Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 71
Текст из файла (страница 71)
0«з(х!, ..., «\«! Если, например, ограничиваясь неотрицательными значениями х„..., х, взять и (х„... ! хл) = х, + ... + хл, У(»!, ..., х )=хр' ' ... х,л (р!)О), р (и) = в ", М = + со, то з окажется равным р, + ... +рл — л, и мы получим формулу Дори- д л е ]4)]! л р — 1 х!" ... х л в(х ...0(х = ! "' л л 0«х(+ ... +.т ! ) в — «! »Р! - ! О!» ) в — «л »Р« (тх О О Х (Р!) ". !'(Рл) — Г(р,+ ...
+рл+П' (р,+ ... +р„)~В ' иР'+" +Рл Ои 19) Предлагается тем же приемом осуществить приведение интеграла л Р! — ! Р-! х ...хл (ь...+ ... +ь,.)."- - """ «!, ..., х«Г«0 0=«!+" -,«л=! в предположении, что р(~0, 0(~0, р,+ ... +р,~ )~О. Е В. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Указании Взвть г(а)=е ", М=+со) воспользоваться результатом 10) при а, = ... = а„= 1 и Ьа = О. Оюаею. СО Г(Р,) ...
Г(Ра) иа 'ди р(р + „. +р„— а+1)р(О) лт (1+0 и) ... (1+А„п) а' 20) Н. Я. Сонину принадлежит также следующее обобщение формулы Каталана: Т (хо ..., х„, а(хо ..., х„)) дх, ... дх„= м Л(хь...,х 1 М дт где Ф(т, с)= ) ... ) Е(х„..., х„, с) дх, ... дх„. ю а(хо...,х ] г [Формула К а т алана отсюда получается, если функпии Т(хо ...,х„,с) придать частную форму: у(хо ..., х„)о(с).] , Приведем доказательство автора. В очевидном равенстве М М ) дт) ... 1 Р(х„...,х„,т)дх, ... дха=) ... ~ дх, ...дх„) Р(хп...,'х„,т) дг положим р ' '" ', если ю~д(хп ..., х„)=т, (дч(хо ..., х„, т) О, если д(хо ..„хл))т; тогда получим "'и ...а,дТ(х, ..., х,т) а йщл Й=,= л Если вычислить внутренний интеграл справа, то отсюда п ~ Т (хо ..., х„, а) дх, ...
дх„= л М (м,м)-( ~ ... )"'"'; * "ю., ш.. сч дт м Ища« 410 ГЛ. Хч!П. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1676 ду(х„..., х„, т) дс «х1 "° ~хп. ы~е» Проинтегрируем теперь это равенство по С от ачдо М; принимая во внимание, что Ф(т, ю)=0, найдем: м в щ я~ — ~ а ~ ...
~ Ь-~* — "а — "' — "ш, ... ш .= и а е г — — дс. (15) Если сопоставить (14) и (15), то и получится доказываемая формула 21) Применим формулу Сонина к вычислению интеграла: а~а~+...+ляля — е т ' "дх,...дхя. о )/хе+...+ „' Здесь еюе! + ". +ляля Т (хо ..., х„, с) = е к(х1х)ухе~+ +х% в=О, М=1, *~...':„* а,...и =1 .;+::.~ею Ф (Й с)= Имеем, очевидно, а~с~+...+а е л л дх, ... дхя= о~ )/ «т+ ... +е„~г я гя о ~г лт+...+ '«1 — (агат+ ...+а е 1 е' " дх, ...
дхе. С другой стороны, по правилу дифференцирования сложной функции <полная производная» (с ~дФ(Й с)~ ~ ~дФ(Й с)~ Применяя к вычислению второй производной справа правило Лейбница, заменим ее через 6761 % 3. МНОГОКРЛТНЫП ИНТПГРлЛЫ Воспользозавпгнсь результатом упражнения 1!), легко получнть разаожение я <ю ф(г, с)=я'~Р ' (р)"С!»тя, Д)Г~. +Д ( 1) 'с где р = рг а'+ ... + а'. Отсюда так что по формуле С о н н н а л 2яг ч~! 1 з= — -'у л (р!) 12 ср.
11)). 22) Вычислить интеграл (Х)О): гя — (~,+ -+~„,+„) Л(л)= ~... ~е '"' "-' Х Ля е= х, х,...х„,' получим, что и — ! СО ее лв — (л +...+л +е+ ) е й и-! ! я — г л — ! — — ! — — ! — — ! Х хг ...х„ " ! л " с(ха ... с(х ! !Рл т. е. «Я с(а — = — яК Отсюда е(=Се "". г л — 1 — — 1 — — ! — — 1 Х х! хг ...х„", с!х! ... !(х„ [ср. Е12, 12)).
Днфференппруя (прн Х ) 0) по параметру Х под знаком интеграла н заменяя з результате одну переменную х, через 412 [676 ГЛ. ХЧП!. ТРОВНЫЕ И ЫНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Так как при Л =0 интеграл )с сохраняет непрерывность, то а — 1 С=)т(0) =Г [-) Г Я ...Г ~ — ) = =(2л) [631, 6'). Окончательно: )7 = — (2я) э е-а" 1 Р' и и — 1 1 — (2л) ° ЛР 'е а!г(Л= Р' л о (2я) Г (Р) Р+-' л (16) по Л на первоеместо (по порядку выпол- Слева же перенесем интегрирование пения): а — 1 пп ап 1 ! о о л — 1 — — 1 х ! 1Гх ... 1(х Х Лл Х )г е "' ' '' л-1.Лр-та1Л. о Лп Внутренний интеграл подстановкой =Г приводится к " хл-! Р— Г( — )(х, ...
