Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 70
Текст из файла (страница 70)
12) Перейдем теперь к примерим применения к вычислению кратных интегралов общей формулы (6) замены переменных. Естественно начать с обобщенного полярного преобразования по формулам х, = г с<а йо ха=гз1пч~ спать ха=гэ1пТ1 Япча соачэ, (10) хя г=гэ!прю мпча .. нпч» й глмч хя Г вша мяча Япчи-3 Яп чя-г Если в пространстве х,х,...х„рассматрнвается сфера х'+х'+...+ +хам)т', то ей в новом пространстве гч, ...ч „очевидно, можно поставнть в соответствие прямоугольный п ар а л л еле пипед 0«гц )>, 0(уг «я, ..., 0(т„а «я, 0(рд т(2я; если же берется только часть сферы, отвечающая ограниченивм х,~О, х, ) О, ..., х„ ~ О, то нзмененне всех углов ть ..., Ря т ограничивается промежутком ~О, — 1.
' 21' Якобнан преобразования (у(хо хь ..., х„) В(г, Т„..., чя,) вычисляется непосредственно по определению очень кропотливо. Поэтому мы Гл. хчпт. твойные и мноГОкРАтные интеГРАлы (ОТО вычислим его обходным путем. формулы (10) легко приводят к'системе уравнений: )л, ж г' — (х,'+ хая + ... + х') = О, Р; ж г' аша Т1 — (ха а+ ... + хла) = О, га юга а!па р, аша Та — '(х'+ ... +х') =О, )тл ив г' а(п' Т, ... япт Тл, — х„' = О, для которой, обратно, система функций (10) и будет решением. В таком случае по формуле п' 210, 8), ~1(г и гв " ~ гл) .0(хь хя ..„ха) ( 1)л )У(г, Ть ..., Тл-г) ()(Г» Тю "л Тл-д Г)(гь гя ° л Рл) с)(хо хя ..., хл) Оба последних определителя вычисляются сразу, ибо приводятся к произве- дениям диагональных членов; они равны соответственно .0(г"ь ..., Р ) 1)(~ь " Тл-ю) = ( — 1)л2л гал ' яп'л аТ, соа Т, яп'л а Та соа Та ...
яп Тл, соа Т„„ )2(Г„..., ) „) =2лх,хт ... хл= Й(хо ..., хл) = 2 "Гл $1п" ' Т, соз Т, Яп ' Т, Соа Та ... $1п Тл-1 соз Тл-ь Таким образом, окончательно, ./= ' ь и "' л =га-тяпа-аТ а)пл-а ... а)п Рассмотрим для примера интеграл л 0= ~ ... ~ уЦ/х,'+...+х„')Лх, ...Фх,. лт+-.+алый Если прибегнуть к полярному преобразованию, то его вычисление непосредственно приведется к вычислению и отдельных, один от другого не зависящих, интегралов: и а л О=~ Гл тУ(г) с(Г.~ Япл аТ, ЛТ~ ...
~ Япа Тл-э ЛТл-а Х л тл Х ~ яп Та-в ЛТл-а )Г йрл-з о Если использовать для вычисления интегралов от степеней синуса формулу из $34, 4) б): г( — ) ~яп" 'Тг(у=2~ а1па 'Тяу=)гл, + 676) а в. НИОГОЕРАтные интеГРАлы то после упрощений иолучям л 3 (7=2 ~ г 'У(г) 4г, 'Ю» так что вопрос свелся к вычнсленню олного простого ннтеграла по г. В этом, как частные случаи, содержатся результаты упражнений 2) н 3). В свою очередь, полученный результат содержится в формуле Л и у в и л л я 8). 13) Если возвести формулы (10) в квадрат, заменить х', х', ..., х,', через хь х„..., х„*, а г', мп'То ..., мп'Тз в — чеРез иь и„..., йя, то пРидем к такой системе соотйошеннй! х, и,(1 — и,), х =а и (1 "вз) хл-в — — ивиз .. ивв — в (1 — ивв) х„= и,и, ...
ия. Преобразование (11), таким образом, в не ко тором с м ы сле равносильно полярному преобразованию (10). В случае и =2 его прнменнл Я ко б н длядоказательства известного соотношения между функциями В н Г (617 (!3)). Предлагается непосредственно установить формулу Лнувнлля 7), прнменнв к интегралу в левой части преобразование (11). Снмплексу х,ожО, х ~0, „ха~О, х,+...+х„(1 при атом отвечает куб [О; 1; ...; О, 1] в пространстве а, ...
