Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 67
Текст из файла (страница 67)
определить Ф из условия б1чА"=б1чА +АРФ=О или ЬФ= — б1чА,", Поставленная задача решена. Установить теперь степень произвола в определении искомого вектора А. Легко сообразить, что два решения разнятся таким вектором О, который удовлетворяет двум уравнениям: б[ча=О, го10=О. Второе из них дает: 0=0, го1 0=0, а из первого получаем тогда, что ЬН= О: Н есть произвольная г а р м о н и ч е с к а я функция. О д н о з н а ч н о вектор А получается, если установлены и «граничные условия», которые приводят к однозначному определению упомянутой гармонической функции. Результаты двух последних п' распространяются и на области общего вида, удовлетворяющие — это нужно подчеркнуть — требованиям односвязности того или другого типа, смотря по случаю.
672. Приложения. В заключение этого параграфа мы приведем различные примеры использования понятий векторного анализа и основных интегральных формул в векторной форме. Начнем с примеров на применение формулы Остроградского и связанных с нею понятий. » Обращаем внимание читателя на изменение обозначений — по сразнснию с 2). 379 9721 8 д элементы векторного лнллнзл 1'.
Уравнение иеразрывиасшгх Рассмотрим вновь движение жидкости п р и о т с у т с т в и и и с т о ч н и к о в, но ие будем, вообще говоря, предполагать ее несжимаемой. Считая, что жидкость сплошйым образом зайолняет прост-. ранство или определенную его часть, вырежем нз жидкости. произвольное тело ((г), ограниченное поверхностью (3). Количество жидкости С), вытекающее в о в н е нз этого тела, рассчитанное иа единицу времени, как мы знаем, выразится формулой (5). Подсчитаем это же количество иначе. Если учесть изменение плотности В за промежуток дс на величину — дв, то масса рдУ др дг элемента (дУ) тела изменится на — дГИУ, а масса всего рассматриваемого др "Ц,|."" Такое количество жидкости должно за промежуток времени дт протечь в н у т р ь тела; изменив его знак, получим количество жнлкости, вытекающей за этот промежуток вовне. Наконец, если отнести количество вытекающей жидкости к единице времени, то йайдем '=-Ц($" Чтобы удобнее было приравнять оба выражения для г), преобразуем поверхностный интеграл (5) по формуле О с т р о г р а д с к о г о (7) также к тройному интегралу.
Таким путем мы получим ~ 1( ~ ( — ~+ б!ч (рй) ~ дУ=О. !р! Так как это равенство имеет место для любого тела (У) в пределах рассматриваемой области, то, в силу 6И, 8; отсюда следует, что т аж де с твенно др — + гн в (ро) = О. дг Это равенство и известно под наименованием уравнения неразрывности. 2'. Основное уравнение движения идеальной жидкосгли Пусть на жидкость в общем случае действуют как внешние, так и внутренние силы, Внешние силы мы считаем пропорциональными массе, так что, если р есть сила, действующая на единицу массы, то на элемент жидкости (дУ) будет действовать сила рдУ 7.
Что же касается внутренних сил, т. е. сил, действующих на выделенное из жидкости тело (У) со стороны остальной жидкости, то идеальная жидкость характеризуется именно тем что эти силы приводятся к нормальному по отношению к поверхности (4) этого тела давлению, направленному в н у т р ь тела. При этом самая величина р давления, приходящегосв на единицу площади, зависит не от о р и е н т а ци и той бесконечно малой площадки, к которой давление приложено, а лишь от ее координат. Таким образом, на элемент поверхности (дЗ) действует сила, проекции которой иа оси будут — р сБ сов1, — р д8 совр, — р дЗомч, если через сов 1, сгмр, совч обозначить направляющие косинусы внешней нормали к поверхности. На все тело ($г) будет действовать сила, определвемая проекциями — (гтрсовйдд, — ~с!усову дЗ, — Црс<мтдЗ, Ф Ф 380 гл.
