Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Будем обозначать через х„у,, х, координаты точек первого тела, (~',), а через х„уэ, хэ,— координаты точек второго тела, ()гэ). Пусть в функции от этих координат заданы и плотности распределения масс в обоих телах: р, =р, (хн уп х,) н р =рэ(х„уэ, хэ). Если в каждом из тел выделить по элементу с массой, соответственно, рэе(хэс(угс(х, и рэбхэбуэбх„то второй из них действует на первый по закону Ньютона с силой в РРедхгдУгдггдхеаУейг, г',, где Г, э есть РасстоЯние междУ элементами: Гпэ (ха — хэ) +(Уэ — Уг) +(Ув хэ), в Коэффициент пропорциональности в иьютоновой формуле закона всемирного тяготения мы, как обычно, полагаем равным 1. а а.
мяогокРатныв кнтвгРллы Так как эта сила направлена от точки (хм уь г,) к точке (хь Ум гт) то ее направляющие косинусы будут г1 3 гьт «т — «~ —. Поэтому проекция, скажем, на ось х силы притяжения персы. вого элемента вторым равна .а* с(ПУФ«вахте(узс(гт ~ЬЭ Проекция же тт'„результирующей силы, с какой второе тело притя- гивает первое, получается суммированием найденных выражений по всем элементзм обоих тел, т. е.
выражается шестикратным интегралом ~„= ~ ~ ~ ~ ~ ~ """;-"' (х, Ь, 1«,а, Ь,и, распространенным на шест имер ну ю область (Р)=(Ъ;) К(Ут) то- чек (хну,, г„х,„у,, «,), где (х„уь г,) взято иа ()У,), а (хну,. «в) из (Рч). Так же выражаются и другие две проекции. Аналогнчно этому величина Р, Р,ихфУ, кг фхфУтЛ«, г... есть потенциал одного элемента на другой. Суммируя эти выражения, получим потенциал одного тела на другое, снова в виде шестикрат- ного интеграла: йт= ~ ~ ~ 1[ ~ ~ — '' с(х,ау, (г,с(хтс(у г 1г1 Если оба тела тождественны, то подобный интеграл, деленный на 2 (ибо иначе каждая пара элементов учитывалась бы дважды!), даст нам потенциал тела на себя. Предложим себе для примера вычислить потенциал на себя одно- родной (р,=р,=1) сферы х'+уз+«а =.Щ т.
е. интеграл Г[[[[[~ Е«Ф гг«*. кга = — ~ 2 гьв «т+у +««епт «в+у)+ «1 Вычисление можно провести так. Потенциал сферы х, '+у', +«, '~)сч на элемент Нхн(Уас(«, с кооРдинатами х„у„гм отстоищий на Рас- стояние г,=)/х,'+У,'+г,' от центра, мы уже знаем [660, 12)]; он выражается р о й н ы и интегралом и равен* ( 2яйт — — кг',) Ых,бутс(г,. ь Следует учесть, что масса точки, на которую здесь вычисляется по-тенциал, есть не 1, а Фх,пу,н«,; кроме того роль а, которое фигурирует в выведенной раньше формуле, здесь играет гм 13 Г, М.
Ччоочмчлмь т, 1Н 388 гл. хщп. твайныз н многокватныи ннтигаллы [674 Остается еще просуммировать подобные выражения ко всем элементам сферы х, *+у', + г',:-.= гст, т. е. взять еше один т р о й н о й интеграл: (2 Я' — — ',) И фу,ась »[+у[+»г л1 Это легко выполнить, переходя к сферическим координатам. Окончательно получим: 1В ч а Ма — — — к«1«а.
15 В данном случае вычисление шестикратного интеграла свелось к вычислению двух тройных интегралов, из которых один к тому же был уже известен. Перейдем теперь к установлению относящихся сюда общих понятий, хотя в большинстве случаев придется ограничиться ссылкой на аналогию с изученными выше видами интегралов. 674. Объем и-мерного тели, м-кратный интеграл. Наподобие того, как при определении простого, двойного, тройного интеграла, мы пользовались понятием длины отрезка, плошади плоской фигуры, объема пространственного тела, в основе определения и-кратного интеграла лежит понятие объема* и-мерной области. Для простейшей л-мерной области — и-мерного прямоугольного параллелепипеда [а„ Ь;, а„ Ьй ...; а,„ Ь„1 объемом называется произведение его измерений (Ь, — а,) (Ьа — аа) ...