ха,)", а тогда оставшийся (н — 1)-кратный интеграл распадается на произведение отдельных простых интегралов: по р+! Оп р+а — 1 — к — 1 1 а-! а пх,... ~е ° х 'Гхп-! лл и Лл) ',') о о =1 г ~' — ') . г (р+ ') ... г ~р+ " ' ) Приравнивая это произведение выражение (16) и заменяя р через па (а ) 0), мы и придем к формуле Г а у с с а: л — 1 Г(а)Г ~а+ — ) ... Г 1!а+:) = —, Г(ло) 11 / — 11 (2) .) " и в ее обычном виде. 23) Л н у в и л л ь остроумно использовал этот интеграл для вывода теоремы умножения для функции Г, принадлежащей Г а у с с у [536[. Умножив обе части полученного равенства на ЛР ! (р ) 0), проинтегрируем его по Л от Л = 0 до Л = + оа.
Справа получится 4!З й в. многократные интегралы 24) Пусть Л (х), Л (х), ..., Л(х) будут ограниченные функции, интегрируемые в конечном промежутйе (а, Ь). Доказать, что Л (хз) Л(х) Л(хт) ... Л(х„) Л (хт) " Л (хл) л ь ь г(хтл!хл ... !(хл = Л(хт) ". Л(х.) ул (х!) ь ) у(ох л ь ) уа у'фх а (У,У,г)х ... (УтУлдх а а ь ь )Ялх ... ) ЛЛл!х ь ь ь ')у.у!и» ')у„Лкх ...) '*'" Определитель справа называется определителем Грана (Я, Р,бгаш). Разложив промежуток [о, Ь) иа т () и) равных частей, введем в рассмотрение значения всех и функцйй в точках деления: У~гуут1=Л (а+у — ) (1=1, 2, ..., л; У=О, 1, ..., т — 1). Возведем в квадрат прямоугольную матрицу, составленную из зтих чисел.
По известной теореме соответствующий ей определитель * оказывается равным сумме квадратов определителей упомянутой исхолной ... х !у~„'Г 1 ~т()! ч)~~~ !у!н!!т ~ у(т! у!т! й о г„-о у-о !Ь вЂ” л!л Еслнкаждое слагаемое кратнойсуммысленаумиожить на ! — ~ и '! т Ь вЂ” а одновременно каждый з л е и е н т определителя справа на — то получится т равенство вроде доказываемого, ио лишь с интегральными суммами вместо кнтегралов. Чтобы завершить доказательство, остается перейти к пределу прн т со. ь Для краткости мы записываем в виде ( о!ь( определитель, у которого в пересечении Нй строки и й го столбца стоит злемент ань где суммирование распространено на всевозможные со ч е т а н и я из т() л) ' значков О, 1, ..., т — 1 поп. Если от сочетаний перейти к размещениям, то каждый член воспроизведется я! раз; можно не набегать и равенствазначков Л ибо атому случаю отвечает нулевой член.
В результате можно иапнсаты т — ! т-! т — ! ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ РЯДЫ ФУРЬЕ $1. Введение 677, Периодические величины н гармонический анализ. В науке и технике чзсто приходится иметь дело с п е р и о д и ч ес к и м и я в л е н и я м и, т.
е. такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени Т, называемый не р и о до м. Примером может служить установившееся движение паровой машины, которая по истечении определенного числа оборотов снова проходит через свое начальное положение, затем явление переменного тока, и т. п. Различные величины, связанные с рассматриваемым периодическим явлением, по истечении периода Т возвращаются к своим прежним значениям и представляют, следовательно, периодические функции от времени 1, характеризуемые равенством Т(с+ У)=Т(!). Таковы, например, сила и напряжение переменного тока или— в примере паровой машины — путь, скорость и ускорение крейцкопфа, давление пара, касательное усилие в пальце крнвошипа и т.
д. Простейшей из периодических функций (если не считзть п ос т о я н н о й) является синусоидальнаа величина: А з!п (и!+ а), где в есть «частота», связанная с периодом Т соотношением: И= —. (!) Из подобных простейших периодических функций могут быть составлены и более сложные. Наперед ясно, что составляющие синусоидальные величины должны быть р а нных частот, ибо, как легко убедиться, сложение синусоидальных величин одной и той же частоты не дает ничего нового, ибо приводит опять к синусоидальной величине, притом той же частоты.
Наоборот, если сложить несколько величин вида уа — — Ам у1=А~ гйп(а!+а,), уз= Ааа!п(2м!+а ), Р) уа = Аа з|п (Змт + аа), ..., а ь звиденив которые, есле не считать постоянной, имеют частоты и,2и, Зи,..., кратные наименьшей из них, е, и периоды 1 1 ~'2™ З~' то получится п е р и о д и ч е с к а я функция (с периодом у), но уже существенно отличная от величин типа (2). Рис. 12!. Лля примера мы воспроизводим . здесь (рис, 121) сложение трех синусоидальных величин: а!п1+ — я!и 2!+ — а!п 31; 1 1 график этой функции по своему характеру уже значительно разнится' от синусоиды. Еше в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда, . составленного из величин вида (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