хрщ. тройныв и многокрлтныи ннтигвллы !6Уй или — если снова прибегнуть к преобразованию по формуле О с т р о г р а д- е к о г о, — интегралами Сила, приходящаяся на долю элемента (сг(г) жидкости, будет иметь проекции — — дУ, — — - дУ, — о ЫЬ', др др др дх ' ду ' дз и следовательно, как вектор, представится в виде — дрйгаб р. Если теперь через а обозначить отвечающее элементу (д(г) ускорение, то по закону движения Н ь ю т о н а р дУа = 7 р дУ вЂ” дУягад р, откуда окончательно 1 а = Р' — — пгадр. Р Это и есть основнов уравнение движения идеальной жидкости в векторной форме, Оно распадается на три скалярных уравнения, если перейти к проекциям на три оси координат.
3'. Уравнение гиеилоироводносаи. В качестве последнего примера применения формулы О с т р о г р а д с к о г о рассмотрим вопрос о тепловом состоянии тела под действием внутренней теплопроводности при отсутствии источников тепла.
Если выделить тело ((г), ограниченное поверхностью (8), то, как мы видеви в 667, 2), количество тепла, вытекающего из тела через поверхность (8) в о в н е, рассчитанное на единицу времени, будет равно О = — ) ~(г йгабн (Гдд (М (мы сохраняем прежние обозначения), Изменив знак в этом выражении и преобразуя его к тройному интегралу, для количества тепла, вытекающего внутрь тела, найдем выражение ~ ~ ) б( ч (й ц гад (у) и К (15) (р) Это тепло повлечет за собой изменение температуры внутри тела (У) и д(( может быть подсчитано иначе. Увеличение температуры 0 на д(/= — дг за дс промежуток времени дг потребует сообщения элементу (дУ) тела количества тепла с д(ур д(г с д дг р д(г ди дс где с означает те и лое мк о с т ь тела в рассматриваемой точке..Все тело(У) ва время г(С поглотит количество тепла р дс (Р) Ф в.
элиминты виктовного анализа если же отнести его к единице времени, то получим гс ! 1 (16) Приравнивая выражения (!5) и (16), придем к равенству $ ~ $ ~су д — д!т(лягай У)~д(г, !в) которое выполняетса для любого тела (г),взятого в рассматриваемой обаастн, Отсюда, квк и выше в 1; заключаем, что в втой области имеем тождественно: дУ ср — =д!т(Ф пгаб У). дг Это и есть уравнение теплопроводности. В случае однородной среды оно принимает вид дУ = а'аУ, ог й где ав = — и а означает оператор Л а п л а с а: св т, е. является гармонической функцией координат точки.
Перейдем к примерам приложения формулы С то к с а и связанных с нею понятий. Эти приложения относнтся к движению жидкости. 4'. Рассматривая внутри жидкости аннию или поверхность в некий момент времени, мы будем интересоваться тем, какой образ составится из тех же жидких част иц в другой момент. В втих исследованиях важную роль д будет яграть такое вспомогательное утверждение: производная по времени от цир- И куляции скорости по замкнутому жидко- Вв му контуру равна цирку пщии ускорения вв но этому же гсонтуру. Рассмотрим какой-нибудь контур(ув) = дв = (А,В,) в момент времени Г,, Выберем за параметр, определяющий положение точки М, на нем, скажем, дугу в=АвМ, (рис.
120); если в момент в жидкий контур (Ув)=(АвВв) перешел в (ь)=(АВ), то положение точки М, в которую перешла точка М„ определится уравнениями вида х = ц (в, с), у = ф (в, Ф), л = Х (в, С) (О ( в ( в). Циркуляция скорости дх ду дат ю вью~.ъ~ =~ (ъквъввья)аг Ов А Наконец, прн с т а ц и о н а р н о м распределении температуры У она не зависит от времени и удовлетворяет уравнению Л а п л а с а аУ=О, в ду Г где„дх до ду до,дат — ='~ Д вЂ” + — Г=+ — ~ — )да+ дт 8) ~ дг да дт да дт де) Ф я д'х д'у д'л 1 т= / дх ду дзт р("ьп ~ ьь~ дю! )г*п~ м~ д1 в дол до даат ~.~ ("* 4.ъ-'-.~- д. д. Первый из полученных двух интегралов дает циркуляцию ускорении ) ° а„г(х+ алг(у+ а,дю () Второй же непосредственно вычисляется, так как подинтегральное выраже- ние есть производная по е от — (ох+ од+па) = — о ' 1 а а а 1 2 2 он равен что в случае замкнутого контура (Е) обращается в О.
