Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 85
Текст из файла (страница 85)
До сих пор, однако, не решен вопрос, может ли ряд Фурье непрерывной функции быль всюду расходящимся. Правда, пример всюду расходящегося ряда Фурье был дан с помощью тонкого построения акал. А. Н. Колмо гор ов ым, но его пример относится уже к функциям более сложной природы и притом использует более общее, чем обычное, определение понятия интеграла (принадлежащее Лебегу). ф О. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции 704.
Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных. Рассмотрим функцию У(х) с периодом 2к, имеющую производные до л-го порялка (л~ 1) включительно. Первые и — 1 из них, разумеется, будут непрерывными функциями; относительно А-й производной предположим покуда, что она (абсолютно) интегри- % а. Оценка остатка руемз. Обозначая по-прежнему череа а, Ь коэффициенты Фурье функции у(х), для производной ггп(х) (1=1, 2, ..., ь) коэффициенты Фурье мы будем обозначать через а~", Ь<'~. Интегрируя по частям, найдем (для лг= 1, 2, 3, ...) япмхм 1 г вам= — ~ г(х)сов тххх=У(х) ~ — — т У'(х) з1п тхг(х, гл — и гл так что Ьт а ЛВ Ю 1 аналогично Ь Если полученные формулы применить к коэффициентам а~, Ь' и вырзжения последних через а.", Ь;„подставить в формулы для а, Ь, то окажется, что ляг Ь" а Ь т м и" м и Продолжая этот процесс, мы индуктивно установим окончательные формулы, в которых приходится различать случай четного и нечетного Й при 1=26: а,„=( — 1) — а-, Ь„,=( — 1)" — Х-, (1а) 16 Ю Ьмч а(а) при /г=2Ь+1: ам=( — 1)аь' — ~ —,, Ьм=( — 1)" — а-.
(1б) Рг" м Поставим себе задачей, пользуясь этими формулами, установить о ц е н к у для остатка ряда Ф у р ь е А-кратно дифференцируемой функции, при тех или иных условиях, налагаемых на А-ю производную. В начале предыдупгего параграфа мы изучали вопрос о равномерной сходимости ряда Фурье, т. е. о равномерном стремлении его остатка к нулю; здесь, правда, при более тяжелых предположениях, мы оказываемся в состоянии оценить даже быстроту этого стремления, установив порядок малости остатка в зависимости от дифференциальной природы функции. 70б.
Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции. Предварительно мы дадим оценку для частичной суммы з„(х) ряда Фурье, равно как и для частичной суммы а,(х) сопряженного с ним ряда, предполагая функциюу(х) только ограниченной: /У(х)((М; под М здесь можно разуметь, например, точную верхнюю гра« нину для 1г(х)(.
[768 ГЛ. Х1Х. РЯДЫ ФУРЬВ Г1о известной формуле [см. 661, (4)] (' 51. (л+-,'-)1 5„(х)= — ~ [Г(х+1)+У'(х — !)] ГИ. 2 5!п — 1 2 о Отсюда последовательно имеем '". ) 51п [л+ 2) и] 5!п [и+ — -) 1] ]5„(х)]~ с(1(М 11! = 2 5!н —, е 2 о о [иЧ- — ) и 1" +5) ' =М ~ йг(М йг+М ! В!пн ! г г и и = М [! + 1п [и + — ) я~ ( М (! п и + 1 + 1п 2к). Если под А разуметь достаточно большую постоянную, то (при и 2) последнее выражение в скобках окажется меньшим, чем А1пп, так что окончательно получим ]5„(х)(чАИ[пи Ф (н~2). (2) Переходя к сопряженному ряду, вспоминаем, что [696, (20)] п и 1 1 со5 — 1 — соз и+" ! 2 2) 5,(х) = — — [У(х+ 1) — У(х — 1)] 111. 2 51п — 1 2 Поэтому ~ соа —,— 1 — соз ~п+ — )1 15„(х)]~— — Ш= 2 Гйп — т 2 а |ап — 1! ! — с11.
