Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Мы знаем, что ряд Ь! аю(2а — !)х (, япзх ып5х 2л — ! 1 3 5 =2 [ Мпх+ — + — +... ь=! схолится к сумме — если О ( х .с я, 2 ' О если х=о вс х — — сслн — я(х ~ О 2' а(х)= * Сн. сноску на стр. 44?. которая, также в силу 3; равномерно стремится к нулю". Обратимся, наконец, к интегралу ! Ь ип и+ 2-) С !) — ~ [у(х+!))-у(х — Г)) гИ. 1ак как в промежутке [А, В) функция У(х) представляется в виде разности двух непрерывных возрастающих функций: )'(х) =Л (х) — гч (х), то, применяя к каждой из них предложение 4ь, убеждаемся„что ! я этот интеграл стремится к пределу — ° —.2? (х)=г (х) ра зноя 2 мерно же.
Этим н завершается доказательство. В частности, если функция У(х), заданная в промежутке [ — к, и), непрерывна в атом промежутке и имеет в нем огра- ниченное изменение, а также удовлетворяет условию у( — я) =у(я), то ее ряд Фурье во всем промежутке сходится к ней ра.вно- мерно. Для доказательства достаточно распространить функцию по закону периодичности, с периодом 2я, на всю числовую ось, а тогда за промежуток [А, В] взять любой, содержащий внутри себя проме- жуток [ — к, я]. 491 в д хлвлктнв сходимости видов ои ьи (см. 690, 4))1 в точке х= О вта функция претерпевает с к а ч о к и справа, н слева: а(+0) — а(0)= —, е(0) — а( — 0)= —. 2' 2' Изучим поведение частичной суммы ряда * и Ст з1п (2» — 1) Х а,„,(х)=2 г »-1 мп (2» — 1) 1 — + х' 11 = ми (2» — 1) ( — — х' ) показывает, что а,л,(х) симметрична относительно точки х = — ° 21 это позволяет ограничить исследование промежутком 0— [' 2)' Для суммы еал,(х) легко получается выражение: л Х ...,(>-2)ь ~..
з.~...-;. а — и ~ .= ~'— ",2""и, з1п и (6) или, если положить 2пи=й 1 Г ипт чэз-э (.т) = 2— — Ф. 2п 9) юп— 2я (7) Последнее выражение можно написать в виде с>ммы: »ч зла ,(ч=п( ~-~-1 -~ ....~ 1 -~- ( ) — Я, (8) Ф 1» — Оп Й мп= г2пхт где Д=Е ~ — ). Полагая вообще 0+1) ч 1 ~ зэпт 2п 1 . С вЂ” — 4т=(— 2п для1=0,1,...,п — 1 й з|п 2п имеем, очевидно, от > 0 и пмэ Сот.
Таким образом, окончательно: (9) еал-1 (х) = ою оэ + ". + ( — 1)» э и» г + ( — 1)»п» (8 ") а Очевидно, а„,(х)=а,„,(х). Ввиду ее нечет ности достаточно рассматривать эту сумму лишь в про- межутке (О, п). Больше того, очевидное тождество (ЗОО 492 ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ х = — (т=1,2, ..., п), 2п именно максимумы нри т нечетных, микимумы при т четных. т - —, (т+ 1) — ~ функция а,„, (х), как лвстпри т четном и у б ы в а е т при ль нечетном ь. Действительно, в промежутке вует нз (8*), возрастает б фб г.р бб гб гу др гух Рис. 133.
Наконец, нз представления экстремального зиаченил с,„, (хщ) = о, — о, +... + ( — 1)т от с учетом неравенств (9) получаетсн также, что 3) при изменении х в пределах промежутка ~О, — 1( максимальные 21 значенин с,„, (х) слева направо убывают, а минимальнйе — возрастают. Все этй утверждении иллюстрируются рис. !ЗЗ, где для примера изобралсен график функции сы(х).
Остановимся теперь на наибольшем максимуме функции с,„,(х), т.е, на нервом ее максимуме, считая от х=б. Он принимается ф)шкйией в точке х1п) —— 2п " Утверждение 2) об экстремумах функции а,„,(х) легко получается н из рассмотрения производной б — с,„, (х) = . (см. (6)), яп 2пх где через( — 1)"оьь обозначено последнее, >неправильное>, слагаемое; оно имеет знак ( — 1), а по абсолютной величине меньше оь, Отсюда непосредственно вытекает рнд заключений о поведении суммы с>„,(х), если п фиксировано, а х изменветсн от О до - — : 1) сумма а,„,(х) положительна, обраиьансь в нуль лишь при х=О; 2) она имеет экстремумы в точках 7001 493 в к хлвлктвэ сходимости эядов озвьн и равен по величине (см. (7)) М, =езл-ю(хт )=2 — — 'Й.