(܄— а„). Само собою ясно, чтб разуметь под объемом тела, составленного из конечного числа таких параллелепипедов. Элементарно можно показать, что объем не зависит от того, каким образом тело разложено на параллелепипеды. Рассматривая такие «параллелепипедальные» тела, входящие в данное и-мерное тело ( Ъ') и выходящие из него, можно обычным образом построить понятие объема Ъ' для тела (У) [ср. 340[. Мы будем иметь дело только с телами, для которых объем существует1 он заведомо существует для тел, ограниченных г л а д к и м и илн кусочно-гладкими поверхностями**, в частности, для «Мы решили сохранить»тот термин, хотя смысл его, разумеется, меняется вместе с л: речь идет об „и-мерном объеме". Можно было Вы заменить его одним из слов: „протяженность'", „мера" и т. п. ьь Г л алкой поверхностью называется здесь образ в л-мериом пространстве, определяемый л параметрическими уравнениями с и — 1 параметраия, причем фигурирующие в уравнениях функции параметров должны быть непрерывны вместе с частными производными, и определители (и — 1)-го порядка матрицы производных не должны одноврсмснно обращаться в нуль.
а к миогокватныв ннтвгаалы простейших.янакомык Пам л-мериых областей — и-мерного симплекса х,)0, х,~0,..., х„~0, х,+х,+...+х„-.й и л-мерной сферы хв ( х'+...+х„*(г', ниже мы вычислим их объемы [660, 1) н 2)). Пусть в области (У) задана функция л переменных У(хи хм ..., х„); тогда, разлагая эту область на элементарные части и повторяя другие столь привычные уже нам операции 1ср. 6431, придем к понятию л-кратного интеграла 1= (... (У(хв хм ..., х„) йх!~ха ...
~Ь.„. (2) (ю В случае непрерывной подинтегральной функции он наверное сушествует. Вычисление такого интеграла приводится к вычислению интегралов нияшей кратности, вплоть до простых. В случае, когда область интегрнрования (У) представляет собою прямоугольный параллелепипед (1), имеет место формула, аналогичная формуле (10) п' 646: ь, ь, ь„ ! = ') с(х, ') Иха ...
) ~(хн х„..., х„)вхгг О~ О$ чи Для областей более общего вида, характеризуемых неравенствами х,' ~ х, ( Х„х, '(х,) ( х, - Ха (х,),... ..., х„'(хь ..., х,) (х„=. Х„(х„..., х г), применима формула, аналогичная формуле (10ь) п' 646 х, хы.н Х,(ль..,,лд 1 1= ~ Иха ~ Мха ... ~ У(хихв ..., х )Их„. (4) 31" 1 „'1 ...., „р Подобным же образом (для соответствующего вида областей, который в каждом случае нетрудно установить) имеют место и другие формулы, аналогичные формулам (8 ь) и (11 ч) п' 646, где вычисление л-кратного интегралл приводится к последовательному вычислению интегралов низших кратностей, в сумме дающих л. Все вто доказывается совершенно так же, как для случаев п=2 или п=З, без привлечения каких бы то ни было новых идей, так что нет надобности на этом задерживаться.
Без дальнейших пояснений очевидно, как определяются несобственные и-кратные интегралы и как на них распространяются упомянутые выше формулы. 13' ГЛ. ХЧПЕ ТРойНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 167$ 388 Замвч ание. Можно было бы для функции от л переменных установить понятие и об интеграле, распространенном на (и — 1)-мерную поверхность 1см. замечания к примерам 3) и 16) и' 676]. Ввиду сложности предмета, мы не можем здесь на этом останавливаться. Отметим лишь, что М. В. Остроградским— в обобщение формулы (4) и' 661 — было установлено соотношение, связывающее такой интеграл, взятый по замкнутой поверхности, с неким п-кратным интегралом, распространенным на ограниченное ею тело.
676. Замена переменных в м-кратном интеграле. Этот вопрос мы рассмотрим несколько подробнее. Пусть даны две и-мерные области: (А)) в пространстве х,х, ... хл и (Ь) в пространстве Е,ЕА... Ел, ограниченные каждая одной непрерывной — гладкой или кусочно-гладкой — поверхностью. Предположим, что между ними с помощью формул х,=х1(Е1 Еь °" Е) ха — — х,(Ен Еэ ..., Ел), хл=хл(Ен Еа, ..., Е„) устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом дх, дх, дхл дЕ1 (~~ Ж дх, дх, дх дЕ, дЕ, "' дЕ 1)х х,...,х) ( а л 0(Еь Еж "э Ел) дх, дх, дхл ВЕл Ж, '" дЕл л ~ ....~Л „..., .М, ... д .=' Ф) л =$ ...