2 51п — 1 2 и См. сноску на стр. 488. ** Нзпример, можно взять А=2+ + 1и 2 Но зто, конечно, ие есть наилучшее из возможных значений постоянной А. % Ь. ОЦЕНКА ОСТАТКА Рассуждая далее, как и выше, придем к аналогичной оценке )а,(х)! =АМ!пп (п~2), (з) где А есть новая, постоянная, вообще отличная от прежней, но подобно ей не зависящая от выбора функции г(х). Впрочем, конечно, можно было бы в обоих случаях пользоваться одной н той же постоянной— наибольшей из двух.
Разность )ск(х) =т'(х) — а„(х) (это будет о с т а т к о и ряда Фурье лишь в том случае, если он сходится к функции г) оценивается аналогично (2): ()х„(х) ) =. АМ!и и (и - 2). Лействительно, ! Й„(х) ~ ~ ~ У (х) ~ + ! з„(х) ) ~ М + АМ 1п и, так что стоит лишь надлежаще увеличить постоянную А, чтобы придти к требуемому неравенству. Читателя не должен удивлять тот факт, что справа в неравенстве стоит величина, растущая до бесконечности вместе с и. Мы внаем ведь, что для некоторых огрзннченных (и даже непрерывных, см. 703) функций г(х) величина Я„(х), действительно, может бесконечно возрастать, а наше неравенство должно охватывать в с е ограниченные интегрируемые функции1 706.
Оценка остатка в случае функции с ограниченной й-й производной. Обратимся теперь снова к рассмотрению функции г'(х) с периодом 2я, имеющей производные до А-го (я- 1) порядка включительно, причем на этот раз предположим я-ю производную о г р аниченной: !у'А!(х)) =.МА и интегрируемой в собственном смысле. Установим следующий важный результат, принадлежащий акад, С, Н.
Бернштейну: при сделанных предположениях существует абсолютная постоянная А такая, что (для и~2) ~ У(„(х) (( АМ, — '"„"-. (4) При доказательстве мы будем различать случаи четного и нечетного я. 1'. Пусть й=26. Выражение для остаткз ряда Фурье функции у(х) * Я = Я (х) = ~' а соз тх+Ь з!и тх, и =АЧ-! * При сделанных предположениях ряд Ф у рь е будет повсюду сходиться к функции у(х) (684р [706 ГЛ. Хнц РЯДЫ ФУРЬЕ если воспользоваться формулами (1а), может быть написано в виде: гс„=( — 1)л ~~~~~ — «-(а!»' соа тх+ Ь! ' а(п тх). т=е+1 В скобках имеем т-й член ряда Фурье функции УГ»!(х); вводя частичную сумму а =а (х) этого ряда, можем заменить названный член через ат — ат.,: !)Л, (,,) ! т-е+! Раскрыв скобки и по-другому объединив члены [ср.
333[, мы придем к ряд)г: 1Л ел %! г! ! (+!)'+ ~ (т ( (+ )')'- т е+! Для обоснования указанного преобразования заметим, что 1!!и — -=О! ет т» т Ое это следует из неравенства ! а ! = АМ» 1п т, (6) которое получится, если неравенство (2) применить к функции г!»1(х). Из (5) и (6) вытекает, оценка: — — +А ~~ ( — » — — — -~) !и т. т=иь! Последнюю сумму снова преобразуем к виду [ср.
371): СО !в(л+ !) %1 1 + + ~ — — !) [!п(т+ 1) — 1п т[. т=е-1-! Если воспользоваться неравенстваии 1п(т+ 1) — 1пт= [и (1+ — ) е-— ! ! и Х вЂ”."- —. —. 1 1 1 т""~ а л" т=л+! в в. Оценка остатка [см. 373, з)1, то последовательно получатся для нее оценки 1п(л+1) ж! 1 !п(л+ !) у ! („+,) + ~~ — (+[~с<+<Р„+ ~~ —.. < м а+1 и аЧ-1 !пл ! ! 1 1п в+2 < у + —.а~ + Ь -у-< —.а —. Возвращаясь к [)с„[, получаем для этой величины такую оценку: ел< ь.~ ь ч. откуда, конечно, надлежаще изменив А, легко прийти уже к (4).