и . Якобиан преобразований равен ввв из (1 — ив) " из ". ия-в (1 — ил) из " ии — и, а,(1 — из) ... и,и, ... а,,(1 — а„) и,и, ... и„ 0 — а,и, 0 ... и, ...а,(1 — и„) а, ...и„зи„ 0 ... — а,...и„, и,...и Если к элементам каждого столбца прнбавнть соответственные заементы всех последующих столбцов, то вса злементы ниже диагоналя заменятся нулями, а диагональные злементы окажутся равными 1, ив, азиз, "в ив " ия-в Таком образом, окончательно л †! л — 3 У=и, и, и„,. По формуле (6) наш интеграл приводится к следующему: я ! 1 ) ... ) Т(гч) изш !Рз+-+Ря (! — и,)л' Х в л Х а,л' "' РЯ ...
(1 — ия)лз ' из~а В!ив ... в(изв * Конечно, в таком случае зтн переменные могут принимать лишь н е о трн цате льн ые значения. 404 ГЛ. ХЧПЕ ТРОйНЫВ Н МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1676 а этот уже представляется в виде п р о и з в е д е н и я простых интегралов; остальное ясно. 14) То же преобразование переменных позволяет получить и видоизмененную формулу Л и у в н л л я, где я-кратный интеграл оказывается распространенным на б е с к о н е ч н у ю область: Я Т(х, + ха -(- ...-(-хл) х",' хл' ... хлл !(хт'!ха " Нхл= «т+-'+ л прп этом предполагается, что интеграл справа сходнтся а бсо лют но, Эта формула обобщается так же, как н предшествующая (ср.
8)): л ТЯ~ — ) + +( — ) )х х х ..Нх = ©"'-'(-":)'"=' С помощью последней формулы можно установить, например, что ХР' ...Х Л аХ ... т!Х„ Р— ! 1 (А«! (( х'л)Р .с'"!+...+тля» ! л Г ~Р ) ... Г ~РВ) Г1, У(Р!) Г ()тт) ..л(Р«) 1 (я) пРт+Рв+ "+Рл ! лп; (Рт+Ра+" +Рл) ...л ~Р— — — — )Г( ( ( ) (прн Р)Р! + +Ран) ВУб! Э В. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ )5) Доказать формулу (также принадлежицую Л и у в и л л ю): ! ! " ~ Т (огпэ ° - ов) (! о!) (! Рэ) ° )Рв ! Р! Рг+Рэ Рг+- +Рв э з '" в г(р,)г(р,) ...г(рв) г, +, +.+ Г(р,+р,+...+р,) ~ Т и У казан ив.
Формула выводится нз соотношения, данного в 7), если заиенить там Т(и) на Т (! — и) и положить х, = (! — 9!) оа ... Ов, хэ=(! Рэ)оэ "° ол хв ! — (! Рл-!) Рл ил= ! ов. Якобнан преобразования в этом случае имеет значение л — э и†! р = ( — !)в пэеэ ... Рл !Рв !6) Рассмотрим, вместе с Каталаиом, интеграл (и~3)! в — ! т(х! ... эгх„эв К= 3э ... у(а!ха+...+а хл) хл ,3 в!х! ... эхл, =2 ~ ...
~ у(а,хэ+ ...+ алли) у вэ+...+в,! ! ! при этом, полагая М = 1/ а,' -)-... + а' считаем функцию у(и) непрерывной для ! и ~ (М. Прибегнем к линейному ортогональному преобразованию всех переменных, включая и хв, по формулам х,=в,и,+Ьи,+...+Ь,ив,+(,ив, х,=а,и, + Ь и,-(-...+ Атил !+!!ил, хв лл иви, -(- Ьви, +... -(- Явив, + увив, * В первой форме этот интеграл по сути является поверхностным интегралом ~ ... ) р" (а,х, + ав.тв) 48, аспространенным на поверхность единичной сферы в л-мерном пространстве ср. вамечание к (3)).
