Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 74
Текст из файла (страница 74)
вазложвннв егнкцнй в гяд еггьв 427 то суммы в правых частях окажутся интегральными суммами, отвечающими именно укаэанному разбиению промежутка Теперь ясно, что при и~ со а,— » — ~ у(х)г(х, а -» — ~Х(х)сов тх>гх, 1 Г 1 1' ры»»)»' (х) з1п тх >ах 1 г й 2, Разложение функций в ряд Фурье 681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле. Пусть г"(х) будет функция с периодом 2щ абсолютно интегрируемая, хотя бы и в несобственном смысле, в промежутке ( — и, я), а следовательно, и в любом конечном промежутке. Вычислим постоянные (ее коэффициенты Фурье): ам= — ~ У(и) соз тиг(и, Ь„,= — ~ Ди) з1п тиг(и (1) 1 >' 1 Г ю»=ю, >, х ...> >»->,а, ..а н по ним составим ряд Фурье нашей функции »е(х) 2 + ~~~в (а~ соз тх+д~ з>п тх).
и 1 (2) Читатель замечает здесь маленькое отступление от обозначений п' 678: коэффициент аю мы определяем теперь по общей формуле для а при т=О, в разрез с формулой (7) упомянутого п', но зато свободный член ряда пишем в виде —, '>» 2' так что предельными значениями коэффициентов интерноляционнвго тригонометрического многочлена являются соответствующие коэффициенты Фурье нагией функцпгь Можно сказать, что ннтерполяционный многочлен «в пределе» как бы переходит в ряд фурье! Этот процесс, разумеется, тоже может рассматриваться лишь как наведение. Он ничего не доказывает относительно связи между функцией и ее рядом Фурье, но, в свою очередь, достаточно мотивирует интерес именно к этому ряду. В последующих параграфах мы и займемся, наконец, непосредственно изучением поведения ряда Фурье для разных классов функций.
428 (881 гл. к!х. вяды ет ье Заметим здесь же (этим замечанием мы будем пользоваться и в последующем), что для функции г (и), имеющей период 2и, величина интеграла а+2в Р(и) ((и а по промежутку длины 2и не зависит от а ]ср. 314, 10) и 316]. Поэтому и в формулах (1), определяющих коэффициенты Фурье, интегралы могут быть взяты по любому промежутку длины 2и; например, можно было бы написать 2с 2к а = — у(х) соз л(х((х, Ь„= — у(х) з!п тх!!х 1 Г 1 Г (и=а, 1, 2, „,! (и=1, 2, ...! (1 ") и т. п. Для того, чтобы исследовать поведение ряда (2) в какой-нибудь определенной точке х= ха, составим удобное выражение для его чаСтичной суммы ал(ХО) = 2 +,1 (Лт СО$ !ИХО+ Ьм 21П Лтха).
!ч 1 Подставим вместо а и Ь их интегральные выражения (1) и подведем постоянные числа сов лтха, 21п гнх, под знак интеграла: „(х,) =,— $ У(н) (н+ 1 л % ът 1 + у — ~ у (и) ]соя ти соз тха+ з!и гпп з!п лтха] ((и = !ч ! — а 1 Г 1 = — ~,г"(и)( — + ~), соз т(и — ха)~ й~. 1 у Л мп (2л+ 1) 2 2 /! — + У соя в!(п — х,)= >и ! о 2 и окончательно 21п (20 + 1) зл(ха) = я г(п) и — х 2 ип (3) Этот важный интеграл носит имя Дирикле ((2.
