Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Теперь естественно поставить обратный вопрос: можно ли д а н н у ю периодическую функцию э (!) периода Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин вида (2)У Как увидим ниже, по отношению к довольно широкому классу функций на этот вопрос можно )(ать утвердительный ответ, но только если привлечь именно всю б е с к о н е ч н у ю последовательность величин (2). 4!8 гл.
х~х. гиды ви'ьв !(ля функций этого класса имеет место разложение в чтригонометрический рядги у (!) = Аь + А, з1 п (ш! + а1) + Аа айп (2ш! + а,) + +Аьз!п(Зш!+аь)+...=Аз+ ~~~~ А„я!п(ишь+а„), (3) причем А„Ао аи Аи аь, ... суть постоянные, имеющие особые значения для каждой такой функции, а частота ш- дается формулой (1). Геометрически это означает, что график периодической функции получаетск путем наложеник ряда с и ну с о и д. Если же истолковать каждую синусоидзльную величину механически как представляющую гармоническое колебзтельное движение, то можно также сказать, что здесь сложное колебание, характеризуемое функцией ш (1), разлагается на отдельные г а р м о н и и е с к и е колебания. В связи с этим отдельные синусоидальные величины, входящие в состав разложения (3), называют гармоническими состаелнющими функции ~(а) или просто ее гармоникалис (первой, второй и т.
д.). Самый же процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа. Если за независимую переменную выбрать 2чг х=ша= т то получится функция от х: тоже периодическая, но со стандартным периодом 2к. Разложение же (3) примет вид Д (х) = Аь + А, а!и (х + а,) + А, в! п (2х + аь) + + А,зи(Зх+а,)+...=Аз+ 1', А„з!п(их+а„). (4) Развернув члены этого ряда по фориуле для синуса суммы и положив Аь — — аь„А„а!па„=а„, А„сова„=Ь„(п=1, 2, 3, ...), мы придем к окончательной форме тригонометрического разложения: У(х) = аз + (а, сов х+ Ь, в!п х) + (а, соз 2х+ Ь, з!п 2х) + +(а,созЗх+Ь,я1пЗх)+ ... = СО = аь+ ч~", (а„соз пх+ дель!(%х), (5) 678! 4)т з !.
ввздзннн в которой мы всегдз и будем его рассматривать ь. Здесь функция от угла х, имеющая период 2н, оказывается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных х. Мы пришли к разложению функции в тригонометрический ряд, отпрзвляясь от периодических, колебательных явлений и связанных с ними величин. Важно отметить, однако, уже сейчзс, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями. 678. Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье.
Для того чтобы установить возможность тригонометрического разложения (б) для заданной функции у'(х), имеюгцей период 2н, нужно исходить из определенного набора коэффициентов а„а„Ьн ..., а„Ь„,... Мы укажем прием для определения их, который во второй половине , ХЧ))! века был применен Э й л е р о и и независимо от него в начале ' Х! Х векз — Фурье. Будем предполагать функцию г (х) интегрируемой в промежутке ( — н, н) — в собственном или в несобственном смысле; в последнем случае мы дополнительно будем предполагать, что функции абсолютно тттегрируема.
Допустим, чторазложение (б) имеет место, и проинтегрируем его почленно от — н до н; мы получим ~,г (х) Ых = 2н а, + ~Ч '„~а„т) соз нх г(х + Ьы ~ з! п нх т(х~ . — « ы 1 « — « Но, как легко видеть, созпхдх= ~ =О юннх ! и (6) с05 нх з!п пх г(х = — ~ = О и Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдем — У(х) 5(х ! г (7) Для того чтобы установить величину коэффициента а, умножим обе части равенства (о), которое мы все время предполагаем ь От этого разложения, разумеется, легко перейти в случае надобности обратно к разложению вила (4). т4 г.
м, оы«теытольц, т, гы 418 гл. х!х. аяды ви ье выполненным, на сов тх и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке: « « У (х) соз тх г(х = а, ~ соз тх !(х + г « + ~ч'„~ а„~ сов их сов тх!(х+Ь„~ з!п их сов тхг(х . «1 — « — « Первый член справа исчезает ввиду (6). Лалее имеем [ср. 308, 4)~ если и ~ гл, и, наконец, соззтхг(х= ~— 1+ сов 2в!х 2 ах =ж (1О) Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент а .
Отсюда этот коэффициент и определяется: а = — ~ г"(х) соз тхс!х 1 <т=!,з,з,...!. (1 !) Аналогично, умножая предварительно разложение (5) на з!и тх и затем интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе: Ь„= — ~ г(х) з1п тххх 1 !и- !, т, з, ...!.
