Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Если функциЯ ! (х) задана в пРомежУтке 10, !) (1) 0), то„прибегнув к той же замене переменной, что и в 688, мы сведем вопрос о раз- ложении ее з ряд по косинусам: аа лях — +лу а соз— л Гл. х1х. Ряды ауэьн 690. Примеры. Функции, которые ниже приводятся в виде примеров, как правило, относятся к классу дифференцяруемых или кусочно-дифференцнруемых, Поэтому самая возможность их разложения в ряд Ф у р ь е — вне сомнения, и мы на этом вопросе останавливаться не будем. 1) Разложить функцию У(х)=ейл (а=сонат, афО) в промежутке ( — к, я), По формулам (1): 1 Г е "— е '" в(тйв а,= — ! е й'х= =2 —, йк ав 1 Г 1 аомлх+лмплх „1 2а а„= — 1)ейлсовлх ах=в =( — 1)" — —,—,;Й йк, к ат+ лз 1 Г 1 а ми их — лсозлх Ь„= — ~ евл в!и ахах= —,, „ей» и а'+ л" й й 1 2л =( — 1)" '— в а'+ л" в)т ав. Итак, для — з~х~я будем иметь е"" = — вн ак — + 7 [а сових — лзгплх] 2 !1 ъ~( — Ц" [2а еУ~ а'+ л' л -1 2 в промежутке (О, 2к).
По формулам (1*): гь 1 Г в — х ! / 1 тй ! Г в — х й л к 2 сов лх егх = ти эь 1 ми ах 1 = — (к — х) — — ! з)пахах=о, 2з л ~ 2лз бэ о 1л=ц Э, З...,> тч 2» 1 он их ! Г 1 = — — (в — х) . — —,э созлхеГх= —. 2я л ~з 2 Ь л 1Гя — х Ь = — — иллхйх к~ 2 Если бы мы исходили из промежутка (О, 2к), то получилось бы разложение с иными коэффициентами — в этом случае нужно было бы пользоваться формулами (1*). Впрочем, новое разложение легко вывести и из уже найденного. 2) Разложить функцию з т.
влзложвннв оянкций в вяд оявьв 447 Таким образом, мы приходим к вамечательному по простоте разложению, содержащему одни лишь синусы! — = У (ОСХС2л). 2 С.~ я л 1 При х=О (или 2я) сумма ряда равна нулю, и равенство нарушается. Не будет равенства н вне указанного промежутка.
График суммы ряда Ю(х)(рис. 124) состоит из бесчисленного множества параллельных отрезков и ряда отдельных точек на оси х, Рис. 124. 3) Ввиду особой важности разложения, полученного в предыдущем упражнении, мы дадим злементарный вывод его, не опирающийся на общую теорию. Пусть 0 с хс2ж Воспользовавшись формулой (26) п' 660, которую мы можем написать так: л л. (2п ! Ц совАх= 2 1 х 2' а 1 2мп— имеем последовательно: х «яп (2л+1)— 2 л л с<м Ат л!т ь=! о ь=! 2+) о 2мп— 2 х 1 11 «ип (2я+!)— 2 = — — -+ ., т т а!п(2я+ 1) —, 411.+ 2 °,! 2нп —— 'о 2 2 лгж Ь Но при л +со второй член в последней части равенства стремится к 0 по основной лемме п' 662*, а третий член подстановкой и=(2л+ 1)— т 2 * Множитель в квадратных скобках, если при 7=0 приписать ему эначе- ниеО,оказывается функцией, а н а пити ч е ской в этой точке,ибо в окрестности ее разлагается в степенной ряд: 1 1 1 37 12 5760 т+ тР+ 2 яп.-л- [690 гд.
хгх. Ряды Флвьй преобразуется к виду (тл+!!— о + го Г апи я и, очевидно, стремится к — г?и= —,. Отсюда 2 л1п йх я — х 1пп л оэ й 2 что и требовалось доказать. 4) Из разложения в 2) уже без вычислений можно получить и другие интересные разложения. Заменяя в нем х на 2х и деля обе части равенства на 2, найдем: х ст яп2йх — — — (О ( х ( я) 4 2 лУг 2Д Ф вычитая же одно разложение из другого, получим: я С~ з!п(2й — 1)х 4 ~ 2д 1 (О -х (я). а-1 Если через Я(х) обозначить сумму последнего ряда, то Я(0)=Я(я) =О.
