Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(18*) и ах 2ах пах в1п —, в1п —,..., в1п— (19") Каждая из них представляет собой ортогональную систему в промежутке 10, 11. 4) Чтобы дать пример более сложной ортогональной системы, состоящей из тригонометрических же функций, рассмотрим т р а н с ц е н де н т н о е уравнение: !я Е = сЕ (с = сопят). (20) Можно доказать, что оио имеет бесконечное множество положительных корней: ЕоЕя...,Е„,...; графическн эти корни, получаются, как абсциссы точек пересечения тангенсоидм ч=тиЕ и прямой ч=еЕ (рнс.
122). Составим систему Е! . Ет . Еа ап — х яп — х ... яп-х ... ° 1 ! Легко вычислить (при а~О)„что 1 Пйн(а — З)1 в!пахан рх !Гх— 2 1 а — Р яп (а + р) 1 ) а+р ! !! Р тя а1 — а тя р1 а р = — (при пф я), то, используя уравнение (20), Рслн положить здесь а=— Е„ ! получим: яп — "х яп яхс!х=о (пфя). Ел . Е„, 1 1 если и и пт — числа разной четности. Наоборот, каждая из частичных систем, состоящая либо только из косинусов: 1, совх, сов 2х, ..., сових, ..., (18) 422 1879 гд.
к~к. ряды ел ьа Этим установлена ортогон аль ность укаэанной системы в промежутке (О, 1). Аналогичное эакдючение можно сделать относительно системы Е; Е; Еа соа — 'х соа — 'х ... сов — х ... с если Е;, Е;, ..., Е„', ... есть последовательность положительных корней уравнения стн Е = сЕ (е = сопт1). Однако ни та, ни другая система не будут норм аль ными. Рнс.
122. 5) Важный пример ортогональной системы в промежутке ( — 1,1) доставляют многочлены Л е ж андр а: Р,(х)=1, Р„(х)= — „' „(п=1, 2, 3, ...) лл (ха 1)л (см. пп' 118, ЗЗ)). Так как 1 Р' Нх=— 2 а 2п+1 ~ — ! то для получения н о р и а л ь н о й системы нужно было бы этн палиномы 1 умножить, соответственно, на туг и+ — (п=О, 1, 2, ...).
б) Наконец, рассмотрим еще один пример, связанный с б е с с е л е в ы м и функциями. Мы ограничимся для простоты письма функцией У, (х), но все сказанное будет справедливо и для функций У (х) при и ) О. В теории бесселевых функций устанавливается, что У,(х) имеет бесчисленное множество положительных корней: Еп Еа " Ею 423 $ К ВВВДВНИВ Переписав уравнение, которому удовлетворяет функция Уэ(х), в виде — ]х — ]= — ха, легко получить, каковы бы ни были числа а и р: Ы ]' бУ,(ах)1 „[, 1 — "х ' = — а'ху (ах), 1 — ~х ' 1= — р~у О.).
а ] луч(рх)1 Умножая первое из этих равенств на У,(рх), а второе — на У„(ах), п почленно вычитая одно из другого, найдем: (рэ — аэ) ху, (ах) у (рх) = — (аху (рх) у; (ах) — агхуа (ах) у„(рх)) . ох Отсюда, если а ~ Р: ху ( х) у (рх) ох = Ь (21) Если положить здесьа=Яа,И=ам(при нагл),то придем к соотношению ~хУ,(з„х) У,(Ь х) ох= О, э которое показывает, что система функций ] )' х У, ($ах)] о р т о г о н а льна в промежутке ]О, 1)а.
Эта система не будет норм аль ной. Пусть в промежутке (а, И] дана какая-нибудь ортогональная система ]р„(х)]. Зададимся целью разложить определенную в (а, й] функцию У(х) в «ряд по функциям р» вида: у (х)=саре(х)+срг(х)+...+сара(х)+... (22) Для определения коэффициентов этого разложения, допуская его возможность, поступим так, как мы это сделали в частном случае выше. Именно, умножив обе части разложения иа р (х), проинтегрируем его почленно: ь ь )У(х) р (х)г(х= 'Я е„( р„(х)<р„(х)Их. а=о а р (х) т (х) ф (х) Вх =О. а Если воспользоваться этой терминологией, то можно сказать также, что система функций (Ур($ях)) будет ортогональна с весом х. а Обобщая понятие ортогональности функций р и ф, вводят понятие ораолояальяоетп с весом р(х), связывая его с выпоаиеннем равенства ь 424 (680 ГЛ. Х1Х.
РЯДЫ ФУРЬЕ В силу ортогональности !см. (13) и (16)), все интегралы справа, кроме одного, будут нулями, и легко получается: с = — ~ у (х) р (х))(х. 1 (23) а 1м 0,1,2,.„) [Формулы (7), (11), (!2) являются частными случаями этой формулы.) Ряд (22) с коэффициентами, составленными по формулам (23), называется ' (обобщенным) рядом Фу р ь е данной функции, а сами коэффициенты — ее (обобщсннымп) ноэфгбнпнентамн Фурье относительно системы (р„(х)).