1т <п1 1 Г з1пт 2п ~ ип— 2п Здесь в обозначение введен номер и, ибо на этот раз мы намерены проследить за поведением функции именно при изменении и. Очевидно, х(п! монотонно убывает при возрастзнии и и стремится к О при и + со. Для облегчения исследования самой величины М1"1 перепишем выражение для нее в следующем виде: ) т .
г нп— 2п е Так как второй множитель в подинтегральном выражении с возрастанием и рави ам ер но (относительно е) и притом убывая* стремится к единице, то, очевидно, и М!"1 уй ы в ал стремится к пределу: (10) Итак, имеем: 4) первый (наибольший) максимум функции а,„,(х) достигаемся при значении х = х!"1, которое монотонно убывая стремится К нулю при безграничном возрастании н„а самый максимум М!"1 при этом монотонно убывая стремится к пределу Ип выражаемому формулой (10). Аналогичное утверждение можно было бы сделать вообще относительно й-го (й фиксировано!) экстремума функции: оно доетигаетея при значении ~п) 2п которое стремится к 0 при и со, .а величина Мйп! Л-го экстремума при этом монотонно стремится к пределу Г а1цг Ь а именно — убывая, если речь идет о максимуме (й — нечетное), и возрастая — в случае минимума (й — четное).
Для иллюстрации мы приводии рис. 134, где сопоставлены графики первых шести сумм в,„, (х) при и =1, 2, 3, 4, 5, 6. з в Мы используем здесь тот факт, что функция †. при возрастании з тпз от 0 до — и сама в о з р а с т а е т, 2 494 !700 ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ Числа йы как явствует из рассуждений, проведенных в и 439, попеременно то больше, то меньше числа 5 Разности рл = ма — — имеют следующие значения: 2 рг=0281 ' рзыя 0153! рв=Ою104' ра= — 0073! рл=0,063! " (!!) Теперь мы в состояняи уже достаточно полно охарактеризовать сходимость частичных сумм а,„,(х) ряда (5) к его сумме а(х); ограничимся для определенности промежутком (О, я).
др гг г бу гу и 3уж р фу бр (у гр Рис. 134. Если точки разрыва х=О и х=я выделить сколь угодно малыми окрестностями (О, л) и (я — л, я), то в остающемся промежутке (л, я — л), в силу доказанного в предыдущем и, ряд сходится равномерно, Иными словами, графики частичных суми а,„,(х) при достаточно больших л сколь угодно тесно примыкают к прямой у= — сразу на всем протяжении етого 2 промежутка. Вблизи же точки х=О (их=я), где функция е(х) скачком переходит от значения — к значению О, равномерность приближения есте- 2 ственно должна нарушиться, ибо е,,(х) от близких к — значений при ав-г 2 х=з (или я — л) непрерывным образом переходят к значению 0 при х= О (или я), Весьма замечательно, однако, что нару шеи не равномерности не исчерпываетсн только сказанным; к атому факту мы при- влекаем внимание читателя.
В непосредственной близости к оси у справа, прежде чем резко устремиться к начальной точке (О, 0), графики функций ч Ср. 412, 4). 201[ 8 к хлрлктвв сходимости рядов агрьв ч,, (х) колеблются около прямой у = — причем аамплнтуды» этих колеба- 2' ний вовсе не ииеют тенденции бесконечно уменьшаться при п — со. Наоборот, как мы видели, высота первого, и наиболее высокого, горба н а д упомянутой прямой стремится при этом к величине р,=0,281; за первым горбом, передвигаясь справа налево с возрастанием и и сгущаясь к оси у, следуют дальнейшие впадины и горбы, причем расстояния их вершин от прямой у = — при 2 и а» стремятся, соответственно, к дальнейшим величинам р„р„... и т. д. из ряда (!!). Аналогичная картина имеет место вблизи прямой х = з слева. Точно также вблизи осн у слева снова повторяется та же картина с тем лишь изменением, что все рассматриваемые величины получают обратные знаки, У Можно сказать, что »предельным геометрическим образом» при Ю д х является не ломаная, изображеннзя на рис.