(12) Прн этом, кроме (6) и (8), мы опираемся еще на легко проверяемые соотношения: з!п лх сбп тх!ах=О, (13) если пфт, и (14) з!п их сов тххх= — ~ (сйп(и+т)х+з!п1п — т)х)г(х=О; (8) ! — « — « сов пхсоз тх!!х= — $ !соз(л+т)х+соз(л — т)х)с(х=О, (9) 1 $ ь Вэвдвннн Формулы (7), (11) и (12) известны под названием формул Э й л еро†Фу р ь е; вычисленные по этим фОрмулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье данной функции, а составленный с их помощью тригонометрический ряд (5) — ее рядом Фурье, Рядами Фурье мы исключительно и будем заниматься в настоящей главе.
1(адин теперь себе отчет в том, какова логическая ценность проведенных рассуждений. Так как мы исходили из предположения, что тригонометрическое разложение (5) имеет место, то вопрос о том, отвечает ли это действительности, естественно, оста ется откр ытым. Но убедительны ли те соображения, с помощью которых ио примеру Эйлера и Фурье мы определили коэффициенты разложения (5), даже в предположении, что оно осуществляется? Мы пользовались повторно п о ч л е н н ы м и н т ег р и р о в а н и е и ряда, а эта операция не всегда дозволительна [434).
Достаточныч условием для ее применимости является равномерная сходи мость ряда. Поэтому строго установленным можно считать лишь следующее: если функция У(х), имеющая иериод 2к, разлагается в ра в номерно сходящийся тригонометрический ряд (5)ь, то последний необходимо будет ее рядом Фурье. Если же предполагать наперед равномерности сходимостн, то наши соображения не доказывают даже и того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье [ср. ниже 759, 760[. Каков же смысл приведенных соображений? Их можно рассматривать лишь как н а ведение е, достаточное для того, чтобы в поисках тригонометрического разложения данной функции, по крайней мере, начать с ее ряда Фурье, обязуясь (уже со всею строгостью!) установить, прн каких условиях он сходится и притом — именно к данной функции.
Пока же это не сделано, мы имеем право лишь формально рассматривать ряд Фурье данной функции у'(х), но не можем о нем ничего утверждать„кроме того, что он «порожден» функцией у(х). Эту его с вязь с функцией у обычно обозначают так: у(х) аь+ ~, (а„соз пх+Ь„з[п их), »=1 (5а) набегая знака равенства. ь Заметим, что равномерная сходнмость сохранится и при умножении всех членов ряда на ограниченные функции сових, ив ах [429[. Равномерную сходямость можно было бм заменить здесь ограниченностью частичных суич ряда [ба1[.
14' 1с679. Ортогональные системы функций, Изложенное в предыдущем пч является образцом рассуждений, которыми часто приходится 'пользоваться в математическом анализе при изучении многих разложений. 420 [679 гл. х~х. ьяды эг ьв Назовем две функции р(х) и 7(х), определенные в промежутке [а, Ь), ортогональными в этом промежутке, если их произведение имеет интеграл, равный н у л ю: ') э(х) 9(х) йх=О. л $ рл(х) р„(х)Их=О л ням=а, Ья...,; л~мх (15) то ее называют ортогональной системой функций. При этом мы всегда будем предполагать, что ~ р'„(х)йх=), ) О, л (16) так что в составе нашей системы нет ни функции, тождественно равной йулю, ни какой-либо другой ей у п о д о б л я ю щ е й с я, в некотором смысле л функции, интеграл от квадрата которой оказывается нулем.
При соблюдении условий Хл=1 (л=О, 1, 2...,) система называется нормальной. Если же эти условия не выполнены, то при желании можно перейти к системе г ~, которая уже заведомо Гтл (л)1 ~тл будет нормальной. Обратимся к примерам. 1) Важнейшим примером ортогональной системы функций как раз и является тригонометрическая система 1, сов х, з1пх, сов 2х, з1п 2х, ..., соз нх, з1п лх, ... (17) в промежутке [ — и, и), которую мы рассматривали выше; ее ортогональность следует из соотношений (6), (8), (9) и (13). Однако нормальной она не будет ввиду (10) и (14), Умножая тригонометрические функции (17) на надлежащие множители, легко получить нормальную систему: 1 созх ь!п х соз лх мп лл ) 2л' Ул ' )Гл ' ' )'л ' )'~~ л См.
ниже, 733. рассмотрим систему функций [7„(х)[, определенных в промежутке [а, 31 и интегрируемых в нем вместе с нх квадратами; тогда, как мы знаем [483, 6)], и произведения этих функций, взятых попарно, также интегрируемы. Если функции данной системы попарно ортогональны: 421 в !. вввдвиив 2) Отметим, что та же система (17) или (17а) в урезанном промежутке !О, и! уже не будет ортогональной, нбо а ~ з!п пх сов гпх с(х я' -О, о либо только из синусов в!п х, з(п 2х, ..., в1п пх, (19) в отдельности, будет в этом промежутке ортогональной, что легко проверить. 3) Несущественно разнятся от только что рассмотренных такие системы: ах 2ах пвх 1, соз †, сов †,..., сов — ,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