406 ГЛ. Х71П. ТРОЙНЫВ И МНОГОКРАТНЫВ ИНТВГРАЛЫ (ВУВ н(и+1) где я' коэффициентов подчинены условиям 2 а,'+ лат+ ... + от=1, а,Ь, + а Ь, + ... + ааЬа =О, 1 +1!+ +1т 1 Д1 +Д1 + +Д 1 Из них следует, что и', + и' +... + и„' = х', + х' + ... + х' = 1, н мы берем за новые независимые переменные ио ..., и„„полагая иа — М 1 и1э Произвол в выборе коэффициентов настолько велик, что мы вправе конкретно положить а = — (1=1, 2, ..а я) Я11 М и даже дополнительно потребовать, чтобы определитель, составленный из коэффициентов преобразования, был равен + 1. Прн таком предположении, как известно, алгебраическое дополнение, отвечающее какому-либо элементу определителя, равно самому элементу.
С учетом этого якобиан и, а, — 1!— иа и! аа — 1,— иа ,() (х„..., х !) ьэ (ио ..., иа !) иэ иа — 1 аа — ! 1а — ~ = Ьа — э га-г °" Да-1 га-! йа иа ' - и„ оказывается равяым 1 +аа- — +Ьа — +...+Д == —, и, и, иа, х„ "иа аиа '" иа иа' Таким образом, г(и! ... 11иа, 1 — ит —...— иэ а — ! !Гиа ... а1иа, 1/ (1 — и,') — и' —... — и' +...+ив — 1щ! — а! Внутренний интеграл, как легко получить из 3), равен а — 1 а — 3 т г Я-~) д'=2 ~ ... ~ у(Ми!) и!~+ ...+аа 1щ! =2 ~ у(Ми1)ии; — 1 и, Ь,— 1,— иа ܄— Ет — э- иа Д,— 1,= иа, иа иа Д,— 1„= иа % В. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ тзк что окончательно ! » — 3 уЦ/юа+...+ю'и)(1 — и') ~ Ыи — 1 Ут'=2 Г ~и:,1) Полагая здесь и=сов 1 (О~Л ~ я), можно написать результат и в виде г!г',т" +м ") "' о » — ! т К=2 *Г=2') У(хь ..., х„) Т (и(хи ..., х,)) Дх, ...
йх» = юмл»...„» !ММ М М =(5) $ Т(и) йф(и)=([1) $ Т(и) — „г(и, (12) йф (и) где ф(и)= $ ... $ ~(хо ..„х») Нх, ... их». и л !» ..., » ! » (13) +оз М Здесь )И может быть и + аа„причем ) понимается как Нш ) . Ю М аом Предполагаетсядля примерапо методу К а т а л ан а получить из формулы Д в р и х л е 4) формулу Л и у в и л л я 7). 18) Н. Я. Сонин обратил внимание на то, что формулу К а талана иной раз можно использовать в другом плане. Предположим функцию у(хь ..., х„) однородной [187[ степени а, а функцию 3 (х„..., х„) — о д н о р о д н о й же, но первой степени; например, функция и может иметь втщ «,+...+х.... )/х,*+...+«а. Пусть, далее, М=О, Тогда, полагая в (!3) х, гйм ха=иб„..., хя=и$ Прн я=3 отсюда получается известная формула П у а с со н а, которую мы вывели в 633, 3) и, по существу, тем же методом преобразование координат.
!Т)'Известная уже нам формула К а талана [см. ЕВТ, 15) н 616, 16)[ непосредственно — путем повторения тех же рассуждений — переносится нз н-мерный случай 408 ГЛ. ХЧП!. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !0ТЕ (Якобиан у=ил) н учитывая, что неравенство 0 ~и(х!, ..., хл) (и перейдет при этом в неравенство О( и(Е„..., Ел) ~1, мы получим, что л Ф(я)=и т' ) ... ) у(Е„..., Ел)йЕ, ... ((Е . 0«з((!' ' ' (л)«! Подставляем это в (12) (лишь вместо Е снова пишем х): у(х„..., х„) р (и(х(, ..., »л)) 0(х ... ((хл = О«Л(х!...,, х )лал( л м — у'(х„..., хл) ((х! ... в(»л ° ~ч(и) а)ил'х. О З(х,,..., «л)«! Теперь, е с л и удается выбрать, во-первых, функцию ч и, во-вторык, предел М так, чтобы интеграл слева легко вычислался, то отсюда получается выражение для интеграла л У(х„..., х ) (тх! ... (1» .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