Итак, окончательно: дУ л — а„Ых+ пуду+а Ыг, <б (18) что и требовалось доказать. 5'. Пусть мы имеем дело с идеальной жидкостью в смысле 2'. Кроме того, сделаем еще два предположения: 1) сила Р имеет потенциал, т. е. Р=пгаб У; 2) плотность р есть однозначная функция от давления в: р=т(р). Введем величину ф()=~ — ', Г др 3 т(р)1 * Жидкость, удовлетворяющая последнему требованию, иногда называется лбаротропнойь. 382 гл. хчтгг. гнойные и многократные интегралы [о)2' может быть продифференцирована по т по правилу Лейбница: э 4.
эдйминты векторною анализа тогда дФ йф др 1 др дх брдх Р дх и аналогично дФ 1 др дФ 1 др ду Р ду' дг Р дг' так что пгаб Ф = — огай р. 1 Р Мы имели уже основное уравнение гидродинамнки (14). Теперь оно напишется в виде а = ягай (У вЂ” Ф). Если подставить это в полученное выше равенство (18), то окажется йг Й- — = ~ б(У вЂ” Ф)=0, так что э=сонат. Х! Таким образом, ццвкуляция гкоросюи ло любому замкнумому жидкому коюяуру посюоякиа вовремеки. Это есть теорема Том сова (%. Тйошаоп). Отсюда, как простое следствие, получается интересное предложение Лагранжа; если рассмаюриваемая масса жидкосюи ке имеем вихрей в некий олределеккый маманю времени, юо ояа ке можем имею» вихрви и во всякий другой моменю. Действительно, отсутствие вихрей равносильно обращению в нуль циркуляции скорости вдоль любого замкнутого контура 670, 1').
Есан это обстоятельство имеет место однажды, то по теореме ам сана то же будет и всегда, 6'. Теперь мы в состоянии доказать две важные теоремы Гельмгольца, относящиеся к свихревым» линиям и трубкам в. Прн этом мы все время сохраняем предположения, указанные в начале 5 . Теорема о сохранвйии вихревых линий Часюицы жидкосюи, обравующие вихревую лилию в некий момекю времени, и во все время движеяия образуюю вихревую ликию. Нам проще доказать это сначала относительно в и х р е в о й п о в е р х.,Ност и. Пусть (3») будет такой поверхностью в момент времени Гб тогда в каждой ее точке вихрь скорости й=го!о будет лежать в касательной к (о») плоскости, т.
е. Як =О. Если взять на по'верхности любой замкнутый контур (а»), ограничивающий часть (а,) поверхности, то пе„формуле Стокса (14) ~ о,бх+ оубУ+ о,бг = ~ ~ ЯябЗ, = О. 0»! ы»» "Вихревой линией или поверхностью (в частности, трубкой) называется, соответственно, векторная линия илн поверхность (трубка) для ноля вихра. 384 Гл. хчпе тРОйные и мнОГОкРАтные интеГРАлы [673 В момент времени Г жидкая поверхность (3,) перейдет в поверхность (3), ее часть (в,) — в (в), а жидкий контур (Л,) — в контур (Л). Но по теореме Томсона и сейчас о„йх+о„Фу+ о,йг= О, О так что (снова по формуле С т о к с а) ) ) а„33=О.
пз Ввиду произвольности (е) отсюда легко заключить, что вдоль (3) тождественно Ял — — О> так что и поверхность (3) оказывается вихревой. Так как вихревую линию всегда можно рассматривать как пересечение двух вихревых поверхностей, то теорема доказана. В частности, отсюда следует и сохранение вихревых трубок. Теперь уж совсем легко получается Теорема о солраненаа интенсивности внхревых трубок. Интенсивность любой вихревой трубки во все время движения остается лоетоян ной. По формуле Стокса интенсивность вихревой трубки, т. е.
поток вихря через поперечное сечение трубки, приводится к пиркувяции скорости по контуру этого сечения (ср. 670, 23). В таком случае требуемое заключение прямо следует из теоремы Т о м с о н а (3 ). Этими примерами применения введенных понятий и основных формул интегрального исчисления мы и ограничимся. В 6. Многократные интегралы 673. Задача о притяжении и потенциале двух тел. Потребности анализа и его приложений не исчерпываются уже наученными типами определенных интегрзлов: простыми, двойными и тройными. Проиллюстрируем это на примере 3 а д а ч и о и р н т я ж е н и и двух тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
