Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 76
Текст из файла (страница 76)
При этом в качестве значения Яа в обоих же случаях надлежало бы взять у*(и+О)+Уе(я — О) У" ( — и+О)-С-Уь( — и — О) Ю,— 2 2 У( +О)+У( — О) 2 Таким образом, если заданная функция с(х) даже непрерывна при х=.+.я, но не имеет периода 2я, так что с (к) ~Д( — я), з 2. «лзложвнив эгнкций в «яд этвьв то при соблюдении какого-либо иэ достаточных для сходимости ряда Фурье условий суммой этого ряда будет число У( — ) + У(л) 2 отличное как от 1( — к), так и от У(я). Лля такой функции разложение может иметь место лишь в открытом промежутке ( — я, я).
Следующее замечание заслуживает серьезного внимания читателя. Если тригонометрический ряд (2) сходится в промежутке ( — н, я) к функции 1(х), то ввиду того, что его члены имеют период 2я, он сходится всюду, и сумма его о'(х) оказывается тоже периодической функцией от х с периодом 2я. Но зта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функ)!ней Дх) (если последняя была задана на всей вещественной оси). Ниже [690[ это замечание будет проиллюстрировано многочисленными примерами.
Отметим, наконец, что вместо промежутка [ — и, я[ можно было бы взять любой промежуток [а, а+2я) длины 2я. е 688. Случай произвольного промежутка. Предположим, что функция з (х) задана в промежутке [ — 1, 1) произвольной длины 21(1) О). Если прибегнуть к подстановке х= — — ( — я .у~я), 1« то получится функция 1( — ) от у в промежутке [ — я, я), к кото- 1 1у! рой уже приложимы рзссмотрения предыдущего и'. При соблюдении определенных условий, как мы видели, можно разложить ее в ряд фурье: УЯ = †' + ~~' (ал соз пу + !)„ 2)п пу), коэффициенты которого определяются формулами Э й л е р а — ф у р ь е: ал= — ~ г ( —.«) соз пуЫу, Ь„= — ~ ~(-у) з!и пузу.
— л — л )л=з, ),2...) )л= ), 2...,) Вернемся теперь к прежней переменной х, полагая л« у= —. 1 ' Тогда мы получим разложение заданной функции 1(х) в тригонометрический ряд несколько измененного типа: ,1(х)= — '+ ~~ (алсоз — +Ьл з)п — «). л=! 442 ГЛ. Х(Х.
ВЯДЫ Ол ЬВ Здесь косинусы и синусы берутся от углов, кратных не х, а —. Можно было бы и формулы для определение коэффициентов итого разложения преобразовать той же подстановкой к виду ал= — ~ У(х) соз — йх, Ьл= — зт У(х) з)п — ах. (17) 1 Г ллх 1 Г ллх — ( -1 ( -О,(,2,...) (л 1,2....) В отношении концов промежутка х=.+ 1 сохраняют силу замечания, сделанные в предыдущем п относительно точек х= -+ к. Конечно, промежуток [ — 3 У[ могкет быть заменен любым другим промежутком длины 23 в частности, промежутком [О, 21[. В последнем случае формулы (17) должны быть заменены формулами И и ал= — 1У(Х) СОЗ вЂ” йХ, Ьл= — У(Х) ян — йХ.
(17*) 1 Г плх 1 Г . плх л (л=а, 1. 2,...) (л 1,2, ...) При всех оговорках относительно концов промежутка или относительно точек разрыва функции, мы все же установили факт огромного принципиального значения: произвольно заданная в произвольном промежутке функция в очень широком классе случаев л оказывается разложимой в тригонометрический ряд, т. е. представляется единым анзлитическим выражением — тригонометрическим рядом — во всей области определения функции. В и' 690, в частности, мы найдем большое число примеров такого разложения функций, первоначально заданных в различных частях промежутка различными аналитическими выражениями. Аппарат тригонометрических рядов оказывается универсальным средством для «склеивая(т» функций, окончательно стирая грань между функциями, допускающими единое аналитическое представление во всей области определения, и функцпямн, определенными с помощью нескольких аналпгпических выражений [ср.
46, 3'1 363 б); 407, замечание 1; 497, 11) и др.[. 639. Разложения только по косинусам илн только по синусам. Начнем со следующего замечания: если заданная в промежутке [ — к, и[ интегрируемая (в собственном нли несобственном смысле) функция ) (х) будет нечетной, то для нее ~ у (х) йх = О, л Включающем, например, функции кусочно-дифференцируемые ялн кусочно-монотонные й т. и.
а 2. Оазложенив ьтнкцнй в Ояд ьгаьв 443 В этом легко убедиться, представив интеграл ~ в виде суммы ин— к к О тегралов: )+ 1 и заменив во втором из них х на — х. Таким же Π— к путем устанавливается, что в случае четной функции у(х): к к ~ У (х) Ых = 2 ~ У(х) а)х к О [ср. 312, 9) и 314].