!.е]ецпе-!2!г!с(1!е!). Воспользовавшись для преобразования выражения в фигурных скобках формулой (26) п' 680, будем иметь: ч х ялзложенне втнкций в яяд втэье Так как мы имеем здесь дело с функциями от и периода 2я, то промежуток интегрирования [ — и, в] по сделанному выше замечанию можно заменнтеь напРимеР, пРомежУтком [хе — к хе+к]1 «е+« ещ (2п+1) е зл(хе) = г (и) и — х 2яп — е 2 «О — е Подстановкой с=п — хе преобразуем этот интеграл к виду: 1) е1п (и+-,— С в,(х,)= — г"(хе+с) ~ Ш. 2яп — С 2 «О Затем, разбивая интеграл на два: )+ ~ и приводя второй интеграл о путем изменения знака переменной тоже к промежутку [О, я], придем к такому окончательному выражению для и-И частичной суммы ряда Фурье: Я 1 е1п [и+ — ) С в„(х,) = — [У(хе+ с)+у" (хе — ~)] ай 2 е)п — С 2 л (4) Таким образом, дело сводится к исследованию поведения именно этого интеграла, содержашего параметр п.
Своеобразие представляющейся здесь задачи заключается в толе, чшо здесь не может бишь использован предельный переход под знаком интегралаь, который до сих пор (см. главу Х(ч) служил нам единственным средством для разыскания предела интеграла, содержашего параметр. И с таким положением вещей нам в этой и в следующей главах придется сталкиваться систематически. 682.
Первая основная лемма. Прежде чем продолжить наше исследование, докажем следующее важное для дальнейшего утверждение, которое принадлежит Р и м а н у: Если функция яф абсолютно интегрируема в некотором конечном промежутке [а, Ь], то ь Вш [я(~) з)п р(бг=т) а шд ь В данном случае подиитегральиое выражение при и со вовсе не имеет предела.
Гл. хид Ряды Фуоьи и, аналогично, о йш ~й(8) соз рсй~=б И сол Доклзатильство достаточно провести для первого из этих пределов. Заметим предварительно, что, каков бы ни был конечный промежуток (а, р), имеем такую оценку: ! ~ „~Г й~ ~ соо!ол — ссвр9 ~ 2 Допустим сначала, что функция т'(х) интегрируема в собственном смысле. Разобьем промежуток (и, Ь) на и частей точками и = Го ( С! ( ° ( ~! ( ~! ~! ( ° ° ( !л = Ь (6) и в соответствии с этим разложим и интеграл л — ! ~ л(1) а!и р~ Ш= ~ч~~ ~ у(С) о!и р! Ш. Обозначив через т; точную нижнюю границу значений и(Г) в !-м промежутке, можно преобразовать это выражение так: ( д ф) а!и р! ~~ = л л — ! 'нл л-! !г+! (а'(1) — т!) з!и РЫГ+ ~ч ' т! ~ о!и рс Ю.
!-о с! осли и! есть колебание функции у(С) в г-и промежутке, то в его пределах о(~) — т!«-.мб с учетом неравенства (5) теперь легко получить для нашего интеграла оценку: л — ! л-! ( ~ и(Г) 3!и рЮ!Й~» «л и!бГг+ — ~~): ~т!~. л г=о г-о Задавшись произвольным числом о) О, выберем сна чала дробление (б) так, чтобы было а х вазложвннв вянкцнй в акд вквьв это сделать можно именно ввиду интегрируемости функции л [2971 Теперь, так как чнсла лаг тем самым уже определены можем взять р> — ~~ 1лг, ~, и для этих значений р получим ~~й(С) а!п рг~И~(а, а что и доказывает наше утверждение.
В случае, если функция у(С) интегрируема в несобственном смысл~ (но обязательно абсолютног) достаточно ограничиться предполо жением, что в промежутке (а, Ь) имеется лишь одна особая точка например точка Ь'*. Пусть 0 ( й< Ь вЂ” а. Разлагая интеграл на два: для второго интеграла справа имеем при любом р оценку: 1 1 К(с) з!п рСг)ц( 1 !К(е)!а, ь — ч ь — ч что —, если выбрать т1 достаточно малым. Что же касается ин теграла ь-ч 1 й(с) з~прыс, а то при р-ь+со он стремится к нулю — по уже доказанному, та~ как в промежутке (а, Ь вЂ” и) функция й(г) интегрируема в соб ст в е н н о м смысле слова; написанный интеграл по абсолютной ве личине также станет ( — прн достаточно большом р.
