — я+ 0) — ~(я — 0) = О, для нечетной же функции скачки ,У(+ 0) —.У ( — 0) = 2У(+ 0) ~( — я+ 0) — Дя — 0) = — 2~(я — 0) вообще могут быть отличными от нуля.
Наконец, отметим еще, что прн дифференцировании четная функция переходит в нечетную, а нечетная— в четную. Если учесть все эти замечания, то для коэффициентов а„ и Ь„разложения нашей функции, соответственно, по косинусам или 510 Я Ь. ОЦКНКА ОСТАТКА по синусам получатся формулы вида (20) н (21), но с такими значе- ниями для Ал!' и В!л~: р ! )2(0 — 2 ~ '~~ 3!" сони[„+у!!! (+ О) — соз пл У!$1 (л — 0)~. (24) В связи с этими формулами сделаем следующее важное з а и е ч ание. Пусть функция у(х) непрерывна во всем промежутке [О, л] вместе со своими производными до (й — !)-го порядка включительно; кроме того, пусть существует и й-я производная и имеет в этом промежутке ограниченное изменение.
Тем нг менее, вообще говоря, и е л ь з я утверждать относительно козф- 1! !Рияигятоа а„и Ь„разложений (22) и (23), что они будут яорядка О ~ — лыв] [ср. 707 и формулы (8)1]. Действительно, хотя все суммы А!т! в этом случае будут нулями, этого нельзя сказать про суммы В!О = — (Ув!' (0) — соа ял У»!' (л)]. 12 1 1440 кч 1 лв ,ьвв т(2» — !) л' (2» — !)$ ) ~ соа (2» — 1) х+ — ~у — а1 п 2»х. ,в ~~ (2»)в » 1 ! Изложенный здесь прием указан А. С. Маане в ым, 17$ Продолжение функции нечетным образом искусственно создает разрыв при х= =0 или нарушает периодичность у самой функции и ее производных четного порядка, а продолжение четным образом делает тоже с производными нечетного порядка! Поэтому, если требуется разложить упомянутую функцию У(х) в промежутке [О, л] в быстро сходящийся ряд, с полным использованием дифференциальных свойств функции, целесообразно продолжить ее на промежуток [ — л, 0] с помощью иного ч лена (2й — 1)-й степени г(х), определяемого из условий г (0) =у (0)„ г'(0) =у" (О), ..., г а " (О) =у»л " (О), г ( — л) =у(л), г'( — л) =у' (л), ...
, г" " ( — л) =у" " (л). [Построить такой многочлен можно, например, по способу, указанному в и хо7.[ Таким путем мы сохраним дифференциальные свойства функции для всего промежутка [ — л, л]. Пусть для 0(х~л, скажем,У(х)=х — —. Лля того чтобы осуще- /1) , ствить разложение этой функции с коэффициентами порядка О [ — 1! мы про! н'/в должим ее с помощью многочлена л !" 12 ЗО 201 12 30 20 „л г(х) =х — — +ха ! — — х' — х — — )! = — — х' — — хв — — х'+ х — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