Особенно просто выглядят формулы (23) в случае нормальной системы; тогда с„= ~ У(х) р„(х) бх а аа=а, 1, 2....). (23') Конечно, здесь могут быть повторены те же замечания, какими мы закончили предыдущий п'. Обобщенный ряд Фурье, построенный для данной функции у(х), связан с нею лишь формально. И в общем случае связь между функцией 7(х) и ее (обобщенным) рядом Фурье обозначают так: р (х) ~ с„)р„(х).
о (22 Ф) Сходимость этого ряда к функции р(х), как и в случае тригономет- рического ряда, подлежит еще исследованию. а„(х)=а,+ ~Ч';(аа соз йх+ра а!и лх), (24) значения которого в ряде точек совпадают с соответствующими значениями функции. Именно, всегда можно подобрать 2л+ 1 коэффициентов: а„ а„ а„ р„ тригонометрического многочлена л-го порядка (24) так, чтобы его значения были равны значениям функции у (х) в 2л + 1 наперед указанных точках промежутка ( — а, а), например в точках Е) = !) (! = — л, — л+ 1,..., — 1; О, 1,..., л — 1, л), 686.
Тригонометрическое интерполирование. Можно естественным образом подойти к вопросу о представлении заданной функции 7(х) тригонометрическим рядом, отправляясь от тр игонометрического интерполирования, т. е. приближения к функции ,7(х) с помощью тригонометрического многочлена в !. вввдвннв 2а . где Х= — '. Действительно, для определения этих 2п+1 коэф2п+!' фициентов мы имеем столько же линейных уравнений: аа+ " , '(а» соз 71Е)+ Р» ейп lгЕ))=У(Е)) (25) »=! (1= — а. — л-)-1,..., л). Для решения этой системы нам придется вспомнить одно элементарное тригонометрическое тождество а: Ио [Л+ — )гг — + ~а соз !гг= 1=! 2 в!о — )! (26) Сложим почленно все равенства (25).
Ввиду не четности синуса коэффициент при р» л в!и УгЕ1=0. То же можно сказать и о коэффициенте при км ибо по четности косинуса л а соз УгЕ)=1+2 У', сов ЯХ=О (27) 1- — а 1-1 2»а в силу тождества (26), если влить в нем )г=)г).= = — ~ и,). Поэтому (28) ю — а ъч 1 ж) соз )гЕ1 соз тЕ; — — соз (гг+ т) Е, + — сов (А — т)ЕО 1 ж) 1= — л 1= — л ,Л при )ганг обе суммы справа ввиду (27) обратятся в нуль, а при л=т первая сумма будет нулем, в то время как вторая получит, 1 л Его легко получить, если умножить левую часть на 2 в!и — Ь и каж- 2 1 1 1) дое произведение 2 в!и — Исгм!а заменить разностью ап ! !+ — -~ »в 2 2) — яп ~! — — ) Уг. [Ср. 307 (2).) Чтобы определить к (1 =т~и), умножим равенства (25), соответственно, на сов тЕ1 и снова почленно сложим. Коэффициент при а, будет нулем ввиду (27); равен, очевидно, нулю и коэффициент при р» по иечетности синуса.
Что же касается коэффициента ври а»л то он представится так: ГЛ. Х1Х. ЯЯДЫ ЭГЯЬВ [660 очевидно, значение — —. Таким образом, лишь коэффициент при 2п+ 1 и оказывается отличным от нуля, именно, равным —. Теперь 2п+ 1 уже легко найти а„=т — ~~~,,1 («1) соз т$1 (1 ~ гп и- п). (29) — и Совершенно аналогично, умножая равенства (2б) на з1п т11 и складывая, найдем ,г(ч1) з1п т(1 (1(т =и). (ЗО) 1 — и Читатель несомненно заметил в примененном приеме сходство с методом Эйлера — Фурье для определения коэффициентов тригонометрического ряда.
Однако здесь наши выкладки безупречны, ибо легко проверить, что полученные значения неизвестных действительно удовлетворяют уравнениям (2б). Впрочем, это и без проверки ясно из простых алгебраических соображений. Мы видели, что система (2б) может иметь, если вообще имеет, лишь единственное решение, которое дается формулами (28), (29), (ЗО), каков бы ни был набор правых частей. Но в таком случае ее определитель необходимо отличен от нуля, и сама система является определенной. Итак, тригонометрический многочлен аи(х) с найденными значениями коэффициентов удовлетворяет поставленным требованиям и может служить для интерполирования нашей функции в промежутке [ — к, к]. Предположим теперь, что заданная функция в этом промежутке интегрируем а (на этот раз — в собственном смысле!).
Если мы станем увеличивать и до бесконечности, то интерполяционный многочлен аи(.е) будет меняться, совпадая с т'(х) на все более и более «густом» множестве точек. Он не только будет «удлиняться», но и уже вошедшие в игру его коэффициенты будут изменяться. Чтобы лучше разобраться в их поведении, представим себе промежуток [ — я, к] разложенным на 2п+ 1 равных частей с помощью точек деления х1 — — (2! — 1) ( — и =1«=.и+1). Точки (1 являются как раз серединами этих частичных промежутков, а длины последних 2» все равны Ьхг — — 2 ! — — Х. Если переписать формулы (28), (29) и 2п+ ! (ЗО) в виде з,= — ~ г($1)Ьхь я = — ~1~ У($1)созтЦЬх1, 1 — и 1 — и и —,1(!1) з!п т(,Ьхв 661) а т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