Этим и завер 2 шается доказательство, Мы обращаем внимание читателя на то, что уже здесь пределы к которым стремятся интегралы, установлены п о и и м о п р е д е л ь ного перехода под знаком интеграла. ' ь Иначе можно было бы разложить промежуток иа конечное число ча. стай, содержащих лищь по одной особой точке, и применить рассуждеии~ к каждой части в отдельности. 432 Гл. хгх. Ряды ФРРьа Если вспомнить формулы (1), выражаюшне коэффициенты фурье, то в качестве первого непосредственного следствия отсюда получается утверждение: Коэффициенты Фу р ь е а, дм абсолютно ггнтегрируемой функци~ при т-ь+оо стремятся к нулю.
683. Принцип локализации. Вторым непосредственным же следствием доказанной леммы является так называемый „принцип локализации Взяв произвольное положительное число 3(п, разобьем интеграл в (4) на два: ) = ) + ~. Если второй из ннх переписать в виде: о о ь я 1 + 2) 2 ми — С 2 то станет ясно, что множитель при синусе является а б с о л ю т н о интегрируемой функцией от 1 в промежутке 1ь, и), ибо знаменатель 2 Ып — 1 в этом промежутке в нуль не обращается. В таком случае 1 2 по лемме этот интеграл при и-ь со стремится к нулю, тзк что и самое сушествование предела для частичной суммы ряда Ф у р ь е, з„(хь), и величина этого предела целиком определяются поведением одного лишь интеграла а 1 тю (и ~- — ~')С Ря(ь) = — „(у (хь+ г) +Х(хь — т)) 1 йй (7) 2 ми — с ь Но в этот интеграл входят лишь значения функции у(х), отвечающие изменению аргумента в промежутке от х,— 3 до ха+3.
Этим простым соображением и доказывается „принцип локализации", состоящий в следующем: Теорема Римана. Поведение ряда Фурье функции у(х) в некоторой точке хьь зависит исключительно от значений, принилгаемых функцией в непосредственной близости рассматриваемой точки, т. е. в сколь угодно малой ее окрестности. Таким образом, если, например, взять две функции, значения которых в произвольно малой окрестности точки х, совпадают, то как бы они ни разнились вне этой окрестности, соответствующие этим функциям ряды Фурье ведут себя в точке х, одинаково: либо оба сходится, и притом к одной и той же сумме, либо ь Мы понимаем под этим сходимость иаи расходимость ряда в точке хм а также наличие дая него (в случае сходимости) той иаи иной суммы.
6841 433 $ к Разложвннв эгнкций в гяд эг ьв оба расходятся. Этот результат покажется еще более разительным, если подчеркнуть, что самые коэффициенты Фур ь е рассматриваемых функций, зависящие от всех их значений, могут оказаться совершенно различными! Эта теорема обычно связывается с именем Р н мана, ибо является следствием более общей его теоремы, доказанной в 1853 г. Следует, однако, отметить, что идея „принципа локализации" содержится в одной работе Остроградского 1828 г.
по математической физике, а также отражена в исследованиях Лобачевского 1834 г. по тригонометрическим рядам. 684, Признаки Дини и Лнпшнца сходимости рядов Фурье. Возвращаемся к прерванному исследованию поведения частичной суммы в,(х,) ряда Фурье, для которой мы получили интегральное выражение (4). Отметим, что упомянутое равенство имеет место для к а ж д о й функции г (х), удовлетворяющей поставленным условиям.
Если, в ч а с тности, взять Д(х)=1, то и в„(х)=1, и нз (4) получим, что ' ~+-')с ь 2 яп — С 2 о Умножая обе части этого равенства на постоянное число 8,— предполагаемую сумму нашего ряда, точное значение которой мы установим ниже, и вычитая результат из (4), найдем: Б|п ~п+ — ) С в,(хь) — Эь = — „4 (1) 1 ас, 2 2 ми — С (8) где для краткости положено ВТ=Кхь+С +У(хь — С) — 2Эь. (9) Если мы хотим установить, что Юь действительно является суммой ряда, то для этого нужно доказать, что интеграл (8) при и — ьсо стремится к нулю. Обратимся к выбору самого числа Яь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