Изменяя знак х, длн промежутка ( — в, 0) по нечетностн синуса найдем, что Рис, 125. Я(х)= — --", для прочих же значений х сумма Я(х) получается по закону периодичности, так что, в частности, для промежутка (2в, Зв) снова Я(х) = —, и т. д. График функции Я(х) изображен на рис. 125; рисунок же 126 характеризует постепенное приближение к этой разрывной функции частичных сумм ряда. Если положить в рассматриваемом разложении х= — то получим уже 2' известный нам ряд Л е йб ница (404(16)) я 1 1 1 — =1 — —,+ — — — +...
4 6 5 ? ь т. глздожвник влнкций в пяд окгьц я н При х= — и х= — получаются ряды: 6 3 1 1 1 1 ! в 1 1 1 1 — =1+ — — — — — + — + — —... и ==1 — — + — — — + — —... 4 5 7 !1 13 17 " ' 2 рг3 5 7 !1 13 Сочетая полученное здесь разложение с разложением в 2), легко прийти к ряду для функции У(х)=х: т ! ) л ! т н ( Х ( я ) цп пх л Непосредственно мы получаем его лишь для 0(х(я, но равенство явно Рис. 126. имеет место для х=О и, кроне того, обе его части, очевидно, представляют и е ч е т н ы е функции, так что окончательно разложение оказываешься верным 16 Г, М. Фалтчвгольц. т.
П1 456 [690 ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ для всего промежутка ( — з, ч). График суммы ряда при изменении х от — ео до + оо легко себе представить по рис. 127. На рис. 128 Рис. !27. Рис. 128. приведен график частичной суммы: у = з, (х) = 2 ~яп х — + — — — + — ~, жп 2х з!п Зх жп 4х ып 5хт 2 3 4 5 5) Опираясь иа разложение в 2), доказать, что на всей вещественной оси 1 1 ~т Ып2пях ( х — Е(х) для нецелыд х, 1 а ! и 2 для целых х. 6) Разложить (четную!) функцию у(х)=х' в ряд по косинусам в промежутке ( — к, л).
4 т. олзложинии отикци() и вяд оаньн По формулам (19): 1 1 — а, = — хв!ух=в 2 в=н ) =3» 2 Г 2, ил их 4 а„= — х' сов лх ах = — х' и я л о ин х в!и лх !тх = б 4 сов лх 4 = — -х — — —, сов ии л о и'и й1 лхв(х=( — 1)" —, (и)О), Л так что хв= —,+4 ~у ( — 1)"— 'С1 „сов их = й,?в и ( — и( х (я). График суммм ряда, состоящий из бесконечного числа примыкающих одна к другой параболических дуг, изображен на рис.
129. Рис. 129. яв Д ( 1)в-! 12 .йв л' в ! в которые, впрочем, и непосредственно вытекают один нз другого. 7) Разложить функции: (а) уг(х)=сепах по коси н у с ам в ( — л, я(, (б) ув(х) =ниах по сии ус ам в ( — и, и) (число а здесь предполагастся не целы м). 16' Полагая в полученном разложении х=в или х=О, придем к известным результатам! гн. х!х. виды ви'ьн (а) Имеем 1 1(' в1п ак — а, = — с!маха'х= —, 2 и ак 2 С а„= — с<и ах сов пх ах = 1Г 2а яп ак — (сов(а+и) х+соз(а — л) х) ах=( — 1)",, (и) 0), так что к совах 1 кт а сов нх — — = — + 7 ( — 1)" а 2 в!пав 2а а' — н' л=! (-к~Х(к), (б) Оявея к янах %т „выпях — — =,Г, ( — 1)" ( — к ~ х ( к).
2 япак а~а а' — и" к ! Отметим попутно, что при х= 0 из (а) получается; 2 Х (ак)' — (пк)" я ! 1 1 — = — + яп ак ак или, если положить ак = в: к — = — + Г, ( — 1)"-; —,= яп в л Л в' — (нк)' л 1 = в+.~ ' — ""~в:як+в+як~ л ! (здесь в — любое число, отличное от кратного к), Мы вновь пришли к раз- 1 ложению функции —, на простые дроби, Полагая же в (а) х=к, мы мояпв жем восстановить разложение на простые дроби функции с!па.