2'. Теперь предположим Ь=26+1. Опираясь на формулы (16), перепишем 7С„так; й,=( — 1)а г — а (а~ ! з!и тх — Ь! ! соз тх). а ж! 1 Ш! !а! и и+! В выражении, стоящем в скобках, мы узнаем на этот раз т-й член ряда, сопряженного с рядом Фурье функции Х~Ю(х) [670). Так как и для его частичной суммы ам=о (х) также имеем оценку [ ам [ = АМа !пт [см. (3)[, то дальнейшие рассуждения ничем не разнятся от приведен- ных выше. 707. Случай функции, имеющей й-ю производную с ограниченным изменением Рассмотрим сначала функцию 7(х) с периодом 2в, которая сама имеет в промежутке [ — к, к) ограниченное изменение.
Переходя к интегралам Стилтьеса и воспользовавшись формулой интегрирования по частям [677[, представим коэффициент а„ функции 7(х) в виде: а„= — (з) ~ У(х) !1 =У(х) —, — — (з) ~ з!и пх!(У(х). (7) Внеинтегральный член исчезает, что же касается последнего интеграла, то, оценивая его обычным для интеграла Стилтьеса образом [382, 2'), получим: з(п их!(г(х) (шах[ а!п пх[ ~7'(х). [707 гл.
х~х. гиды еггьз Таким образом, окончательно [а„( ( — )г —, ! ! если через 1гобозначить полное изменение функции г(х) в промежутке [ — я, я[. Так же оценивается и коэффициент Ь„. Если две переменные величины а и р, зависящие, скажем, от одной и той же независимой переменной, обладают тем свойством, что их отношение остзется ограниченным: ~ — ~ ( М (М = сопз1), то этот факт записывают следующим образом ь: р = О (а). Пользуясь этим обозначением, мы можем выразить доказанное свойство коэффициентов Фурье ат Ь„функции с ограниченным изменением так: а„=О(-„!), Ь„=О(-„!).
Пусть теперь для функции у(х) с периодом 2я сугцествует А-я (й)1) производная г~~~(х), которая в промежутке [ — я, я) имеет ограниченное изменение; тогда для коэффициентов Фурье функции г (х) справедлива оценка: [а„(, !Ь„) = — ь ° --~; (а=1, 2, 3, ...), где \гь есть полное изменение фУнкЦии З (х) в пРомежУтке [ — и, я). Это сразу вытекает из сопоставления, доказанного только что с формулами (1а) и (!б) и' 704. Итак, на этот раз а„=О[- 1„—,), Ь„=О(- ! —,). Зная порядок коэффициентов Фурье, теперь нетрудно уже оценить и остаток ряда Фурье: при тех же предположениях, для остатка Я (х) ряда Фур ь е функции г (х) имее.я неравенство: ~)с„(х) ~ ( — ь-.
' Ср. зто обозначение с обозначением о(а), которое мы ваган в и 60. $ Ь. ОЦЕНКА ОСТАТКА Действительно, СО !Й.(л)!» Х (!а.!+!б.!)» т»+1 2Р» ж» 1 2Ь„1 !» Хы и»+' йв л» л" ' — с. 63 =6-г1 'Таким образом, несколько более тяжелое ограничение (по сравнению с предыдущим п'), которое мы наложили на л-ю производную функции, повлекло за собой улучшение оценки остатка Я„(х): в числителе исчез !пл! Злмвчлние. Подчеркнем еще раз, что в рассуждениях настоящего и предшествующего пп' существенную роль играла периодичность самой функции г (х) и ее производных. Если п е р в о н ачально функция была задана лишь в промежутке [ — я, я), то нужно потребовать выполнения условий: ~( — )=П ), Г( — )=Г(), "., уч"'( — )=Уып(), разумея здесь под производными односторонние производные Лишь тогда будут обеспечены непрерывность и существование последовательных производных для периодически продолженной функции, а вместе с тем н справедливость установленных выше оценок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
