Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 82
Текст из файла (страница 82)
— †. ] ] >) , ) н г Ь: 1 ) <а ),да...> 16' гл. х)х. виды эл ьв и, наконец, при т, п=1, 2, 3, ... ! Г1 а„,„= —, У(х, у) сов пх совтуЫхЫУ, !о)' Ь„= —, ~ Г'(х, у) сов пх в1п ту г(хну, 1 ГГ ! ) с„,„= —, 1 ~ т (х, у) в1п пх сов тург(у, 1 Г !о) — ~ У (х, ' у) в1п пх шп ту г(хну. 1 Г )Ф Впрочем, обычно ряд (24) пишут в виде (25) у(х, у) ~~~ ); !а„сов пх сов ту+ Ь„„сов пх в)п ту+ «,га 0 + с,„в1п пх сов ту+а' в)п пх в1п ту], (24 «) разумея под множителем ),„м четверть, если п=т=О, половину, если из значков п, т лишь один равен нулю, и единицу, если ни один из них не нуль. Зато коэффициенты а„„, Ь,, с««, з)„м все вычисляются по формулам (25).
Вопрос о сходимости ряда (24) [или (24*)) решается путем исследования его частичной суммы Я„(хм уа), для которой можно получить интегральное выражение вроде интеграла Дир ихле: 8л, и(ха уо)= («+ — ) '(«) + — ) о =4 ° ~ ~ ("'+и~у'+ ) 1 ! (о) ип — и мп — в 2 2 Мы не будем этим заниматься. Заметим лишь, что функция г (х,у) заведомо разлагается в точке (хмуа) в ряд Фу р ь е, если выполнены условия: 1) частные производные У,' и ~'„повсюду существуют и огра нич е н ы, 2) в окрестности данной точки существует вторая производная у«(или ~„"„), которая к тому же в данной точке непрерывна.
$4. Характер сходимости рядов Фурье 698. Некоторые дополнения к основным леммам. Переходя к изучению самого характера сходимости рядов Фурье, мы остановимся сначала на достаточных условиях равномерной сходи- мости этих рядов. Для этого нам, прежде всего, необходимо сделать дополнение к первой основной лемме п' 682. Именно, вводя в рассмо- а А хАРАктвР сходимости Рядов ФРРьв при р-а+со стремятся к нулю равномерно относительно переменных а и Ь, которые принимают произвольные значения в промежугпке [А, В[. йостаточно рассмотреть первый из интегралов.
Ввиду равномерной непрерывности функций ~[д(!)[ и А можно разбить по заданному а)0 промежуток [А, В[ точками А ='сь('с1(" (ч1('11+1(" (та=В на столь мелкие части, чтобы было И -1- 1 [ ь (8) [ г(1 ( е Лля интегралов вида (1=0, 1, ..., и — 1). ь!(!) и!пр!ж, ! 11. ! ь, 1, г, ..., а1 так как их конечное число можно установить общее Ь)0, такое, что для р) д в се они по абсолютной величине уже будут а.
Но, как легко видеть, интеграл )А(!) 5!пр!бЬ, а каковы бы ии были а и Ь, разнится (при любом р) меньше, чем иа 2е„ от одного из интегралов (1). Следовательно, при р)а он независимо от а и Ь по абсолютной величине будет (Зе, что и требовалось доказать. 2". Можно утверждать, далее, что и интегралы ь ь )д'(х-1-1) 51п рта, ~д(х-1-1) соя ргат а а тренные там интегралы различные параметры, мы будем интересоваться теперь вопросом о р а в номер ном относительно этих параметров стремления интегралов к нулю. 1'. Пусть функция А" (!) определена и а бе о л ю п1 н о пнтегрируема в промежутке [А, В]; тогда оба интеграла ь ь ~д(1) 51пр1б1, ~д(С) совр! б! а а ГЛ.
Х!Х. РЯДЫ ФУРЬВ при р-ч.+оо стремятся к нулю равномерно относительно параметров а, Ь и х, подчиненных лгиаь условиям х.+.Ь=-В. А(х.+ а, Лействительно, например, первый из них подстановкой может быть представлен в виде х.~. ь я(и) а!п р (и — х) аи = хжь = соя рх ~ а(п) з1п рийи — яш рх ~ и(и) соя риаи, ка а так что вопрос приводится к предыдущему случаю (1'). 3'. 11аконец, если ввести в подпнтегральное выражение еще произвольный множитель Т(1) с ограниченным изменением в (А, В), то и интегралы ь ь ~ я(х + 1) т (1) я! п р1 Й, ~ я (х -+ 1) Т (1) соз р1 Й а а при р-э+оэ также стремятся к нулю равномерно. Так как Т (Г) представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций, то достаточно предположить самое Т(Г) возрастающей.
В таком случае, по второй теореме о среднем (306] ь ) й(х-+-1) Т(1) з1пр1 й1= а =Т(а)~ я(х-+-1) ь1п р1 аг+ 1(Ь) ~ я(х-1-Е) соя р1а1 а (а(ч(Ь). Ввиду ограниченности функции Т(1), вопрос и здесь приводится к уже рассмотренному случаю (2а). Перейдем теперь ко второй основной лемме (па 686~; ее мы дополним лишь следующим замечанием; 4'. Лусть функция я(1) неирерывна и монотонно возрастает в промежутке (А, В), содержащем внутри себя промежуток (а, Ь1. Тогда интеграл ~и(х-+-1) — р-ат а 699] $ с хльактвг сходимости РядОВ Фуяьв (где 0(й~а — А и  — Ь) при р-ь+со стремится к лределу — я(х) р а в н о м е р н о относительно х в промежуппсе 2 (а, Ь]. Проследим применительно к данному случаю доказательство, приведенное в пь 686.