(Ср. 441, 9).) Весьма замечательно, что столько важных математических фактов полу- чается просто как следствие отдельных тригонометрических разложений! 8) Разложения функций (а) у! (х) = с1! ах по к о с и н у с а м в ( — к, к), (б) ~; (х) = вй ах по с и н у с а м ( — к, к) проще всего получить из разложения в 1) функции у(х)=ее", для которой они служат четной и нечетной составляющими (689). Они имеют вил: кой ах 1 ктт а 2 вй ак 2а ьм ут ( 1)к а'+ н' сов их ( — к ~ х ~ к), л ! к в(!ах цт „, и — — у ( — 1)" ', яппх ( — к <х(к), 2 в(!ак л~! а!+и' л ! з з, влзиоженив окнкций в одд оквьн Как следствие отсюда можно получить разложения на простые дроби 1 функций — и с!Ь я. вп я Перейдем к примерам разложений функций, заданных з промежутке от 0 до я, по к о с и н у а а м или по синусам (689). 9) функцию у (х) = х в промежутке (О, в! разложить по к о с и н у с а м.
По формулам (!9): 1 1 Г и — ао = — хах = —, 2 т. е. а,л =О, а,ь 4 (2А — 1)'я (А=-1, 2, 3, ...). Искомое разложение имеет вид: и 4 сов(2А — 1) х 2 'я (2й — 1)в ь-1 График суммы ряда представлен на рис. 130 (ср. разложение в 4) той же Рис. !30. функции по синусам н график на рис, 127]. На рис. 131 изображена аппроксимирующая кривая: я 4! 1 1 у = в, (х) = — — — ~сов х + — сов Зх + — сов 5х) . 2 я ! 3' 5' Комбинируя полученный результат с разложением в 6) функции х' по косинусам, легко установить: Зх* — Оях+ 2ив Ст сов лх ! 2 — — в — (О ~ х ~ и).
л л ) 2 Г 2 ил ах )" 2 а, = — х сов лх ах = — х з в л 1в ля в)п лх ах= 2 сов ля — ! л'я [690 ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ Впрочем, так как обе части равенства не меняют своего значения при замене х на 2п — х, то на деле равенство сохраняется и в более широком промежутке [О, 2я]. Рис.
131, 10) Функцию у(х) =х' в промежутке (О, к) разложить по с и н у с ам. Оглвет. х'= ~ Ь«аппх, «=1 где 2« 8 Р«Л = — —, Ь«Л « ' ' 2А — ! «(2« — 1)«' Предоставляется читателю составить график для суммы рида и сопоставить его с графиком на рис. 129, !1) Разложить функцию у(х)=е»«в промежутке от 0 до к (а) в ряд по косинусам и (б) в ряд по синусам, Оглвет. (а) е»"=- + — г —, „солих (0(х=-к), е» вЂ” 1 2» жт, ( — 1)«е»' — 1 ак я «у! а'+ па (б) е»«7 [! ( !)«еа«] и ~~~ и+и з!и пх (О ( х ( я). «=! 12) Разложить функции (а) у,(х)=з!пах по кос ни усам в [О, к], (б) у«(х)=ошах по синуса м в (О, я). (а) Ркшкнив. Предположим сначала, что» вЂ” число не целое.
а 3. Разложении Функций В Рнд оульи Тогда 1 1 !' . ! — смак — ат — — вЗП ах !ух = к к 2 Г 1 а„= — з!п ах см лх с(х = — [ип (а + л) х + мп (а — л) х[ !(х = 2а 1 = — [1 — ( — Цк сов ак[ к а' — л' Искомое разложение можно написать в виде: ! — сазак~( [ 2 ~~)чт сов 2Ах ~+ а-! !+совая ~т сы(2А — цх ,та (2А !)а а=! Пусть теперь а — целое число. Здесь снова придется различать случаи, когда а =2т есть ч е т н о е число или а =2т — 1 н е ч е т н о е число.
Пря а =2л! 8т 1 (2т) — (2А — Ц" так что 8т Г см(2А — цх" к л',л (2т)а — (2А — Ц' а=! (О ~х~к). Аналогично при акк2т — 1 з!п(2т-Цх=-~1+2(2т-Ц ~ 2 . 2А,~~ (О=х=.). 2 жт ом 2Ах л ! (б) Указание. Следует различать те же случаи, что и в (а). Рй) Локазать, что для х в [О, к[ Х ( сов(2А — Цх 1 — ОО " (к — 2А') (к' + 2кх — 2х'). а-! з Легко показать, что если в левой части заменить синус его абсолютной величиной, то разложение будет иметь место на всей вещественной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