135, а (как естес~асино было быожилать!), а ломаная рис. 1 ат бт 135,б ссоответстзенно удлиненн ы м и — примерно на 0,281: — = я Рис. 35. ис. 135. =18',— вертикальными отрезками. тот своеобразный д е ф е к т с х о д и м о с т и впервые был в самом конце прошлого века отмечен, также на частном примере тригонометрического разложения, Гиббсом (1. %. ИЬЬ») и в связи с этим известен под названиеи яалеяйл Гиббса.
Мы увидим сейчас, что зто явление в некотором смысле имеет место в общем случае. 701. Случай произвольной функции. Рассмотрим периодическую, с периодом 2я, абсолютно интегрируемую функцию У(х), с и за л и р о в анной точкой разрыва первого рода х=х,. Тогда в некотором промежутке [х,— й, х,+Д[ (Д)0) не будет других точек разрыва; для простоты пред-' положим, что в этом промежутке функция имеет ограниченное изменение. Введем теперь функцию а (х — х,), которая отличается от изученной в предыдущем п' функции сдвигом вправо на х„и составим с ее помощью функцию р (х) = у (х) — 2 — — [у (х, + 0) — / (х» — 0) [ а (х — х ).
у(х»+0)+у(х» — 0) 1 Если условиться за значение у(х») в точке разрыва х=х, принимать ~+~~ ' ), то, как легко проверить: 2 р (х»+0) =т(х» — 0) = р(х») =О. Функция т(х) в точке х=х, оказывается н ел ре р ы аной: с помощью функции ч удалось компенсировать разрыв функции /! Функция т будет непрерывна н в прочих точкзх промежутка [х, †, х, + д[, если взять д С я; кроме того, вместе с функциями у и а функция т также будет иметь в названном промежутке ограниченное изменение.
Теперь мы можем написать: 1 у(х) = у (х,) + — [у (х, + 0) — у(х, — 0) ! а (х — х,) -[- р (х), Заменив здесь каждую иэ функций а(х — х,) и т(х) ее разложением в ряд !70! 490 гд. хох. ряды ои ьв Фурье, мы получим, очевидно, и разложение заданной функции в ряд Фурье. Частичная сумма зя(х) последнего ряда представляется в виде: з „, (х) = у (хо) + У ( о + ) — У ( о — аж (х — хо) + ае (х). Здесь, при е=2л — 1 нлн 2л, яп(29 — 1)(х — х ) ° ( — ) — '~ 29 — 1 ь-! и (созхо яп(29 — '1) х — яп хо соа (2Л вЂ” 1) х), %! 1 ь=! а ре(х) означает соответствующую частичную сумму ряда для р.
Так как р(хо)=0 и функция р(х) в точке х, непрерывна, то при достаточно малом Ь в с е ее значения в промежутке (х, — Д, х, + Д) будут с к о л ь угодно малы. В то же время в этом промежутке р (х) стремится к р(х) р а в н о м е р н о, следовательно, при достаточно большом е и значения топ(х) будут скол ь угоди о и алыми. Таким образом, поведение сумм зе(х) в основном определяется уже известным иам поведейием сумм ае(х — х,); наличие слагаемого р (х) вносит в него лишь незначительные искажений, тем меньшие, чем ближе х к х, и чем больше е. Если при нечетном е=2л — 1 положить Ее=хо+ =хо + 2л е+1' а при четном е=2л: оо сс Еп,=х,+2 — — — хо+ „с то Ее — хо Наряду с этим, если учесть (1О), 1.
(Е ) у( )+У(хо+О) г(хо О) е»» я так как, очевидно, при е — со 'Рпс (Ея) = (ря (Есп) — ср (Ея)) + ср (Ея) — 0 Заменяя р, на — +р, и вводя величину скачка 0=1(хо+0) У(хо 0) можно переписать полученный результат и так: 1пп зе (Ее) =У(хо+О)+ — р,.
0 пс о» я Аналогично, полагая Епо = хо —,, нли х — —, е+ 1 е ' в зависимости от того, будет ли е нечетным или четным, получим: !пп зе (Ее) = У(хо — О) — — р о 0 (13) сп а» и Таким образом, и в рассматриваемом общем случае п р е д е л ь н о е значение колебания сумм з (х) в окрестности точки разрыва х, оказы- вается больше самой величины (О ~ скачка функции у(х) на 2(0( Рн 497 702] $ д хлзактвв сходнмости РядОВ Фуиьп т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