Первый иа интегралов (13), п' 686, который сейчас напишется так: ь рь я(х) — р сЫ=д(х) — йг, стремится к пределу — я(х) равномерно относительно х 2 в ]а, Ь] ввиду ограниченности я(х). С другой стороны, равномерная непрерывность функции с(х) в [А, В] дает нам возможность по заданному в)0 выбрать независимо от х, изменяющегося в пределах от а до Ь, число ч)0 так, чтобы было )я(х + 1) — а(х))(в прн 0(1 =д. Разбивая второй из интегралов (13) пь 686, как и там, на сумму 1,+1„имеем оценку (14) независимо не только от р, но и от х Наконец,!в стремится к нулю равномерно относительно х. в силу Зч.
Отсюда в совокупности и вытекает требуемое ааключение. 699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье. Теперь нетрудно уже 'установить удобные признаки, по которым можно было бы судить о равномерной сходимости ряда Фурье в некотором промежутке ]а, Ь] к самой функции у (х). Эту функцию естественно прежде всего предположить непрерывной в названном промежутке ]см. 431]. Сформулируем на первом месте видоизмененный Признан Дини. Ряд Фу р ь е функции у(х), непрерывной в промежутке ]а, Ь], сходится к ней равномерно в этом промежутке, если при некотором Ь)0 для всех х пз ]а, Ь] интеграл ь ~1т О)! й1 в сходится, и к тому 'же равномерно, относительно х (при 1= О).
Напомним, что в этом случае ~р (1) = ~ (х+ Х) + У (х — 1) — 2т (х) мп (л+ — ) с а„(х) — г (х) = — р (1) — йй 2 яп — с 2 з (699 Гл. хаак. Ряды Фугьв П о произвольно заданному а )О, в силу сделанного предположения, найдется такое и е з а в н с я щ е е от х число а) О„что для всех х из (а, Ь) )' йг< е. Тогда интеграл (3) представится в виде суммы — ~ + — т . При о $ этом, очевидно, каково бы ни было п, яп (и+ — ) à — 9 (г) г(г о 2 ап — Г а 1 (г) ~ 2 — Ш( ап —, 2 () ~ ~т(г)~„,(" 2~ г 2 для всех указанных значений х одновременно, Обращаясь к интегралу (4) мы видим, что интегралы к —.') П а ', ы ° ( ~ —,')~я 2 яп — г а 2 а Мы воспользовались неравенством 2 I Бщ 2 ~ — а (О ( а ( — ' стремятся при п-+со к нулю равномерно относительно х в (а, Ь), в силу пункта 3' предыдущего и', То же справедливо и для интеграла м ( -~- —,')ис, 2 ввиду ограниченности функции г (х) в промежутке (а, Ь).
Таким образом, существует такой не зависящий от х номер Лг, что для л) гт' н интеграл (3) по абсолютной величине станет <" а„ каково бы ни было х из [а, Ь). Этим все доказано. з е тьвьктвг сяоднмостн гидов ьэгьв Отсюдз, в частности, вытекает Признан Лиишица. Ряд Фу р ь е функции У(х) сходится к этой функции р а в н о м е р н о в промежутке [а, Ь], если в некотором более иагроком промежутке [А, В] (А(а(Ь(В) выполняется условие [~(х') — !'(х) [~ С[х' — х[; где х, х' — любые принадлежащие' [А, В] точки, а С и а — положительные постоянные (а~ 1).
11ействительно, если за Ь выбрать наименьшее из чисел  — Ь и а — А, то интеграл (2) при всея х в [а, Ь] мажорируется следующим сходящимся интегралом: Очевидно условие Л нищ и па (при а=1) выполняется, а следовательно, равномерная сходимость к функции У(х) осуществляется в промежутке [а, Ь], если в более широком промежутке функция У(х) имеет ограниченную иропзводную у'(х). Впрочем, это условие содержится как частный случай и в следующем; Признак Дирихле — Жордана. Ряд Фу р ь е функции !" (х) сходится к этой функции равномерно в промежутке [а, Ь], если в некоторолс более широком пролсежутке [А, В] функция]' (х) непрерывна и имеет ограниченное изменение.
Следуя рассуждениям в и' 686, представим интеграл ( +2] э (х)= —, []( +1)+1( — М 2 яп — С 2 ь л й 1 Г 1 в виде суммы интегралов: — + — ], выбирая положительное число Ь меньшим а — А и  — Ь, независимо от значений х в [а, Ь]. Относительно второго из этих интегралов сразу ясно, что он при и ьсо стремится к 0 равномерно относительно х, в силу 3.
Из первого же интеграла, полагая гл. х!х. ьяды ел ьв мы прежде всего выделим часть л -„')и! ч-ьчг! — ь!Г ', — -',1 ('-т)~ й ~ 2 ип — Г 2 700. Поведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай, Переходя к исследованию поведения ряда Ф у р ь е функции у (х) вблизи точки разрыва атой функции, мы начнем с рассмотрения одного частного ряда, дая которого интересующее нас явление выступает с наибольшей простотой и отчетливостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