$7'(х,(Е„..., Е„), ...,хл(Е„..„Е„))~13Л, ... дЕ„, (6) Рд которая совершенно аналогична формулам преобразования двойных и тройных интегралов 1609 (21); 661 (8)1. Д о к А з А т в л ь с т в о втой формулы мы проведем по методу математической индукции. Так как для л=2 и л=З она уже была НитЕГраЛ От НЕПРЕРЫВНОЙ В (А)) ФУНКЦИИ У(ХП ХМ ..., Хл) МОжст быть преобразован по формуле 675) % 3. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (7) здесь (1)к,) означает область изменения переменных х„..., х„, отвечающую фиксированному значению хн разрешив первое из уравнений (5) относительно переменной Ея, выразим ее в функции от хг, Ея, ..., Е: Е,=Е,(х„Е„..., Е„) и подставим это выражение в остальные формулы.
Таким путем мы получим новые формулы преобразования: ха=ха(Е! (х„Е„..., Е„), Еь ..., Е„)=дя(х„Е„..., Е„), (8) х„=х„(Ег(хя, Е„..., Е„), Ея, ..., Е„) =х„(хя, Ея....,Е„). Преобразуем, исходя из этих формул, (и — 1)-кратный внутренний интеграл в (7) к переменным Ея, ..., Е„, что по предположению можно сделать по формуле, аналогичной (6). Мы придем к интегралу я — ! х, $с(х! $ ... $ У(хя, хя(х!, Ем ...> Е„), ... к) !Ак„! , Х„(хя, Еь ..., Е„))/Ха~с(Ея...Ж„, (9) где дх, дк„ 0 (Хь ..., Хд) В(Е! " Е) дк, дк„ дЕВ "' вял установлена, то достаточно, предположив спр аведлн вость подобной формулы преобразования для (и — 1) кра т- ного интеграла, доказать ее для интеграла л-кратного. Без умаления общности можно предположить, что какая-либо из частных производных — сохраняет знак (иначе пришлось бы лишь дк! дЕ» разложить область (Ь) на части, для которых это справедливод дк, пусть это будет производная — .
дЕ1 ' Выделив в предложенном интеграле (2) интегрирование по х„ перепишем этот интеграл в виде « †! к, ~ бах!~ ... ) 7 (х„хя, ..., х„)дхя ... дх„; !и,! Поставям теперь в нем интегрирование по», на первое место: л — 1 Х(! ...,(! а'"' л ) ° ° ° )(тта ° ° ° Ж„1 У(»(, »я(»1, см ..., с ), ... (л*! '1! ((л' ' " ' (л) ..., .Е„(»(,' ц, ..., Е„)) ~,уа ~((»„ и во внутреннем интеграле перейдем от переменной », к переменной 1( по первой из формул (б) (при фиксированнык см ..., 1и). Мы получим я! ((и ' ' ' (а! ~ ... $Ж, ... Ж„') У(»((Е(, Вм ..., Е„), (ь'! Ы ((Г ' ' ' ' ! а) »,(Ц„ЕМ ..., Еа), ..., »л(ЕЬ Еа " (л))~.1~ ~'~((Р( 1 или, возвращаясь к л-кратному интегралу: л $У(»! (Р(~ ..
Ра)~ . ° . >»и (РЬ ° ° ° э Рл)) ~ ~ д= ~ (ГР( ГГ"'и (4! и > и ~ > Чтобы придти к (6), остается только убедиться в тождестве .l=./л — '. 1 Но, дифференцируя сложные функции (8) по см ..., $„и используя для выражения производных от функции с! правило дифференциро- вания неявной функции, найдем Дх; Дх, Дх! Дх! Дх! Д~, дх; ДЦ ДЕА Д~„дЦ Да, Даь Д~д Дх, де! ((, й=2, ..., Л). Поэтому, если в определителе 1к элементам л-й строки (й=2,...,п) прибавить соответственные элементы первой строки, умноженные на дх, — —, то он примет вид ДЕ» Дх, ' дЕ, Дх„' ДЦ, Дх, дх, М! Д5! дх. 0 Дсм Дха ДЦ, Дх, дх„ Дал '' Дал 390 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