Пусть теперь У(х) будет абсолютно интегрируемая в промежутке [ — в, и] четная функция. Тогда произведение ) (х) з)п пх окажется нечетной функцией, и по сказанному Ьл= — ~У(х) з!п пх((х=О. 1 (л 1,2,...) Таким образом, р«д Фурье четной функции содержит одни лить косинусы: Ок у(х) — 2д+ ",'~ а»сов«х. (13) л ! Так как У(х) соа пх в этом случае тоже будет четной функцией то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем, коэффициенты ал разложения написать в виде а„= — ~ У(х) соз пх с(х.
2 Ъ (»-О,),2, ...) 41 9) а„= — ] У(х) соз пх Ых = О. ! Г (л 0,1,2,...) Мы приходим к заключению, что рпд Фурье нечетной функции содержит одни лииь синусы: у(х) ~х~~ Ьл з!и пх. л 1 (20) Если же функция у(х) будет нечетной, то нечетной будет и функция "У(х) соа пх, так что 444 ГЛ. Х1Х. РЯДЫ ФУРЬВ При этом ввиду четности произведения г'(х) аш лх можно писать: Ь„= — ~~(х) а)п лхпх. 2 о Ьл = 1, 3, ., Л (2) у(х) =Л (х) +уз (х), где у(х) + у( — х) у(х) — у( — х) 2 ' Я() 2 Очевидно, что ряд фу р ь е функции г'(х) как раз н составится из разложения по косинусам функции 71(х) и разложения по синусам функции уя(х).
Предположим, далее, что функция )(х) задана лишь в иром ежу тке [О, я). Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье (2), мы дополним определение нашей функции для значений х я промежутке [ — я, О) по произволу, а затем применим сказанное в 667. Подчеркнутый выше произвол в определении функ- 1 ции дзет возможность получить таким 11 1 1Ъ путем р а з л и ч н ы е тригонометрические 1 1 ряды. Если в какой-нибудь точке ха 1 1 м е жду 0 н я наша функция удовлетворяет одному из признаков, установлена/ ных в пп' 694, 696, то все эти ряды будУт в точке ха сходитьса к У (хл) или в слУ- У(~0+ )+У(~. ) г Можно использовать произвол в опре-я' делении функции в промежутке [ — я, О) так, чтобы получить для У(х) разложение тОлькО по косинусам или тОльгр , / ко по синусам.
1(ействительно, представим себе, что для 0 < х -.я мы полагаем Рнс. 123. г( — х)=) (х), (22) так что в результате получится ч е т н а я функция в промежутке — я) (рис. 123, а), к тому же имеющая даже период 2я. Ее разложение, как мы видели, будет содержать одни только косинусы. Ноэффициенты разложения можно вычислять по формулам (19), куда входят лишь значения первоначально заданной функции у(х). Отметим попутно, что каждая функция г(х), заданная в промежутке [ — я, я], может быть представлена в виде суммы четной н н е ч е т н о й составляющих функций: а а, алзложзнив окнкций в аяд аз вьз 445 и=! нлн в ряд по синусам: дл з1н л=! к только что рассмотренному. При этом коэффициенты разложений вычисляются, соответственно, по формулам: 2 Г лях а„= — г (х) соз — Ых гл О, Ка,...) (24) илн Ьл= ! ~У(х) з1п — бх. (25) о 1л-ца,...1 Аналогично, еслн дополнить определение функции г(х) условием (для 0(х =и) У( — х) = — У(х), (23) так, чтобы она оказалась нечетной (рнс.
123,б), то в ее разло- жении будут участвовать только члены с синусами. Коэффициенты его определяются по формулам (21). Таким образом, заданную в промежутке [О, я] функцию лри соблюдении известных условпй оказывается возможным разла- гать как в ряд ло косинусам, так и в ряд ло синусам! Особого исследования требуют, впрочем, точки х=О н х=я. Здесь оба разложения ведут себя по-разному. Предположим для простоты, что заданная функция у(х) непрерывна при х=О н х=я, н рассмотрим сначала разложение по косинусам.
Условие (22) прежде всего с о х р з н я е т непрерывность прн х= О, так что при соблюдении надлежащих условий ряд (18) при х=О будет сходиться именно к у(0). Так как, далее, У( — я+ 0) =У(я — 0) =У(я), то н при х= и имеет место аналогичное обстоятельство. Иначе обстоит дело с разложением по синусам. Не вдаваясь в соображения относительно нарушения непрерывности условием (23) н т. п., мы просто заметим, что в точках х= 0 н х=п сумма ряда (20) явно будет нулем. Поэтому она может дать нам значения у (0) н ! (я), очевидно, лишь в том случае, если н этн значения равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
